O que é uma demonstração

As demonstrações são as pedras fundamentais de toda a matemática; graças às demonstrações, você consegue, com algumas poucas pedrinhas, construir uma pirâmide inteira, e ainda de cabeça para baixo.

O sentido das demonstrações

As demonstrações têm sentido na matemática por vários motivos. O principal é que, sem a ajuda das demonstrações, não somos capazes de confirmar nenhuma ideia ou hipótese que nos ocorra. Poderíamos, por exemplo, acreditar que o número de números primos é finito, mas, se não temos uma demonstração, isso se torna apenas uma afirmação sem fundamento. Por outro lado, mesmo afirmações não demonstradas têm sentido na matemática (e em outros lugares). Diz-se simplesmente que, se vale a suposição de que há finitos números primos, então vale… alguma outra teoria.

Depois, porém, não podemos nos admirar se alguém, com o tempo, demonstrar que há infinitos números primos, como veremos adiante, e toda a nossa teoria desabar como um castelo de cartas. Graças às demonstrações, podemos, assim, construir castelos de cartas que nunca desabam.

O motivo pelo qual as demonstrações são ensinadas nas escolas é que quem entende a demonstração entende também a matéria. Em geral, é difícil entender a fundo a matéria sem compreender as demonstrações. Destaquei a palavra “compreender” de propósito, pois, se você decorar as demonstrações na véspera da prova e, no dia seguinte, apenas vomitar tudo no papel, isso não significa que você esteja mais perto de entender o assunto.

As demonstrações, portanto, ao estudarmos uma matéria, respondem à pergunta “por que isso funciona assim?” Se você entende por que uma coisa funciona, é mais fácil memorizá-la e, com o tempo, você vai entender a matéria decididamente melhor do que alguém que estudou no estilo da decoreba. A questão é se esse é o seu objetivo.

O que é uma demonstração

Na lógica matemática, a demonstração se define formalmente, por exemplo, por meio da consequência sintática, mas nós nos contentamos com uma definição muito mais simples.

No início de toda demonstração, precisamos ter uma afirmação que queremos demonstrar. Vamos indicar essa afirmação com o símbolo mágico ϕ. É uma letra grega, que lemos “fi”. Além disso, vamos precisar de um conjunto de axiomas e hipóteses, que chamaremos de Ax, com o qual demonstraremos a afirmação ϕ. O conjunto de axiomas é algo que já sabemos, que supomos que vale. Podem ser coisas como, por exemplo, “todo número par é divisível por dois”. Além disso, esse conjunto pode conter, por exemplo, fórmulas para transformar expressões que foram demonstradas em outro lugar e que já supomos que valem, por exemplo:

$$(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2;a,b\in \mathbb{R}$$

Agora vamos transformando aos poucos as afirmações do conjunto Ax até obtermos a afirmação ϕ. Todas as transformações precisam ser logicamente corretas, precisam corresponder à lógica proposicional básica. Por exemplo, se quiséssemos demonstrar a fórmula anterior, procederíamos assim: a expressão

$$(a+b{)}^2$$

é transformada por transformações equivalentes até obtermos a expressão do segundo membro. Vou mostrar:

$$(a+b{)}^2=(a+b)\cdot (a+b)=a\cdot a+a\cdot b+b\cdot a+b\cdot b=$$

$$=a\cdot a+2ab+b\cdot b=a^2+2ab+b^2$$

No primeiro passo, desdobramos a potência em um produto; no segundo passo, eliminamos os parênteses; no terceiro passo, somamos os termos iguais; e, no último passo, escrevemos o produto como potência. Cada passo representou alguma transformação elementar que nos era permitida, supondo que cada uma dessas transformações elementares está contida no conjunto Ax.

O importante é que cada transformação precisa ser válida, precisa partir de algo que já conhecemos. Uma demonstração matemática é algo como a evolução — por pequenas transformações sucessivas, obtemos de uma expressão outra expressão.

Demonstrações triviais

Demonstração trivial (ou também demonstração óbvia) é o termo técnico para uma demonstração que não cabe no quadro, então é pulada e o aluno a aprende na apostila, como dever de casa. :-) Agora a sério — as demonstrações triviais são aquelas que tipicamente decorrem de alguma definição em um único passo trivial.

Vamos mostrar isso com um exemplo: tomemos o conjunto dos números naturais positivos, isto é, o conjunto de números ℕ^* = {1, 2, 3, …} (no Brasil, o conjunto ℕ inclui o zero, por isso o asterisco). Agora podemos dizer que toda fração da forma:

$$\frac{q}{p};q,p\in {\mathbb{N}}^{\ast }$$

é uma fração válida, isto é, não encontraremos nenhum par de números q, p para o qual a fração dada não faça sentido. Como demonstraríamos isso? Primeiro, precisamos descobrir quando uma fração não faz sentido. Uma fração não faz sentido quando há zero no denominador (não podemos dividir por zero). Temos, assim, de demonstrar que p ≠ 0 para todos os p possíveis. Mas nós sabemos que p é tirado dos números naturais positivos, que definimos como ℕ^* = {1, 2, 3, …}. O conjunto ℕ^* não contém o zero, então o número p será sempre diferente de zero.

$$\mathrm{\forall }p\in {\mathbb{N}}^{\ast }:p\ne 0$$

E temos a demonstração pronta. Sabemos que, se o numerador e o denominador da fração forem tirados dos números naturais positivos, a fração será válida.

