Triângulo de Pascal

O triângulo de Pascal é formado por números e vale que o número que está embaixo de outros dois números é igual à soma deles. Vamos construir um triângulo de Pascal desses e depois mostrar para que ele pode servir.

Como construir o triângulo de Pascal

Nos lados do nosso triângulo escrevemos só uns e, por enquanto, preenchemos o interior do triângulo com pontos de interrogação:

$$\begin{array}{cccccccccccccc}& & & & & & & 1& & & & & & \\ & & & & & & 1& & 1& & & & & \\ & & & & & 1& & ?& & 1& & & & \\ & & & & 1& & ?& & ?& & 1& & & \\ & & & 1& & ?& & ?& & ?& & 1& & \end{array}$$

Agora calculamos o primeiro ponto de interrogação — somamos os dois números acima dele e obtemos 1 + 1 = 2:

$$\begin{array}{cccccccccccccc}& & & & & & & 1& & & & & & \\ & & & & & & \boxed{\text{1}}& & \boxed{\text{1}}& & & & & \\ & & & & & 1& & 2& & 1& & & & \\ & & & & 1& & ?& & ?& & 1& & & \\ & & & 1& & ?& & ?& & ?& & 1& & \end{array}$$

De modo semelhante, calculamos os pontos de interrogação da linha seguinte. Primeiro obtemos 1 + 2 = 3:

$$\begin{array}{cccccccccccccc}& & & & & & & 1& & & & & & \\ & & & & & & 1& & 1& & & & & \\ & & & & & \boxed{\text{1}}& & \boxed{\text{2}}& & 1& & & & \\ & & & & 1& & 3& & ?& & 1& & & \\ & & & 1& & ?& & ?& & ?& & 1& & \end{array}$$

E depois obtemos 2 + 1 = 3:

$$\begin{array}{cccccccccccccc}& & & & & & & 1& & & & & & \\ & & & & & & 1& & 1& & & & & \\ & & & & & 1& & \boxed{\text{2}}& & \boxed{\text{1}}& & & & \\ & & & & 1& & 3& & 3& & 1& & & \\ & & & 1& & ?& & ?& & ?& & 1& & \end{array}$$

Vamos prosseguir assim e, a cada nova linha, obtemos mais uma parte do triângulo de Pascal:

$$\begin{array}{}& & & & & & & 1& & & & & & \\ & & & & & & 1& & 1& & & & & \\ & & & & & 1& & 2& & 1& & & & \\ & & & & 1& & 3& & 3& & 1& & & \\ & & & 1& & 4& & 6& & 4& & 1& & \\ & & 1& & 5& & 10& & 10& & 5& & 1& \\ & 1& & 6& & 15& & 20& & 15& & 6& & 1\end{array}$$

O triângulo de Pascal, é claro, é infinito, e podemos criar sempre mais e mais linhas. Mas sempre vale que, nas bordas, temos uns e, dentro do triângulo, temos números que surgiram como a soma dos números acima deste número. Por exemplo, o número 15 na última linha surgiu como a soma dos números 5 e 10 acima dele.

Propriedades básicas do triângulo de Pascal

Já mencionamos a primeira propriedade básica: nos lados do triângulo temos sempre uns:

$$\begin{array}{}& & & & & & & \boxed{\text{1}}& & & & & & \\ & & & & & & \boxed{\text{1}}& & \boxed{\text{1}}& & & & & \\ & & & & & \boxed{\text{1}}& & 2& & \boxed{\text{1}}& & & & \\ & & & & \boxed{\text{1}}& & 3& & 3& & \boxed{\text{1}}& & & \\ & & & \boxed{\text{1}}& & 4& & 6& & 4& & \boxed{\text{1}}& & \\ & & \boxed{\text{1}}& & 5& & 10& & 10& & 5& & \boxed{\text{1}}& \\ & \boxed{\text{1}}& & 6& & 15& & 20& & 15& & 6& & \boxed{\text{1}}& \end{array}$$

Na “segunda diagonal” temos sempre todos os números naturais positivos:

$$\begin{array}{}& & & & & & & 1& & & & & & \\ & & & & & & 1& & \boxed{\text{1}}& & & & & \\ & & & & & 1& & \boxed{\text{2}}& & 1& & & & \\ & & & & 1& & \boxed{\text{3}}& & 3& & 1& & & \\ & & & 1& & \boxed{\text{4}}& & 6& & 4& & 1& & \\ & & 1& & \boxed{\text{5}}& & 10& & 10& & 5& & 1& \\ & 1& & \boxed{\text{6}}& & 15& & 20& & 15& & 6& & 1\end{array}$$

Você reparou, aliás, que o triângulo de Pascal é simétrico? Cada linha é igual, quer você a leia da esquerda para a direita, quer da direita para a esquerda.

