Правило Лопіталя

Правило Лопіталя (французьке прізвище L'Hospital читається «Лопіталь») іноді можна використати для обчислення границь у вигляді частки.

Означення

Коли ми обчислюємо границю функції в точці, за певних умов нам можуть допомогти похідні. Нехай маємо функцію у вигляді частки, тобто функції f(x) і g(x), і шукаємо границю

$$ \lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)}{g(x)}. $$

Якщо $\lim_{x\rightarrow x_0} f(x) = \lim_{x\rightarrow x_0} g(x) = 0$, обидві функції мають похідну в якомусь околі точки x₀ (у самій точці x₀ вона може й не існувати) та існує границя

$$ \lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}, $$

то виконується рівність:

$$ \lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}. $$

Якщо границя $\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}$ не існує, то це не означає, що не існує й границя $\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)}{g(x)}$. Якщо границі з похідними не існує, початкову границю без похідних доведеться обчислити іншим способом.

Приклад

1. Обчисли границю

   $$ \lim_{x\rightarrow 3}\frac{x^2-9}{x^2-x-6} $$

   Чи можна розв'язати цей приклад за правилом Лопіталя? Спершу треба перевірити, чи границя обох функцій (тієї в знаменнику дробу і тієї в чисельнику) у точці x₀ = 3 дорівнює нулю. Позначимо функції f(x) = x² − 9 і g(x) = x² − x − 6. Обидві є многочленами, а отже, неперервні, тож їхні границі дорівнюють значенням функцій:

   $$ \begin{eqnarray} f(3) &=& 3^2 - 9 = 0\\ g(3) &=& 3^2 - 3 - 6 = 0 \end{eqnarray} $$

   Перша умова виконана. Зверни увагу, що границю не можна обчислити просто підстановкою числа три замість x, бо вся функція в точці x₀ = 3 розривна, точніше, там узагалі не визначена (значення немає тому, що для його отримання довелося б ділити на нуль). Тепер можемо спробувати застосувати правило Лопіталя й знайти похідні обох функцій. Увага: ми не диференціюємо за формулою для частки, а знаходимо похідну окремо для функції в чисельнику й окремо для функції в знаменнику. Отже, отримуємо:

   $$ \begin{eqnarray} f'(x) &=& 2x\\ g'(x) &=& 2x - 1 \end{eqnarray} $$

   Замість попередньої границі можемо розв'язувати цю:

   $$ \lim_{x\rightarrow3}\frac{2x}{2x-1} $$

   Ця функція в точці x₀ = 3 неперервна, тож тепер можемо просто підставити замість x значення три й обчислити значення всієї функції:

   $$ \lim_{x\rightarrow3}\frac{2x}{2x-1} = \frac{2\cdot3}{2\cdot3-1}=\frac65 $$

   Бачимо, що границя цієї функції існує, тому існує й границя $\lim_{x\rightarrow 3}\frac{x^2-9}{x^2-x-6}$, і ці границі рівні. Отже:

   $$ \lim_{x\rightarrow 3}\frac{x^2-9}{x^2-x-6} = \lim_{x\rightarrow3}\frac{2x}{2x-1} = \frac65. $$

2. Обчисли границю

   $$ \lim_{x\rightarrow0}\frac{x}{\sin x} $$

   Як виглядає ситуація в точці x₀ = 0? Знову позначимо f(x) = x і g(x) = sin x. Маємо f(0) = 0 і g(0) = 0. Отримуємо частку $\frac00$, функція в цій точці розривна. Можемо спробувати застосувати правило Лопіталя. Знайдемо похідні обох функцій:

   $$ \begin{eqnarray} f'(x) &=& 1\\ g'(x) &=& \cos x \end{eqnarray} $$

   Похідні маємо, спробуємо обчислити границю

   $$ \lim_{x\rightarrow0}\frac{1}{\cos x} $$

   Що відбувається в точці x₀ = 0? Оскільки cos(0) = 1, отримуємо дріб $\frac11=1$. Функція в точці x₀ = 0 неперервна, тому

   $$ \lim_{x\rightarrow0}\frac{1}{\cos x}=\frac11=1. $$

   Оскільки ця границя існує, існує й границя $\lim_{x\rightarrow0}\frac{x}{\sin x}$, і ці границі рівні. Отримуємо

   $$ \lim_{x\rightarrow0}\frac{x}{\sin x} = 1 $$