Комплексні числа

Комплексні числа — це розширення дійсних чисел. На множині дійсних чисел ми можемо виконувати більшість звичайних дій: додавання, віднімання, множення та ділення (крім ділення на нуль). У дійсних числах можна також добувати корінь, але лише з невід'ємних чисел. Це прогалина, яка виникає, наприклад, коли ми розв'язуємо квадратне рівняння й отримуємо від'ємний дискримінант. Саме цю прогалину й заповнюють комплексні числа.

Що таке комплексне число

Від звичайних чисел комплексні відрізняються передусім тим, що складаються з двох частин — дійсної та уявної. Комплексне число — це впорядкована пара чисел (x; y), де число x є дійсною частиною, а число y — уявною. Якщо дійсна частина дорівнює нулю, число називають суто уявним. Самі числа x і y дійсні.

Множину комплексних чисел позначають великою літерою $\mathbb{C}$.

Рівність комплексних чисел: на відміну від звичайних чисел, комплексні мають дві складові. Щоб два комплексні числа були рівні, вони мають збігатися в обох складових. Тож ці комплексні числа попарно різні: (2; 3)≠(0; 3)≠(2; 0). Комплексні числа z₁ = (1; 2) і z₂ = (1; 2) рівні: z₁ = z₂.

Алгебраїчна форма та уявна одиниця

Комплексні числа найчастіше записують в алгебраїчній формі, яка виглядає так. Комплексне число (x; y) в алгебраїчній формі має вигляд x + yi, де i називають уявною одиницею. Для квадрата уявної одиниці виконується дуже важлива рівність:

$$i^2=-1$$

Цю рівність ми надалі використовуватимемо часто, разом з іншими степенями. Вищі степені вже можна обчислювати звичайним способом. Наприклад, якщо потрібно спростити i³, за правилами дій зі степенями розкладемо вираз на i² · i. Ми вже знаємо, що i² дорівнює мінус одиниці. Другий множник i далі розкласти не можна, тож отримаємо: i³ = −i.

$$\Large i^3=\underbrace{i^2}_{-1}\cdot \underbrace{i}_{i}=-i$$

Аналогічно для i⁴. Його можна розкласти на i² · i², де i² = −1, тож маємо: −1 · − 1 = 1.

$$\Large i^4=\underbrace{i^2}_{-1}\cdot\underbrace{i^2}_{-1}=-1\cdot-1=1$$

Отже, i⁴ = 1. Цим фактом можна скористатися, коли обчислюємо ще вищі степені уявної одиниці. Наприклад, обчислюючи i⁷, розкладемо його на i⁴ · i³. Знаємо, що i⁴ = 1, тож отримаємо 1 · i³. А ще знаємо, що i³ = −i. Результат: 1 · (−i) = −i.

Додавання та множення

Комплексні числа можна додавати й множити. Під час додавання двох комплексних чисел z₁ і z₂ ми просто окремо додаємо дійсні частини та уявні частини:

$$z_1+z_2=(x_1+y_1i) + (x_2+y_2i)=(x_1+x_2)+(y_1+y_2)i$$

Приклад: z₁ = 3 + 7i і z₂ = 5 + 8i. Сума виглядатиме так: z₁ + z₂ = (3 + 5)+(7 + 8)i = 8 + 15i.

Добуток двох комплексних чисел трохи складніший, але його можна розписати як звичайне множення дужок. Основна формула має такий вигляд:

$$z_1\cdot z_2=(x_1+y_1i) \cdot (x_2+y_2i)=(x_1x_2-y_1y_2)+(x_1y_2+x_2y_1)i$$

А як ми до неї дійшли? Спробуємо помножити z₁ · z₂ так само, як множили б звичайні дужки. Отримаємо:

$$z_1\cdot z_2=x_1x_2+x_1y_2i+x_2y_1i+y_1y_2i^2$$

Оскільки i² = −1, після перетворення останнього доданка маємо:

$$z_1\cdot z_2=x_1x_2+x_1y_2i+x_2y_1i-y_1y_2$$

Тепер залишається лише зібрати разом доданки без уявної одиниці та з нею:

$$z_1\cdot z_2=(x_1x_2-y_1y_2)+(x_1y_2+x_2y_1)i$$

Приклад. Помножимо числа 5 + 6i і 4 + 7i. Отримаємо:

$$(5+6i)\cdot(4+7i)=20+35i+24i+42i^2=20+59i-42=-22+59i$$

Протилежне, обернене та спряжене числа

• Протилежне число до комплексного числа x + yi має вигляд −x − yi. Так само як і для дійсних чисел, протилежне число дістаємо, помноживши задане комплексне число на мінус одиницю. Приклад: протилежне число до 2 + 7i — це −2 − 7i. Протилежне число до −5 + 8i — це 5 − 8i тощо.

• Обернене число до комплексного числа x + yi має вигляд $\frac{1}{x+yi}$. Обернене число до числа 4 − 2i має вигляд $\frac{1}{4-2i}$.

• Спряжене комплексне число до числа x + yi має вигляд x − yi. Його зазвичай позначають рискою зверху: $\overline{z}$, або зірочкою z*. Це число, спряжене до комплексного числа z. Спряжене число до 2 + 9i — це число 2 − 9i.

Віднімання та ділення

Коли ми означили протилежне й обернене числа, можна означити також віднімання та ділення. Щоб відняти два комплексні числа, z₁ − z₂, до числа z₁ додаємо протилежне число до z₂. На практиці отримуємо просту формулу:

$$z_1-z_2=(x_1+y_1i) - (x_2+y_2i) = (x_1-x_2)+(y_1-y_2)i$$

Подібно й ділення z₁ / z₂ зводимо до множення: множимо $z_1\cdot z_2^\prime$, де $z_2^\prime$ — число, обернене до z₂.

Модуль

Модуль комплексного числа z обчислюємо за формулою:

$$|z|=\sqrt{x^2+y^2} = \sqrt{z\cdot \overline{z}}$$

(Під квадратним коренем друге z — це число, спряжене до z.) Зміст цієї формули добре видно на геометричному зображенні комплексних чисел.

Кожне комплексне число, модуль якого дорівнює одиниці, називають одиничним комплексним числом. Приклади: 1, i, $\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i$.

Властивості модуля:

• Модуль комплексного числа — це дійсне число.
• |z|≥0
• |z| = |−z| = |z*|, де z* — спряжене комплексне число.