Lógica proposicional

A lógica proposicional (matemática) é um meio de expressão da matemática que encontramos com terminologias diferentes e em todo tipo de teorema matemático.

Para que serve a lógica

A lógica é a ciência que trata do raciocínio, da veracidade, da demonstrabilidade e da refutabilidade. Em tudo isso, a lógica se interessa apenas pela forma do que é dito; não nos importa o que exatamente está sendo dito, assim como não nos importam interpretações psicológicas e coisas do gênero.

Se tivermos, por exemplo, a frase “o número 2 é par e, ao mesmo tempo, é ímpar”, podemos concluir que a frase inteira não é verdadeira, porque o número 2 não é ímpar. São coisas desse tipo que a lógica, em geral, resolve.

Proposição

A base da lógica proposicional é, naturalmente, a proposição. Uma proposição é toda frase declarativa da qual podemos determinar o valor lógico. Exemplos de proposições simples:

• O Monte Everest é a montanha mais alta do mundo.
• O número natural cinco é um número ímpar.
• HTML é uma linguagem de programação.
• Dois mais três é seis.

Tudo isso são proposições. Tanto as verdadeiras (as duas primeiras) quanto as falsas (as duas últimas). Não é proposição, por exemplo, uma frase interrogativa ou uma frase da qual não conseguimos determinar o valor lógico de maneira inequívoca. Mais um exemplo:

• O Monte Everest continuará sendo a montanha mais alta do mundo daqui a um milhão de anos?
• A cor verde é a mais bonita.

A primeira frase não pode ser uma proposição, porque é uma frase interrogativa; já na segunda não conseguimos decidir se é uma proposição verdadeira ou falsa. Uma frase assim se chama hipótese (suposição).

A lógica matemática clássica não sabe lidar muito bem com frases vagas como “João é alto” ou “Beatriz é uma boa cantora”. Essas proposições são tratadas melhor, por exemplo, na lógica fuzzy, que foi feita para lidar com a vagueza.

Proposição simples

No primeiro capítulo, tivemos o exemplo da proposição “o número 2 é par e, ao mesmo tempo, é ímpar”. Uma proposição assim pode ser chamada de composta, porque na verdade une duas proposições mais curtas: “o número 2 é par” e “o número 2 é ímpar”. Essas duas proposições estão ligadas pelo conectivo lógico “e” ou também “e ao mesmo tempo”.

Uma proposição simples (ou atômica) é, portanto, uma proposição que não podemos mais dividir; trata-se, em certo sentido, da afirmação mais simples possível. Os exemplos anteriores de proposições eram, na verdade, proposições simples:

• O Monte Everest é a montanha mais alta do mundo.
• O número natural cinco é um número ímpar.
• HTML é uma linguagem de programação.
• Dois mais três é seis.

Daqui em diante, vamos representar as proposições simples por letras minúsculas do alfabeto, como de costume p, q, r, …, e vamos chamá-las de variáveis proposicionais.

Conectivos lógicos

A lógica matemática costuma operar com um certo conjunto de conectivos lógicos. Entre os básicos estão quatro conectivos binários:

• p ∧ q é a conjunção das proposições, lemos “a proposição p e (ao mesmo tempo) a proposição q”
• p ∨ q é a disjunção das proposições, lemos “a proposição p ou a proposição q”
• p ⇒ q é a implicação, lemos “se a proposição p, então a proposição q”
• p ⇔ q é a equivalência, lemos “a proposição p se, e somente se, a proposição q”

Exemplos concretos de conectivos lógicos:

• No centro de Curitiba está chovendo e ao mesmo tempo fazendo sol. (conjunção)
• No centro de Curitiba está chovendo ou fazendo sol. (disjunção)
• A Maçã Dourada é a empresa mais bacana do mundo e o seu dono é o cara mais descolado. (conjunção)
• Se você tomar um laxante, então logo vai cag… (implicação)
• Se o número x é divisível por quatro, então também é divisível por dois. (implicação)
• Agatha é bonita e ao mesmo tempo inteligente. (conjunção)
• As cantoras fazem sucesso se, e somente se, são bonitas. (equivalência)
• Se não chover, não vamos nos molhar. (implicação)
• Se o Zé da padaria sabe cantar, então eu sou o rei da Lua. (implicação)

Conhecemos ainda mais um conectivo lógico comum: a negação. A negação se representa por uma linha p′ (lê-se “p linha”) ou pelo símbolo ¬p.

Fórmula

Com variáveis proposicionais (proposições simples) e conectivos lógicos, podemos montar uma proposição mais complexa, que vamos chamar de fórmula. Todos os exemplos da lista de frases anterior eram, na verdade, fórmulas, porque tínhamos duas fórmulas atômicas, por exemplo “No centro de Curitiba está chovendo” e “está fazendo sol”, e as ligamos por meio de conectivos lógicos. No primeiro caso, usamos o conectivo “e ao mesmo tempo” e obtivemos a fórmula “No centro de Curitiba está chovendo e ao mesmo tempo fazendo sol”; no segundo caso, usamos “ou” e obtivemos a fórmula “No centro de Curitiba está chovendo ou fazendo sol”.

Definimos formalmente a fórmula assim:

• Toda variável proposicional (proposição simples) é uma fórmula (mais precisamente, podemos dizer que se trata de uma fórmula atômica).
• Se A e B são fórmulas, então ¬A, (A ∧ B), (A ∨ B), (A ⇒ B), (A ⇔ B) também são fórmulas.

A definição faz sentido: no primeiro item, dizemos que toda proposição simples é ao mesmo tempo uma fórmula. Assim, se temos duas proposições simples, por exemplo “No centro de Curitiba está chovendo” e “está fazendo sol”, então temos também duas fórmulas. Neste momento podemos aplicar o segundo item e montar uma fórmula mais complexa, por exemplo assim:

• No centro de Curitiba está chovendo e ao mesmo tempo fazendo sol.
• No centro de Curitiba está chovendo ou fazendo sol.
• Se no centro de Curitiba está fazendo sol, então está chovendo.
• O sol brilha no centro de Curitiba se, e somente se, está chovendo.

As fórmulas, é claro, não precisam ser necessariamente verdadeiras. Agora obtivemos mais um conjunto de fórmulas, de modo que podemos montar fórmulas ainda mais complexas. Se chamarmos de A=“No centro de Curitiba está fazendo sol ou chovendo.” (já sabemos que isso é uma fórmula) e de B=“dá para ver um arco-íris” (suponhamos que também no centro de Curitiba, para não precisarmos repetir isso o tempo todo), então podemos criar outras fórmulas. Os parênteses nas frases apenas indicam a quais partes o conectivo se refere.

• A ∧ B: (No centro de Curitiba está fazendo sol ou chovendo) e ao mesmo tempo (dá para ver um arco-íris).
• A ∨ B: (No centro de Curitiba está fazendo sol ou chovendo) ou (dá para ver um arco-íris).
• A ⇒ B: (Se no centro de Curitiba está fazendo sol ou chovendo), então (dá para ver um arco-íris).
• A ⇔ B: (No centro de Curitiba está fazendo sol ou chovendo) se, e somente se, (dá para ver um arco-íris).

Tudo isso são fórmulas. Assim, podemos novamente pegar uma dessas fórmulas e juntar a ela mais uma fórmula qualquer. Podemos criar, por exemplo, o monstrengo “Se no centro de Curitiba está fazendo sol ou chovendo ou dá para ver um arco-íris, então está fazendo sol ou chovendo se, e somente se, dá para ver um arco-íris.”

Na próxima parte, vamos investigar o valor lógico das fórmulas.