Одностороння границя

Зазвичай ми обчислюємо двосторонню границю, тобто з'ясовуємо, до чого наближаються значення функції і зліва, і справа. Але можна шукати й лише односторонню границю — тільки зліва або тільки справа.

Односторонні границі

Нехай маємо якусь функцію f(x) і якусь точку x₀, у якій хочемо обчислити границю. Зазвичай ми написали б:

$$ \lim_{x\rightarrow x_0} f(x) = ? $$

До точки x₀ можна наближатися лише з одного боку — або зліва, або справа. Це записують за допомогою знаків мінус і плюс у верхньому індексі. Отже, «x наближається до сімки зліва» та «x наближається до десятки справа» ми записали б так:

$$\begin{eqnarray} \lim_{x\rightarrow7^-}f(x)&=&L_1\\ \lim_{x\rightarrow10^+}f(x)&=&L_2\\ \end{eqnarray}$$

Означення змінюємо просто: замість усього околу граничної точки беремо лише її лівий або правий окіл. Змінене означення границі справа:

$$(\forall \epsilon > 0),(\exists\delta>0),(\forall x\in D(f)),((x_0 < x < x_0+\delta)\Rightarrow |f(x)-L| < \epsilon).$$

Зверни увагу, що в імплікації ми беремо лише ті x, які більші за x₀, — тобто ті, що лежать на числовій осі праворуч від числа x₀. Означення границі зліва:

$$(\forall \epsilon > 0),(\exists\delta>0),(\forall x\in D(f)),((x_0-\delta < x < x_0)\Rightarrow |f(x)-L| < \epsilon).$$

Ліва і права границі загалом не обов'язково рівні. Може бути кілька випадків: функція має в точці границю і зліва, і справа; функція має лише одну з цих границь; нарешті, може не мати жодної з них.

Водночас функція f має в точці x₀ границю тоді й лише тоді, коли вона має в цій точці границю зліва і справа та обидві границі рівні. Якщо в неї є обидві односторонні границі, але вони різні, то в цій точці функція границі не має — має лише односторонні границі.

Спробуймо все продемонструвати на простій функції f(x) = 1/x. Графік:

Тривіальний випадок — границя при x, що наближається до одиниці. У точці один функція неперервна, визначена, і взагалі це гарний приклад. І зліва, і справа значення функції наближається до одиниці, тож і границя дорівнюватиме одиниці. Але що, коли ми захочемо обчислити границю при x, що наближається до нуля?

$$\lim_{x\rightarrow0}\frac{1}{x}=?$$

Це вже цікавий приклад. Зверни увагу, що ми намагаємося знайти границю в точці, яка не належить області визначення функції. Якщо підставити в функцію значення нуль, отримаємо недопустимий вираз (на нуль ділити не можна!). Нам це зовсім не заважає, бо в означенні йдеться про граничну точку, а нуль є граничною точкою області визначення, адже в кожному його околі знайдеться якийсь елемент області визначення функції.

Якщо подивитися на графік і почати наближатися до нуля з лівого боку, видно, що значення функції постійно зменшується. Приклади:

\begin{eqnarray} f(-10)&=& -1/10\\ f(-1)&=& -1\\ f(-\frac12)&=& -2\\ f(-1/10)&=& -10\\ \end{eqnarray}

Якщо взяти якесь від'ємне число, яке «дуже» близьке до нуля, скажімо −0,000 001, отримаємо як значення функції «дуже» мале число: −1 000 000.

Чим ближче ми до нуля з лівого боку, тим більше значення функції наближається до мінус нескінченності. Натомість видно, що коли ми наближаємося до нуля з правого боку, значення функції зростає. Чим ближче до нуля справа, тим більше значення функції наближається до нескінченності. Як бути? Просто скажемо, що функція не має в точці нуль границі. Вона має лише дві різні односторонні границі:

$$\begin{eqnarray} \lim_{x\rightarrow0^-}\frac{1}{x}&=&-\infty\\ \lim_{x\rightarrow0^+}\frac{1}{x}&=&+\infty \end{eqnarray}$$