Suoran ja ympyrän keskinäinen asema

Suora ja ympyrä voivat kohdata tasossa vain kolmella tavalla. Suora joko leikkaa ympyrän kahdessa pisteessä, ja silloin sitä sanotaan sekantiksi. Tai se vain sivuaa ympyrää yhdessä pisteessä, ja se on tangentti. Tai se kulkee ympyrän ohi kokonaan, jolloin niillä ei ole yhtään yhteistä pistettä, ja kyseessä on ympyrän ulkopuolinen suora. Muita mahdollisuuksia ei ole, kolmea yhteistä pistettä suoralla ja ympyrällä ei voi olla. Hyvä esimerkki tangentista on tiellä seisova pyörä: se koskettaa tietä vain yhdessä pisteessä.

Kuvassa sininen suora p on sekantti, punainen t tangentti ja vihreä q ulkopuolinen suora. Yhteiset pisteet on korostettu oranssilla. Kaikki kolme suoraa ovat yhdensuuntaiset, ja ne eroavat toisistaan vain etäisyydeltään keskipisteestä O. Ja juuri tästä etäisyydestä on kyse.

Etäisyys keskipisteestä

Keskipisteen etäisyys suorasta on lyhimmän keskipisteestä suoralle johtavan reitin pituus. Se kulkee aina kohtisuorassa: keskipisteestä lasketaan suoralle kohtisuora ja mitataan jana keskipisteestä kohtaan, jossa kohtisuora leikkaa suoran. Mihin tahansa muuhun suoran pisteeseen keskipisteestä on pidempi matka, koska sellainen jana on suorakulmaisen kolmion hypotenuusa ja hypotenuusa on pidempi kuin kateetti. Kuvassa nämä kohtisuorat ovat harmaita katkoviivoja, ja suora kulma kunkin suoran kohdalla on merkitty pienellä kaarella ja pisteellä.

Merkitään tätä etäisyyttä d ja verrataan sitä säteeseen r:

• d < r — suora on keskipistettä lähempänä kuin säde, joten se tunkeutuu ympyrän sisään ja tulee sieltä ulos. Se on sekantti.
• d = r — suora vain sivuaa ympyrää. Se on tangentti.
• d > r — suora on keskipisteestä kauempana kuin ympyrä ulottuu. Se on ulkopuolinen suora.

Tangentin tapauksessa kohtisuora kulkee täsmälleen sivuamispisteen kautta, ja siksi tangentti on aina kohtisuorassa sivuamispisteeseen johtavaa sädettä vastaan.

Keskipisteen etäisyys suorasta saadaan pisteen ja suoran etäisyyden kaavasta. Pisteelle O = (m, n) ja suoralle ax + by + c = 0 pätee:

$$d=\frac{|a\cdot m+b\cdot n+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$$

Kaavaa varten suoran yhtälön täytyy olla yleisessä muodossa. Jos se on annettu vaikka muodossa y = x + 1, meidän täytyy ensin muokata se muotoon x − y + 1 = 0, muuten sijoitamme väärät luvut.

Kokeillaan kaavaa ympyrälle x² + y² = 25 ja suoralle 3x − 4y − 25 = 0. Ympyrän yhtälön mukaan sen keskipiste on origossa O = (0, 0) ja säde $r=\sqrt{25}=5$. Suoran yhtälöstä luemme a = 3, b = −4 ja c = −25 ja sijoitamme:

$$d=\frac{|3\cdot 0-4\cdot 0-25|}{\sqrt{3^2+(-4{)}^2}}=\frac{|-25|}{\sqrt{9+16}}$$

Ja lasketaan loppuun:

$$d=\frac{25}{\sqrt{25}}=\frac{25}{5}=5$$

Saimme 5, eli täsmälleen säteen, ja suora on siksi ympyrän tangentti.

Kuvassa etäisyys d on punaisella. Keskipisteestä piirretty kohtisuora on yhtä pitkä kuin säde, joten se päättyy täsmälleen ympyrälle, pisteeseen T, jossa suora sivuaa ympyrää.

Tämä menetelmä on nopea ja sopii silloin, kun riittää tietää, miten suora sijaitsee ympyrään nähden. Se ei kuitenkaan kerro, missä tarkalleen suora leikkaa ympyrän tai sivuaa sitä. Sitä varten täytyy laskea.