As demonstrações triviais costumam ser realmente triviais, mas só se você conhece o contexto ao redor. Por exemplo, se você não entende o conceito de conjunto ou não sabe o que significa que p é um elemento do conjunto ℕ^*, então nem esta demonstração foi trivial para você. As demonstrações triviais, portanto, se caracterizam não tanto por serem simples, mas por serem curtas e decorrerem facilmente de algum contexto (arbitrariamente difícil).

Contraexemplo

O contraexemplo é provavelmente a forma mais simples de demonstrar que uma dada expressão não é verdadeira. O importante é essa palavra não. O contraexemplo pode apontar um caso em que a afirmação dada não vale, mas, em geral, nem sequer muitos exemplos bastam quando estão em jogo infinitos elementos que podemos testar.

Exemplo: “todo número natural é maior que dez”. De que maneira demonstramos que isso não é verdade? Um contraexemplo para a nossa afirmação é o número cinco, por exemplo. O número cinco é um número natural e não é maior que dez. Não podemos demonstrar a afirmação listando alguns números naturais maiores que dez. Você não pode dizer “os números naturais 11, 12, 13, 123 e 5345 são maiores que 10, então a afirmação dada é verdadeira”. Isso não vale. Nós apenas escolhemos alguns poucos exemplos para os quais a nossa afirmação vale, mas isso não diz nada sobre os outros números, que nem mencionamos.

Segundo exemplo: todo homem com mais de dois metros de altura tem olhos castanhos ou azuis. Suponho que poucas pessoas sejam capazes de encontrar um contraexemplo. O que isso nos diz sobre a afirmação dada? Bem, absolutamente nada. Se não somos capazes de encontrar um contraexemplo, isso não significa necessariamente que a afirmação dada seja verdadeira. O contraexemplo pode existir em algum lugar, só que não conseguimos encontrá-lo agora. A incapacidade de encontrar um contraexemplo não demonstra que a afirmação dada é verdadeira.

Demonstração direta

O tipo básico de demonstração é a demonstração direta. Seguimos a definição à risca e vamos transformando a afirmação inicial até obter a afirmação que queremos obter. Tipicamente, queremos demonstrar uma afirmação que tem a forma de uma implicação A ⇒ B, em que A é algum ponto de partida, uma hipótese, e B é a afirmação que queremos deduzir, demonstrar. Se vale a afirmação A, então vale a afirmação B. Muitas vezes só nos é dada a afirmação B, isto é, aquilo que queremos demonstrar, e nós mesmos precisamos escolher a afirmação A de maneira adequada.

Segue-se um procedimento em que, por meio de implicações, deduzimos outras afirmações e, como última afirmação, aparece a afirmação B. Esquematicamente, isso poderia ser escrito assim:

$$A\Rightarrow A_1\Rightarrow A_2\Rightarrow A_3\Rightarrow \dots \Rightarrow A_n\Rightarrow B$$

Como exemplo, vamos demonstrar que vale a afirmação

$$a>1\Rightarrow a^2>1$$

Agora, passo a passo:

1. Como a>1, certamente vale também a>0 e também a ≠ 0 (na verdade, apenas enfraquecemos a condição).
2. Como a não é igual a zero e é positivo, podemos, sem receio, multiplicar a inequação inteira pela variável a. Se a fosse zero, a desigualdade estrita não se conservaria (obteríamos 0>0) e, se fosse negativo, teríamos de inverter o sentido da desigualdade. Depois de multiplicar pela variável a, obtemos a expressão a²>a.
3. Neste momento, sabemos que a>1 e, ao mesmo tempo, sabemos que a²>a. Se juntarmos essas duas expressões, obtemos: a²>a>1.
4. Daqui, basta eliminar a expressão do meio e temos a expressão a²>1. Pudemos nos permitir isso porque a é maior que um e a² é maior que a. Se a² é maior que a e a é, ao mesmo tempo, maior que um, então certamente a² é maior que um.

Simbolicamente, poderíamos escrever assim:

$$a>1\Rightarrow a>0\Rightarrow a^2>a\Rightarrow a^2>a>1\Rightarrow a^2>1.$$

Demonstração indireta

A demonstração indireta aproveita mais as propriedades da implicação. Se temos de demonstrar uma afirmação da forma A ⇒ B, podemos usar a contrapositiva e demonstrar

$$\mathrm{\neg }B\Rightarrow \mathrm{\neg }A.$$

Esse procedimento pode, às vezes, ser mais vantajoso do que, por exemplo, a demonstração direta. Um procedimento semelhante é usado pela demonstração por absurdo, à qual se pode converter toda demonstração indireta. Vamos tentar demonstrar indiretamente a afirmação

$$a-b=0\Rightarrow a=b.$$

Agora formamos a contrapositiva da implicação:

$$\begin{array}{rcl}\mathrm{\neg }(a=b)& \Rightarrow & \mathrm{\neg }(a-b=0)\\ a\ne b& \Rightarrow & a-b\ne 0\end{array}$$

Se a ≠ b, podemos decompor b na soma b = a + x, em que x representa a distância do número b ao número a. A expressão muda assim:

$$a\ne (a+x)\Rightarrow a-(a+x)\ne 0;x\ne 0$$

Subtraímos as variáveis a que podemos:

$$0\ne x\Rightarrow -x\ne 0;x\ne 0$$

Como x ≠ 0, também −x ≠ 0, então a implicação vale. A afirmação está demonstrada, e com isso vale também a afirmação original

$$a-b=0\Rightarrow a=b.$$

Outras técnicas de demonstração são, por exemplo, a já mencionada demonstração por absurdo ou a demonstração por indução.

Outras fontes

• Demonstração matemática na Wikipédia