Квадратні рівняння на множині комплексних чисел

Якщо під час розв'язування квадратного рівняння отримуєш від'ємний дискримінант, це означає, що на множині дійсних чисел рівняння не має розв'язків. Проте на множині комплексних чисел воно розв'язки має завжди.

Мотивація

Спробуймо розв'язати таке квадратне рівняння: x² + 2x + 5 = 0. Спершу обчислимо дискримінант: D = 4 − 20 = −16. Як ми вже знаємо, на множині дійсних чисел це рівняння розв'язків не має. Але комплексні числа мають ту перевагу, що дають змогу добувати корінь навіть із від'ємного числа. Оскільки i² = −1, дискримінант можна переписати у вигляді −16 = 16i². З цього числа вже можна добути корінь, і вийде 4i. Дообчислимо розв'язки квадратного рівняння:

$$x_1=\frac{-2+\sqrt{16i^2}}{2}=\frac{-2+4i}{2}=\frac{2(-1+2i)}{2}=2i-1.$$

$$x_2=\frac{-2-\sqrt{16i^2}}{2}=\frac{-2-4i}{2}=\frac{2(-1-2i)}{2}=-2i-1.$$

Формули та співвідношення

З попереднього прикладу можна вивести формулу для обчислення коренів квадратного рівняння, якщо дискримінант від'ємний:

$$x_{1{,}2}=\frac{-b\pm i\sqrt{|D|}}{2a}.$$

Звідси випливає, що кожне квадратне рівняння має розв'язок. Якщо дискримінант невід'ємний, досить дійсних чисел; якщо від'ємний, рівняння доводиться розв'язувати на множині комплексних чисел. Загалом можна сказати, що кожне квадратне рівняння має розв'язок на множині комплексних чисел.

І для цих комплексних коренів справджуються формули Вієта. Спершу виведення для суми:

$$\begin{eqnarray} x_1+x_2&=&\frac{-b+i\sqrt{|D|}}{2a}+\frac{-b-i\sqrt{|D|}}{2a}\\ &=&\frac{-b+i\sqrt{|D|}-b-i\sqrt{|D|}}{2a}\\ &=&\frac{-2b}{2a}=-\frac{b}{a} \end{eqnarray}$$

А тепер для добутку. Скористаємося тим, що дискримінант від'ємний, і, оскільки з нього треба добути корінь, працюватимемо з виразом «мінус D», який дає додатне число. Замість |D| писатимемо −D, результат той самий.

$$\begin{eqnarray} x_1\cdot x_2&=&\frac{-b+i\sqrt{-D}}{2a}\cdot\frac{-b-i\sqrt{-D}}{2a}\\ &=&\frac{b^2+b\cdot i\sqrt{-D}-b\cdot i\sqrt{-D}-(-D)i^2}{4a^2}\\ &=&\frac{b^2+Di^2}{4a^2}\\ &=&\frac{b^2-D}{4a^2}\\ &=&\frac{b^2-(b^2-4ac)}{4a^2}\\ &=&\frac{4ac}{4a^2}=\frac{c}{a} \end{eqnarray}$$

Приклад

Розв'яжи квадратне рівняння 2x² + 6x + 9 = 0. Обчислимо дискримінант: D = 36 − 72 = −36. Число від'ємне, тож скористаємося формулою для комплексних коренів і просто підставимо:

$$x_1=\frac{-b+i\sqrt{|D|}}{2a}=\frac{-6+i\sqrt{36}}{4}=\frac{-6+6i}{4}=\frac{3(i-1)}{2}=-\frac32+\frac{3i}{2}$$

$$x_2=\frac{-b-i\sqrt{|D|}}{2a}=\ldots=-\frac32-\frac{3i}{2}$$

Відповідь: $x_1=-\frac32+\frac{3i}{2}$, $x_2=-\frac32-\frac{3i}{2}$.