Yhteisten pisteiden laskeminen

Suoran ja ympyrän yhteisen pisteen täytyy toteuttaa molemmat yhtälöt yhtä aikaa, joten ratkaisemme yhtälöryhmän, samoin kuin kahden suoran keskinäisessä asemassa: suoran yhtälöstä ratkaistaan toinen tuntematon ja sijoitetaan se ympyrän yhtälöön. Saamme toisen asteen yhtälön, ja kuinka monta ratkaisua sillä on, niin monta yhteistä pistettä suoralla ja ympyrällä on. Ratkaisujen määrän kertoo diskriminantti D:

• D > 0 — kaksi ratkaisua, suora on sekantti,
• D = 0 — yksi (kaksinkertainen) ratkaisu, suora on tangentti,
• D < 0 — ei ratkaisua, suora on ulkopuolinen.

Ensimmäinen esimerkki: Meillä on ympyrä x² + y² = 25 ja suora y = x + 1. Sijoitetaan ympyrän yhtälöön y:n paikalle lauseke x + 1:

$$x^2+(x+1{)}^2=25$$

Korotetaan sulku toiseen potenssiin:

$$x^2+x^2+2x+1=25$$

Lasketaan yhteen ja siirretään kaikki vasemmalle puolelle:

$$2x^2+2x-24=0$$

Jaetaan koko yhtälö kahdella:

$$x^2+x-12=0$$

Lasketaan diskriminantti:

$$D=1^2-4\cdot 1\cdot (-12)=1+48=49$$

Diskriminantti on positiivinen, joten suora on sekantti. Juuret ovat

$$x_{1,2}=\frac{-1\pm \sqrt{49}}{2}=\frac{-1\pm 7}{2},$$

eli x₁ = 3 ja x₂ = −4. Valmista ei vielä ole: etsimme kokonaisia pisteitä, emme vain niiden ensimmäisiä koordinaatteja. Toiset koordinaatit saadaan suoran yhtälöstä y = x + 1: kun x = 3, y = 4, ja kun x = −4, y = −3. Suora leikkaa siis ympyrän pisteissä P = (3, 4) ja Q = (−4, −3).

Tarkistus pisteelle P: 3² + 4² = 9 + 16 = 25. Täsmää, piste on ympyrällä.

Toinen esimerkki: Otetaan uudelleen edellisen osion suora 3x − 4y = 25. Siitä tiedämme jo, että se on tangentti, joten nyt jää löytää sivuamispiste. Ratkaistaan ensin y:

$$y=\frac{3x-25}{4}$$

Sijoitetaan ympyrän yhtälöön:

$$x^2+{\left(\frac{3x-25}{4}\right)}^2=25$$

Korotetaan murtoluku toiseen potenssiin, osoittaja ja nimittäjä erikseen:

$$x^2+\frac{9x^2-150x+625}{16}=25$$

Jotta murtoluku katoaa, kerrotaan koko yhtälö kuudellatoista:

$$16x^2+9x^2-150x+625=400$$

Yhdistetään termit ja siirretään ne vasemmalle puolelle:

$$25x^2-150x+225=0$$

Jaetaan luvulla kaksikymmentäviisi:

$$x^2-6x+9=0$$

Diskriminantti:

$$D=(-6{)}^2-4\cdot 1\cdot 9=36-36=0$$

Nolla, joten suora on tangentti. Sen tiesimme jo, mutta on hyödyllistä nähdä, että molemmat menetelmät päätyvät samaan tulokseen. Ainoa (kaksinkertainen) juuri on $x=\frac{6}{2}=3$, ja sijoittamalla se kaavaan $y=\frac{3x-25}{4}$ saadaan $y=\frac{9-25}{4}=-4$. Sivuamispiste on T = (3, −4).

Kolmas esimerkki: Kokeillaan suoraa y = x + 10. Sijoituksen jälkeen yhtälöön x² + y² = 25 syntyy yhtälö 2x² + 20x + 75 = 0 ja diskriminantti D = 20² − 4 · 2 · 75 = 400 − 600 = −200. Negatiivinen diskriminantti tarkoittaa, että yhtälöllä ei ole ratkaisua, ja suora on siis ulkopuolinen.