Дискримінант

Дискримінант — це вираз від коефіцієнтів рівняння, за допомогою якого можна обчислити розв'язки загального квадратного рівняння, а також визначити, чи має рівняння розв'язки і скільки їх.

Формула та основні співвідношення

Спершу повторимо загальний вигляд квадратного рівняння:

$$ax^2+bx+c=0,\quad a\ne0$$

де a, b, c — дійсні числа. Дискримінант, позначимо його D, обчислюємо так:

$$D=b^2-4\cdot a\cdot c$$

Приклад: розглянемо квадратне рівняння 3x² + 5x − 7 = 0. Для нього a = 3, b = 5, c = −7. Дискримінант обчислюємо так:

$$D=5^2-4\cdot3\cdot(-7)=25+4\cdot3\cdot7=25+84=109$$

Отже, результат — 109. Що нам говорить це число? Якщо дискримінант виходить…

• додатним, то рівняння має два різні дійсні корені,
• нульовим, то рівняння має два однакові дійсні корені,
• від'ємним, то рівняння не має розв'язків на множині дійсних чисел. Проте має розв'язки на множині комплексних чисел.

Як обчислити корені квадратного рівняння

За допомогою дискримінанта можна одразу обчислити корені квадратного рівняння. Формула для обчислення коренів така:

$$x_{1{,}2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a},$$

де D — дискримінант. Уся формула з розписаним дискримінантом виглядає так:

$$x_{1{,}2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.$$

Спробуймо за цією формулою обчислити корені квадратного рівняння x² + 7x + 12 = 0. Спершу обчислимо дискримінант:

$$D=7^2-4\cdot1\cdot12=49-48=1.$$

Дискримінант вийшов додатним, тож рівняння має два різні дійсні корені. Обчислимо перший корінь. Спершу додаватимемо квадратний корінь із дискримінанта, а на другому кроці віднімемо його:

$$x_1=\frac{-7+\sqrt{1}}{2}=\frac{-7+1}{2}=-\frac62=-3.$$

Перший корінь вийшов −3. Другий корінь обчислимо відніманням кореня:

$$x_2=\frac{-7-\sqrt{1}}{2}=\frac{-7-1}{2}=-\frac82=-4.$$

Тепер маємо обидва корені рівняння: x₁ = −3 і x₂ = −4.

Щоб опанувати цей спосіб, конче потрібно вміти правильно визначати значення a, b і c. Як це робити, описано в першій статті про квадратні рівняння.

А що цей розв'язок означає графічно, як це видно на графіку? Якщо накреслити графік функції, що стоїть у лівій частині рівняння, то побачимо, що графік цієї квадратичної функції перетинає вісь Ox у двох точках — у точках x₁ = −3 і x₂ = −4.

Нульовий дискримінант

Якщо дискримінант дорівнює нулю, це означає, що рівняння має розв'язок, але лише один; точніше, два, але однакові. Приклад: розв'яжи рівняння x² − 10x + 25 = 0. Обчислимо дискримінант:

$$D=(-10)^2-4\cdot1\cdot25=100-100=0.$$

Корінь обчислимо так само, як у попередньому розділі, за формулою. Але оскільки дискримінант нульовий, із формули зникає доданок «плюс/мінус корінь із D», адже ми додавали б чи віднімали нуль.

$$x_{1{,}2}=\frac{-(-10)}{2}=\frac{10}{2}=5.$$

Вийшов один корінь кратності два, x = 5. Що це означає графічно? Що графік цієї функції дотикається до осі Ox рівно в одній точці — у своїй вершині.

