Квадратне рівняння з параметром

Квадратне рівняння з параметром відрізняється від звичайного квадратного рівняння тим, що містить додатково параметр, який часто позначають p або m. Наше завдання — з'ясувати, які розв'язки має квадратне рівняння залежно від цього параметра p.

Перший приклад

Маємо таке квадратне рівняння з параметром p.

$$x^2+2px+9=0.$$

Які розв'язки має рівняння залежно від параметра p? Можна розрізнити загалом три випадки: рівняння не має розв'язків на множині дійсних чисел, рівняння має два однакові розв'язки і рівняння має два різні розв'язки. Ці випадки розрізняємо за допомогою дискримінанта.

Параметр поводиться як константа, тобто для попереднього квадратного рівняння a = 1, b = 2p і c = 9. Тепер обчислимо дискримінант так, як звикли:

$$D=b^2-4ac=4p^2-4\cdot1\cdot9=4p^2-36.$$

Отже, дискримінант вийшов D = 4p² − 36. Тепер треба з'ясувати, коли цей дискримінант додатний, від'ємний і нульовий.

Почнімо з найпростішого випадку — коли дискримінант нульовий. Тож розв'язуємо рівняння 4p² − 36 = 0. При яких p це виконується? Це неповне квадратне рівняння і розв'язується воно легко:

$$\begin{eqnarray} 4p^2-36&=&0\\ p^2-9&=&0\\ p^2&=&9\\ p&=&\pm3 \end{eqnarray}$$

Якщо параметр p дорівнює плюс або мінус трьом, то квадратне рівняння має один корінь кратності два.

Тепер з'ясуймо, коли дискримінант додатний. Для цього розв'язуємо квадратну нерівність

$$4p^2-36>0.$$

Нулі функції f(p) = 4p² − 36 ми вже знаємо, їх обчислено на попередньому кроці. З них складемо два проміжки, один «внутрішній», а другий «зовнішній».

$$\begin{eqnarray} I_1&=&(-\infty;-3)\cup(3; +\infty)\\ I_2&=&(-3; 3) \end{eqnarray}$$

На одному з цих проміжків функція f(p) додатна, на другому від'ємна. Це з'ясуємо, підставивши у функцію якесь число з одного з проміжків. Найпростіше підставити з проміжку I₂ нуль. Маємо f(0) = 0 − 36 = −36. Отже, на проміжку I₂ функція від'ємна, а на проміжку I₁ додатна.

Звідси отримуємо, що на проміжку I₁ рівняння має два різні розв'язки, а на проміжку I₂ не має жодного дійсного розв'язку. Можна розглянути графік функції f(p) = 4p² − 36. У точках плюс і мінус три вона дорівнює нулю, на проміжку I₂ від'ємна, а на проміжку I₁ додатна.

Обчислення коренів рівняння

Тепер лишається обчислити розв'язки рівняння в тих випадках, коли вони є. Почнімо з випадку, коли рівняння має один корінь кратності два, тобто коли дискримінант дорівнює нулю. Це буває, коли параметр дорівнює плюс або мінус кореню з дев'яти.

Перший випадок, p = 3. Тоді рівняння має вигляд:

$$x^2+2\cdot3x+9=0.$$

Обчислимо дискримінант цього рівняння. Має вийти нульовий:

$$D=b^2-4ac=6^2-4\cdot1\cdot9=36-36=0.$$

Обчислимо корінь за формулою:

$$x=\frac{-b\pm\sqrt{0}}{2a}=\frac{-6}{2}=-3.$$

Другий випадок, p = −3. Рівняння має вигляд:

$$x^2-2\cdot3x+9=0.$$

Обчислимо дискримінант:

$$D=b^2-4ac=(-6)^2-4\cdot1\cdot9=36-36=0.$$

Обчислимо корінь:

$$x=\frac{-b\pm\sqrt{0}}{2a}=\frac{6}{2}=3.$$

В останньому кроці лишається обчислити, які розв'язки має рівняння, якщо параметр належить об'єднанню проміжків (−∞;−3)∪(3; +∞). Дискримінант ми вже обчислили, тож обчислимо корені рівняння за формулою.

$$x_{1{,}2}=\frac{-2p\pm\sqrt{4p^2-36}}{2}=\frac{-2p\pm\sqrt{4(p^2-9)}}{2}=\frac{-2p\pm2\sqrt{p^2-9}}{2}=-p\pm\sqrt{p^2-9}.$$

Наприкінці ми скоротили дріб на двійку. Отже, це корені квадратного рівняння, якщо параметр належить об'єднанню проміжків (−∞;−3)∪(3; +∞). Якщо ж параметр належить проміжку (−3; 3), то рівняння не має дійсного розв'язку.