Egyenes és kör kölcsönös helyzete

Egy egyenes és egy kör a síkban csak háromféleképpen találkozhat. Az egyenes vagy két pontban metszi a kört, és ekkor szelőnek nevezzük. Vagy csak egyetlen pontban érinti, és ez az érintő. Vagy teljesen elmegy mellette, így nincs közös pontjuk, és elkerülő egyenesről beszélünk. Több lehetőség nincs, három közös pontja egy egyenesnek és egy körnek nem lehet. Az érintő szép példája az úton álló kerék: az utat csak egyetlen pontban érinti.

Az ábrán a kék p egyenes a szelő, a piros t az érintő, a zöld q pedig az elkerülő egyenes. A közös pontokat narancssárgával emeltük ki. Mindhárom egyenes párhuzamos, és csak az S középponttól mért távolságukban különböznek. Éppen erről a távolságról van szó.

A középpont távolsága alapján

A középpont és egy egyenes távolsága a középpontból az egyenesig vezető legrövidebb út hossza. Ez az út mindig merőleges: a középpontból merőlegest bocsátunk az egyenesre, és megmérjük a szakaszt a középponttól addig a pontig, ahol a merőleges metszi az egyenest. Az egyenes bármely más pontja messzebb van a középponttól, mert a hozzá vezető szakasz egy derékszögű háromszög átfogója, az átfogó pedig hosszabb bármelyik befogónál. Az ábrán ezek a merőlegesek szürke szaggatott vonalak, a derékszöget pedig minden egyenesnél ív és pont jelöli.

Jelölje d a középpont és az egyenes távolságát, és hasonlítsuk össze az r sugárral:

• d < r – az egyenes közelebb van a középponthoz, mint a sugár, ezért belép a körbe, majd ki is lép belőle. Ez a szelő.
• d = r – az egyenes csak érinti a kört. Ez az érintő.
• d > r – az egyenes messzebb van a középponttól, mint ameddig a kör ér. Ez az elkerülő egyenes.

Az érintőnél a merőleges pontosan az érintési ponton megy át, ezért az érintő mindig merőleges az érintési pontba húzott sugárra.

A középpont és az egyenes távolságát a pont és egyenes távolságának képletével számoljuk ki. Az S(m; n) pontra és az ax + by + c = 0 egyenesre ez érvényes:

$$d=\frac{|a\cdot m+b\cdot n+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$$

A képlethez az egyenes általános alakja kell. Ha az egyenes például y = x + 1 alakban adott, először át kell alakítanunk x − y + 1 = 0 alakra, különben rossz számokat helyettesítünk be.

Próbáljuk ki a képletet az x² + y² = 25 körön és a 3x − 4y − 25 = 0 egyenesen. A kör egyenlete szerint a kör középpontja az origó, S(0; 0), sugara pedig $r=\sqrt{25}=5$. Az egyenes egyenletéből kiolvassuk, hogy a = 3, b = −4 és c = −25, majd behelyettesítünk:

$$d=\frac{|3\cdot 0-4\cdot 0-25|}{\sqrt{3^2+(-4{)}^2}}=\frac{|-25|}{\sqrt{9+16}}$$

És kiszámoljuk:

$$d=\frac{25}{\sqrt{25}}=\frac{25}{5}=5$$

Az eredmény 5, vagyis pontosan a sugár, tehát az egyenes érinti a kört.

Az ábrán a d távolság piros. A középpontból húzott merőleges pontosan olyan hosszú, mint a sugár, ezért éppen a körön ér véget, abban a T pontban, ahol az egyenes érinti a kört.

Ez az eljárás gyors, és akkor jön jól, ha elég tudnunk, hogyan helyezkedik el az egyenes a körhöz képest. Azt viszont nem árulja el, hol metszi vagy érinti pontosan a kört. Ahhoz számolnunk kell.

A közös pontok kiszámítása

Az egyenes és a kör közös pontja mindkét egyenletet egyszerre kielégíti, ezért egyenletrendszert oldunk meg, ugyanúgy, mint két egyenes kölcsönös helyzeténél: az egyenes egyenletéből kifejezzük az egyik ismeretlent, és behelyettesítjük a kör egyenletébe. Másodfokú egyenletet kapunk, és ahány megoldása van, annyi közös pontja van az egyenesnek a körrel. A megoldások számát a diszkrimináns árulja el:

• D > 0 – két megoldás, az egyenes szelő,
• D = 0 – egy (kétszeres) megoldás, az egyenes érintő,
• D < 0 – nincs megoldás, az egyenes elkerülő.

Első példa: Adott az x² + y² = 25 kör és az y = x + 1 egyenes. A kör egyenletébe y helyére beírjuk az x + 1 kifejezést:

$$x^2+(x+1{)}^2=25$$

Négyzetre emeljük a zárójelet:

$$x^2+x^2+2x+1=25$$

Összevonjuk a tagokat, és mindent a bal oldalra viszünk:

$$2x^2+2x-24=0$$

Az egész egyenletet leosztjuk kettővel:

$$x^2+x-12=0$$

Kiszámítjuk a diszkriminánst:

$$D=1^2-4\cdot 1\cdot (-12)=1+48=49$$

A diszkrimináns pozitív, az egyenes tehát szelő. A gyökök

$$x_{1,2}=\frac{-1\pm \sqrt{49}}{2}=\frac{-1\pm 7}{2},$$

azaz x₁ = 3 és x₂ = −4. Ezzel még nem végeztünk: pontokat keresünk, nem csak az első koordinátájukat. A második koordinátákat az y = x + 1 egyenletből kapjuk: x = 3 esetén y = 4, x = −4 esetén pedig y = −3. Az egyenes tehát a P(3; 4) és a Q(−4; −3) pontban metszi a kört.

Ellenőrzés a P pontra: 3² + 4² = 9 + 16 = 25. Stimmel, a pont a körön van.

Második példa: Vegyük újra az előző szakasz 3x − 4y = 25 egyenesét. Róla már tudjuk, hogy érintő, így most az érintési pontot kell megkeresnünk. Először kifejezzük y-t:

$$y=\frac{3x-25}{4}$$

Behelyettesítünk a kör egyenletébe:

$$x^2+{\left(\frac{3x-25}{4}\right)}^2=25$$

Négyzetre emeljük a törtet, a számlálót és a nevezőt külön-külön:

$$x^2+\frac{9x^2-150x+625}{16}=25$$

Hogy a tört eltűnjön, az egész egyenletet megszorozzuk tizenhattal:

$$16x^2+9x^2-150x+625=400$$

Összevonjuk a tagokat, és a bal oldalra visszük őket:

$$25x^2-150x+225=0$$

Elosztjuk huszonöttel:

$$x^2-6x+9=0$$

Diszkrimináns:

$$D=(-6{)}^2-4\cdot 1\cdot 9=36-36=0$$

Nulla, az egyenes tehát érintő. Ezt már tudtuk, de hasznos látni, hogy a két módszer ugyanarra az eredményre vezet. Az egyetlen (kétszeres) gyök $x=\frac{6}{2}=3$, és az $y=\frac{3x-25}{4}$ képletbe behelyettesítve $y=\frac{9-25}{4}=-4$ adódik. Az érintési pont a T(3; −4).

Harmadik példa: Próbáljuk ki az y = x + 10 egyenest. Az x² + y² = 25 egyenletbe behelyettesítve a 2x² + 20x + 75 = 0 egyenlet és a D = 20² − 4 · 2 · 75 = 400 − 600 = −200 diszkrimináns adódik. A negatív diszkrimináns azt jelenti, hogy az egyenletnek nincs megoldása, az egyenes tehát elkerülő.