Posição relativa entre reta e circunferência

Uma reta e uma circunferência podem se encontrar no plano de apenas três maneiras. A reta ou corta a circunferência em dois pontos, e então a chamamos de secante. Ou apenas a toca em um único ponto, e essa é a tangente. Ou passa longe dela, sem nenhum ponto em comum, e é uma reta externa. Não há outras possibilidades: uma reta não pode ter três pontos em comum com uma circunferência. Um bom exemplo de tangente é uma roda de bicicleta apoiada na rua: ela toca a rua em um único ponto.

Na figura, a reta azul p é secante, a vermelha t é tangente e a verde q é externa. Os pontos em comum estão destacados em laranja. As três retas são paralelas e diferem entre si apenas pela distância ao centro O. E é exatamente dessa distância que se trata.

Pela distância ao centro

A distância do centro a uma reta é o comprimento do caminho mais curto do centro até a reta. Esse caminho é sempre perpendicular: do centro baixamos uma perpendicular à reta e medimos o segmento que vai do centro até o ponto em que a perpendicular cruza a reta. Até qualquer outro ponto da reta a distância a partir do centro é maior, porque um segmento assim é a hipotenusa de um triângulo retângulo, e a hipotenusa é maior que o cateto. Na figura, essas perpendiculares são cinza e tracejadas, e o ângulo reto em cada reta está marcado por um arquinho com um ponto.

Vamos chamar essa distância de d e compará-la com o raio r:

• d < r — a reta está mais perto do centro do que o raio, então entra na circunferência e sai dela. É uma secante.
• d = r — a reta apenas toca a circunferência. É uma tangente.
• d > r — a reta está mais longe do centro do que a circunferência alcança. É uma reta externa.

Na tangente, a perpendicular passa exatamente pelo ponto de tangência, e por isso a tangente é sempre perpendicular ao raio que vai até o ponto de tangência.

Determinamos a distância do centro à reta pela fórmula da distância de um ponto a uma reta. Para o ponto O(m, n) e a reta ax + by + c = 0 vale:

$$d=\frac{|a\cdot m+b\cdot n+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$$

A fórmula exige a reta na forma geral. Se ela é dada, por exemplo, como y = x + 1, precisamos primeiro transformá-la em x − y + 1 = 0, senão substituiremos os números errados.

Vamos experimentar a fórmula com a circunferência x² + y² = 25 e a reta 3x − 4y − 25 = 0. A circunferência tem, pela equação da circunferência, centro na origem O(0, 0) e raio $r=\sqrt{25}=5$. Da equação da reta lemos a = 3, b = −4 e c = −25 e substituímos:

$$d=\frac{|3\cdot 0-4\cdot 0-25|}{\sqrt{3^2+(-4{)}^2}}=\frac{|-25|}{\sqrt{9+16}}$$

E terminamos o cálculo:

$$d=\frac{25}{\sqrt{25}}=\frac{25}{5}=5$$

Deu 5, ou seja, exatamente o raio, e a reta é, portanto, tangente à circunferência.

Na figura, a distância d está em vermelho. A perpendicular do centro mede o mesmo que o raio, e por isso termina exatamente sobre a circunferência, no ponto T, em que a reta toca a circunferência.

Esse procedimento é rápido e serve quando só precisamos saber como a reta está posicionada em relação à circunferência. Mas ele não nos revela onde exatamente ela corta a circunferência ou a toca. Para isso, precisamos calcular.

Cálculo dos pontos em comum

Um ponto em comum da reta e da circunferência precisa satisfazer as duas equações ao mesmo tempo, então resolvemos um sistema de equações, como na posição relativa entre duas retas: da equação da reta expressamos uma incógnita e a colocamos na equação da circunferência. Obtemos uma equação do 2º grau, e quantas soluções ela tem, tantos pontos em comum a reta tem com a circunferência. O número de soluções nos é revelado pelo discriminante:

• Δ> 0 — duas soluções, a reta é secante,
• Δ= 0 — uma solução (raiz dupla), a reta é tangente,
• Δ< 0 — nenhuma solução, a reta é externa.

Primeiro exemplo: Temos a circunferência x² + y² = 25 e a reta y = x + 1. No lugar de y, colocamos na equação da circunferência a expressão x + 1:

$$x^2+(x+1{)}^2=25$$

Elevamos o parêntese ao quadrado:

$$x^2+x^2+2x+1=25$$

Somamos e passamos tudo para o lado esquerdo:

$$2x^2+2x-24=0$$

Dividimos a equação inteira por dois:

$$x^2+x-12=0$$

Calculamos o discriminante:

$$\mathrm{\Delta }=1^2-4\cdot 1\cdot (-12)=1+48=49$$

O discriminante é positivo, então a reta é secante. As raízes são

$$x_{1,2}=\frac{-1\pm \sqrt{49}}{2}=\frac{-1\pm 7}{2},$$

ou seja, x₁ = 3 e x₂ = −4. Ainda não terminamos: procuramos as duas coordenadas dos pontos, não apenas a primeira. Obtemos as segundas coordenadas da equação da reta y = x + 1: para x = 3 temos y = 4 e para x = −4 temos y = −3. A reta corta, então, a circunferência nos pontos P(3, 4) e Q(−4, −3).

Verificação para o ponto P: 3² + 4² = 9 + 16 = 25. Confere, o ponto pertence à circunferência.

Segundo exemplo: Tomemos de novo a reta 3x − 4y = 25 da seção anterior. Já sabemos que ela é tangente, então agora falta encontrar o ponto de tangência. Primeiro expressamos y:

$$y=\frac{3x-25}{4}$$

Substituímos na equação da circunferência:

$$x^2+{\left(\frac{3x-25}{4}\right)}^2=25$$

Elevamos a fração ao quadrado, numerador e denominador separadamente:

$$x^2+\frac{9x^2-150x+625}{16}=25$$

Para a fração desaparecer, multiplicamos a equação inteira por dezesseis:

$$16x^2+9x^2-150x+625=400$$

Agrupamos os termos e os passamos para o lado esquerdo:

$$25x^2-150x+225=0$$

Dividimos por vinte e cinco:

$$x^2-6x+9=0$$

Discriminante:

$$\mathrm{\Delta }=(-6{)}^2-4\cdot 1\cdot 9=36-36=0$$

Zero, portanto a reta é tangente. Isso nós já sabíamos, mas é bom ver que os dois métodos chegam ao mesmo resultado. A única raiz (dupla) é $x=\frac{6}{2}=3$ e, substituindo em $y=\frac{3x-25}{4}$, sai $y=\frac{9-25}{4}=-4$. O ponto de tangência é T(3, −4).

Terceiro exemplo: Vamos tentar a reta y = x + 10. Depois da substituição em x² + y² = 25, surge a equação 2x² + 20x + 75 = 0 e o discriminante Δ= 20² − 4 · 2 · 75 = 400 − 600 = −200. Um discriminante negativo significa que a equação não tem solução, e a reta é, portanto, externa.