Números triangulares

Na terceira diagonal, então, temos os números 1, 3, 6, 10, 15…

$$\begin{array}{}& & & & & & & 1& & & & & & \\ & & & & & & 1& & 1& & & & & \\ & & & & & 1& & 2& & \boxed{\text{1}}& & & & \\ & & & & 1& & 3& & \boxed{\text{3}}& & 1& & & \\ & & & 1& & 4& & \boxed{\text{6}}& & 4& & 1& & \\ & & 1& & 5& & \boxed{\text{10}}& & 10& & 5& & 1& \\ & 1& & 6& & \boxed{\text{15}}& & 20& & 15& & 6& & 1\end{array}$$

O que há de interessante neles? Esses números se chamam números triangulares. Imagine que você tivesse vários círculos e quisesse arrumá-los em forma de triângulo. Quantos círculos você precisaria? Dê uma olhada na figura a seguir:

Vemos que, para um triângulo de lado 1, precisamos de exatamente um círculo. Para o lado de comprimento dois, precisamos de três círculos, para o comprimento três precisamos de seis círculos e para o comprimento quatro precisamos de dez círculos. O número de círculos de que precisamos é sempre um número triangular, que encontramos no triângulo de Pascal.

Soma das linhas

E se tentássemos somar cada linha do triângulo de Pascal?

$$\begin{array}{}& & & & & & & 1& & & & & & & =1\\ & & & & & & 1& & 1& & & & & & =2\\ & & & & & 1& & 2& & 1& & & & & =4\\ & & & & 1& & 3& & 3& & 1& & & & =8\\ & & & 1& & 4& & 6& & 4& & 1& & & =16\\ & & 1& & 5& & 10& & 10& & 5& & 1& & =32\\ & 1& & 6& & 15& & 20& & 15& & 6& & 1& =64\end{array}$$

Vemos que a soma de cada linha é o dobro da soma da linha anterior. Todas as somas são, portanto, iguais a alguma potência do número dois. Se chamarmos a linha de cima de linha zero, podemos escrever que a soma da n-ésima linha do triângulo de Pascal é igual a 2ⁿ.

Números primos

Vamos chamar a linha de cima do triângulo de linha zero. Então vale que, se escolhermos uma n-ésima linha, em que n é um número primo, todos os números dessa linha serão divisíveis justamente por n (exceto os uns das bordas).

Por exemplo, tomemos n = 5. O número cinco é um número primo. A quinta linha tem esta aparência:

$$\begin{array}{}& & & & & & & 1& & & & & & \\ & & & & & & 1& & 1& & & & & \\ & & & & & 1& & 2& & 1& & & & \\ & & & & 1& & 3& & 3& & 1& & & \\ & & & 1& & 4& & 6& & 4& & 1& & \\ & & 1& & \boxed{\text{5}}& & \boxed{\text{10}}& & \boxed{\text{10}}& & \boxed{\text{5}}& & 1& \\ & 1& & 6& & 15& & 20& & 15& & 6& & 1\end{array}$$

Cada um desses números destacados é divisível por cinco.

Binômio de Newton

Certamente você conhece as fórmulas para calcular (a + b)² ou (a + b)³:

$$\begin{array}{rcl}(a+b{)}^2& =& a^2+2ab+b^2\\ (a+b{)}^3& =& a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3\end{array}$$

Podemos notar que os coeficientes de cada termo correspondem aos números do triângulo de Pascal. Vejamos, por exemplo, a expressão

$$a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3$$

Primeiro, acrescentamos aos termos a³ e b³ a multiplicação por um, para ficar mais claro:

$$1a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+1b^3$$

Neste momento vemos que os coeficientes pelos quais multiplicamos os termos são os mesmos da terceira linha do triângulo de Pascal (se contarmos a linha de cima como a linha zero):

$$\boxed{\text{1}}{a}^3+\boxed{\text{3}}{a}^{2}b+\boxed{\text{3}}a{b}^2+\boxed{\text{1}}{b}^3$$

A esse fenômeno, porém, é dedicado um artigo à parte sobre o binômio de Newton.