Isolar uma variável

Como expressar, a partir de uma relação mais complicada ou de uma fração, uma variável específica. Essa técnica é usada especialmente ao trabalhar com diversas fórmulas em que aparecem várias variáveis. Combinando-a ainda com outras fórmulas, podemos conseguir feitos inéditos, deduzindo tudo do nada.

Expressões lineares simples

Tomemos esta fórmula: ax + b = c. Como isolamos o x nessa fórmula imaginária? Começamos sempre colocando todas as expressões com a variável que estamos isolando no primeiro membro e o resto no segundo. Em teoria, tanto faz o que fica de cada lado, mas o costume é deixar à esquerda a incógnita que estamos isolando. Então, primeiro passamos b para o segundo membro, ou seja, somamos −b à equação:

$$\begin{array}{rcl}ax+b& =& c/-b\\ ax& =& c-b\end{array}$$

Temos as expressões com a variável de um só lado, mas ainda nos atrapalha aquele a. Como nos livrar dele com elegância? O que precisamos fazer com a expressão ax para obter apenas x? Isso mesmo: dividimos a expressão — e, com isso, a equação inteira — por a, ou seja, multiplicamos por $\frac{1}{a}$. O valor de a precisa ser diferente de zero (não podemos dividir por zero). Fazendo isso, obtemos:

$$\begin{array}{rcl}ax& =& c-b\cdot \frac{1}{a}(a\ne 0)\\ x& =& \frac{c-b}{a}\end{array}$$

Pronto. Outro exemplo:

$$2ax-3bx=10a$$

De novo, devemos isolar x. As expressões com a incógnita já estão no primeiro membro, o que já nos poupa um pouco de trabalho. A complicação, porém, é que temos duas expressões com a incógnita. Resolvemos a situação colocando em evidência. Colocamos x em evidência no primeiro membro da equação e obtemos:

$$\begin{array}{rcl}2ax-3bx& =& 10a\\ x(2a-3b)& =& 10a\end{array}$$

No exemplo anterior, tínhamos a expressão ax e queríamos obter só x, então multiplicamos a equação inteira por $\frac{1}{a}$. Agora temos na equação a expressão x(2a − 3b) e, de novo, queremos conhecer x. Fazemos o mesmo: dividimos a equação inteira pela expressão (2a − 3b). Não tenha medo, a equação realmente pode ser dividida pela expressão inteira entre parênteses, só é preciso que valha 2a − 3b ≠ 0.

$$\begin{array}{rcl}x(2a-3b)& =& 10a/\cdot \frac{1}{2a-3b}\\ x& =& \frac{10a}{2a-3b}\end{array}$$

Frações

Se temos uma expressão com frações, usamos as mesmas transformações de equações, só precisamos tomar cuidado para não dividir nem multiplicar por zero por descuido. Exemplo:

$$\frac{a}{x}=\frac{b}{c}$$

Queremos isolar x. Multiplicamos a equação inteira por x — só precisamos acrescentar a condição de que x ≠ 0. Isso vale de qualquer maneira, porque na equação há a fração $\frac{a}{x}$ e x está no denominador — e não podemos dividir por zero. Obtemos, assim, a equação:

$$\begin{array}{rcl}\frac{a}{x}& =& \frac{b}{c}/\cdot x(x\ne 0)\\ a& =& \frac{bx}{c}/\cdot c(c\ne 0)\\ ac& =& bx\cdot \frac{1}{b}(b\ne 0)\\ \frac{ac}{b}& =& x\\ x& =& \frac{ac}{b}\end{array}$$

Ao isolar a incógnita, use simplesmente as transformações equivalentes de equações de sempre.