Від'ємний дискримінант

Якщо дискримінант виходить від'ємним, то квадратне рівняння не має розв'язків на множині дійсних чисел. Рівняння можна розв'язувати на множині комплексних чисел, але про це піде мова в наступній статті. Для прикладу спробуймо розв'язати таке квадратне рівняння: x² + x + 1 = 0. Дискримінант:

$$D=1^2-4\cdot1\cdot1=1-4=-3.$$

Отже, квадратне рівняння не має розв'язків на множині дійсних чисел. Можеш перевірити — многочлен x² + x + 1 додатний для всіх дійсних чисел. Наприклад, якщо підставити замість x одиницю, отримаємо 1 + 1 + 1 = 3. Якщо x = −1, маємо 1 − 1 + 1 = 1. Якщо x = 0, маємо 0 + 0 + 1 = 1. І так само для інших чисел. Можна також глянути на графік функції y = x² + x + 1 — він ніколи не перетинає вісь Ox.

Формули Вієта

Ми вже знаємо, як обчислити розв'язки квадратного рівняння. Але який зв'язок між ними? Спробуймо додати обидва розв'язки x₁ і x₂:

$$\begin{eqnarray} x_1+x_2&=&\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}+\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}\\ &=&\frac{-b+\sqrt{D}-b-\sqrt{D}}{2a}\\ &=&\frac{-2b}{2a}=-\frac{b}{a} \end{eqnarray}$$

Якщо додати корені квадратного рівняння ax² + bx + c = 0, отримаємо частку −b/a. А що станеться, якщо корені перемножити?

$$\begin{eqnarray} x_1\cdot x_2&=&\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}\cdot\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}\\ &=&\frac{b^2+b\cdot\sqrt{D}-b\cdot\sqrt{D}-D}{4a^2}\\ &=&\frac{b^2-D}{4a^2}\\ &=&\frac{b^2-(b^2-4ac)}{4a^2}\\ &=&\frac{4ac}{4a^2}=\frac{c}{a} \end{eqnarray}$$

Отже, якщо корені перемножити, отримаємо число c/a. Це і є формули Вієта. Ще раз разом:

$$\begin{eqnarray} x_1+x_2&=&-\frac{b}{a}\\ x_1\cdot x_2&=&\frac{c}{a} \end{eqnarray}$$

Зверни увагу, що в знаменнику дробу завжди стоїть вираз a. Особливий випадок — квадратне рівняння, для якого a = 1. Тоді формули Вієта можна записати так:

$$\begin{eqnarray} \mbox{якщо } a=1:\\ x_1+x_2&=&-b\\ x_1\cdot x_2&=&c \end{eqnarray}$$

Це можна використати, шукаючи розв'язки квадратних рівнянь. Замість того щоб складно обчислювати дискримінант, можна перевірити, чи вдасться знайти такі числа x₁ і x₂, щоб виконувалися наведені вище співвідношення. Приклад: знайди розв'язки рівняння x² + 8x + 15 = 0. Тут a = 1, тому можна скористатися простішими формулами Вієта. Шукаємо числа x₁ і x₂ такі, щоб виконувалося:

$$\begin{eqnarray} x_1+x_2&=&-8\\ x_1\cdot x_2&=&15 \end{eqnarray}$$

Якщо обмежитися лише цілими числами, то маємо чотири можливості, як отримати в добутку 15:

$$\begin{eqnarray} 1\cdot15&=&15\\ 3\cdot5&=&15\\ -3\cdot(-5)&=&15\\ -1\cdot(-15)&=&15 \end{eqnarray}$$

Тепер потрібно, щоб сума чисел зліва дала −8. Таку суму дає лише одна пара — −3 і −5. Ці числа і є розв'язками квадратного рівняння. Можна спробувати підставити їх у рівняння, має вийти нуль:

$$\begin{eqnarray} (x=-3):\quad &&(-3)^2+8\cdot(-3)+15=9-24+15=0\\ (x=-5):\quad &&(-5)^2+8\cdot(-5)+15=25-40+15=0 \end{eqnarray}$$

Збігається. Якщо знаєш корені, то можеш записати рівняння й у більш наочному вигляді. Якщо x₁ і x₂ — корені рівняння ax² + bx + c = 0, то за умови a = 1 рівняння можна переписати у вигляді

$$(x-x_1)(x-x_2)=0.$$

Попереднє рівняння можна переписати у вигляді:

$$(x-(-3))(x-(-5))=(x+3)(x+5)=0.$$