Poziția relativă a unei drepte și a unui cerc

O dreaptă și un cerc se pot întâlni în plan doar în trei feluri. Dreapta fie intersectează cercul în două puncte, și atunci o numim secantă. Fie îl atinge într-un singur punct, și aceasta este tangenta. Fie trece cu totul pe lângă el, deci nu au niciun punct comun, și avem o dreaptă exterioară. Alte posibilități nu există: trei puncte comune o dreaptă cu un cerc nu poate avea. Un exemplu frumos de tangentă este roata care stă pe șosea: o atinge într-un singur punct.

În figură, dreapta albastră p este secantă, cea roșie t este tangentă, iar cea verde q este exterioară. Punctele comune sunt evidențiate cu portocaliu. Toate cele trei drepte sunt paralele și diferă între ele doar prin distanța față de centrul S. Tocmai despre această distanță este vorba.

După distanța față de centru

Distanța de la centru la o dreaptă este lungimea celui mai scurt drum de la centru până la dreaptă. Acest drum este întotdeauna perpendicular: din centru coborâm perpendiculara pe dreaptă și măsurăm segmentul de la centru până la punctul în care perpendiculara intersectează dreapta. Orice alt punct al dreptei este mai departe de centru, deoarece segmentul până la el este ipotenuza unui triunghi dreptunghic, iar ipotenuza este mai lungă decât oricare catetă. În figură, aceste perpendiculare sunt gri întrerupte, iar unghiul drept de la fiecare dreaptă este marcat cu un arc și un punct.

Notăm cu d distanța de la centru la dreaptă și o comparăm cu raza r:

• d < r – dreapta este mai aproape de centru decât raza, deci intră în cerc și iese din el. Este secantă.
• d = r – dreapta doar atinge cercul. Este tangentă.
• d > r – dreapta este mai departe de centru decât ajunge cercul. Este dreaptă exterioară.

La tangentă, perpendiculara trece exact prin punctul de tangență, de aceea tangenta este întotdeauna perpendiculară pe raza dusă în punctul de tangență.

Distanța de la centru la dreaptă o aflăm cu formula pentru distanța de la un punct la o dreaptă. Pentru punctul S(m, n) și dreapta ax + by + c = 0 avem:

$$d=\frac{|a\cdot m+b\cdot n+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$$

Formula cere dreapta în forma generală. Dacă este dată, de exemplu, ca y = x + 1, trebuie s-o aducem mai întâi la forma x − y + 1 = 0, altfel vom înlocui numere greșite.

Să încercăm formula pe cercul x² + y² = 25 și dreapta 3x − 4y − 25 = 0. Conform ecuației cercului, cercul are centrul în origine S(0, 0) și raza $r=\sqrt{25}=5$. Din ecuația dreptei citim a = 3, b = −4 și c = −25 și înlocuim:

$$d=\frac{|3\cdot 0-4\cdot 0-25|}{\sqrt{3^2+(-4{)}^2}}=\frac{|-25|}{\sqrt{9+16}}$$

Și continuăm calculul:

$$d=\frac{25}{\sqrt{25}}=\frac{25}{5}=5$$

Ne-a ieșit 5, adică exact raza, deci dreapta este tangentă la cerc.

În figură, distanța d este roșie. Perpendiculara din centru are exact lungimea razei, așa că se termină chiar pe cerc, în punctul T în care dreapta atinge cercul.

Procedeul acesta este rapid și util când ne ajunge să știm cum se află dreapta față de cerc. Nu ne spune însă unde anume intersectează sau atinge cercul. Pentru asta trebuie să calculăm.

Calculul punctelor comune

Un punct comun al dreptei și al cercului trebuie să verifice ambele ecuații în același timp, deci rezolvăm un sistem de ecuații, la fel ca la poziția relativă a două drepte: din ecuația dreptei exprimăm o necunoscută și o înlocuim în ecuația cercului. Obținem o ecuație de gradul al doilea, și câte soluții are, atâtea puncte comune are dreapta cu cercul. Numărul soluțiilor ni-l arată discriminantul:

• Δ> 0 – două soluții, dreapta este secantă,
• Δ= 0 – o soluție (dublă), dreapta este tangentă,
• Δ< 0 – nicio soluție, dreapta este exterioară.

Primul exemplu: Avem cercul x² + y² = 25 și dreapta y = x + 1. În locul lui y înlocuim în ecuația cercului expresia x + 1:

$$x^2+(x+1{)}^2=25$$

Ridicăm paranteza la pătrat:

$$x^2+x^2+2x+1=25$$

Reducem termenii asemenea și mutăm totul în membrul stâng:

$$2x^2+2x-24=0$$

Împărțim toată ecuația la doi:

$$x^2+x-12=0$$

Calculăm discriminantul:

$$\mathrm{\Delta }=1^2-4\cdot 1\cdot (-12)=1+48=49$$

Discriminantul este pozitiv, deci dreapta este secantă. Soluțiile sunt

$$x_{1,2}=\frac{-1\pm \sqrt{49}}{2}=\frac{-1\pm 7}{2},$$

adică x₁ = 3 și x₂ = −4. Nu am terminat încă: căutăm punctele, deci ambele coordonate, nu doar abscisele. Celelalte coordonate le obținem din ecuația dreptei y = x + 1: pentru x = 3 avem y = 4, iar pentru x = −4 avem y = −3. Dreapta intersectează deci cercul în punctele P(3, 4) și Q(−4, −3).

Verificare pentru punctul P: 3² + 4² = 9 + 16 = 25. Se potrivește, punctul se află pe cerc.

Al doilea exemplu: Să luăm din nou dreapta 3x − 4y = 25 din secțiunea precedentă. Știm deja că este tangentă, deci acum rămâne să găsim punctul de tangență. Mai întâi exprimăm y:

$$y=\frac{3x-25}{4}$$

Înlocuim în ecuația cercului:

$$x^2+{\left(\frac{3x-25}{4}\right)}^2=25$$

Ridicăm fracția la pătrat, separat numărătorul și numitorul:

$$x^2+\frac{9x^2-150x+625}{16}=25$$

Ca să scăpăm de fracție, înmulțim toată ecuația cu șaisprezece:

$$16x^2+9x^2-150x+625=400$$

Reducem termenii asemenea și îi mutăm în membrul stâng:

$$25x^2-150x+225=0$$

Împărțim la douăzeci și cinci:

$$x^2-6x+9=0$$

Discriminantul:

$$\mathrm{\Delta }=(-6{)}^2-4\cdot 1\cdot 9=36-36=0$$

Zero, deci dreapta este tangentă. Asta știam deja, dar e bine să vedem că ambele metode ajung la același rezultat. Singura soluție (dublă) este $x=\frac{6}{2}=3$, iar după înlocuirea în $y=\frac{3x-25}{4}$ obținem $y=\frac{9-25}{4}=-4$. Punctul de tangență este T(3, −4).

Al treilea exemplu: Să încercăm dreapta y = x + 10. După înlocuirea în x² + y² = 25 apare ecuația 2x² + 20x + 75 = 0 și discriminantul Δ= 20² − 4 · 2 · 75 = 400 − 600 = −200. Un discriminant negativ înseamnă că ecuația nu are soluții, deci dreapta este exterioară.