Нескінченна границя в скінченній точці

Границя функції — одне з найважливіших понять математичного аналізу. Вона описує поведінку певної функції в околі заданої точки, завдяки чому ми можемо, наприклад, означити неперервність функції. Границя функції допомагає зрозуміти поведінку функції навіть у тих місцях, де вона зовсім не визначена.

Нескінченна границя в скінченній точці

У попередній частині ми говорили про скінченну границю в скінченній точці. Точка x₀ є скінченною, якщо x₀ ∈ ℝ, тобто якщо це дійсне число. Але точкою можна вважати й нескінченність — таку точку тоді називаємо нескінченно віддаленою. Розрізняємо плюс і мінус нескінченність: +∞, −∞. Нескінченна границя в скінченній точці, отже, означає, що маємо якусь функцію f, скінченну точку x₀, і границя в цій точці виходить нескінченною. Прикладом такої функції може бути $f(x)=|\frac{1}{x}|$. Графік:

У скінченній точці x₀ = 0 функція має границю плюс нескінченність — з якого б боку ми не наближалися до x₀, значення завжди зростає до нескінченності. Нехай x₀ є граничною точкою області визначення функції f. Функція f має в точці x₀ границю +∞, якщо

$$(\forall K\in\mathbb{R}),(\exists\delta > 0),(\forall x\in D(f)),(0 < |x-x_0| < \delta\Rightarrow f(x) > K)$$

і −∞, якщо

$$(\forall K\in\mathbb{R}),(\exists\delta>0),(\forall x\in D(f)),(0 < |x-x_0| < \delta\Rightarrow f(x) < K).$$

Якщо означення виконується, можемо записати

$$\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=\pm\infty.$$

Що нам каже означення? Змінна K в першому означенні задає якусь межу на осі y. Означення тоді стверджує, що якою б великою (високою) не була вибрана межа K, завжди знайдеться якийсь проколотий δ-окіл точки x₀, для всіх елементів якого значення функції більші за K.

Для прикладу спробуймо показати означення на попередній функції — шукатимемо границю в точці x₀ = 0. Виберімо K = 4:

Тепер потрібно знайти таке значення δ, щоб усі точки з множини (−δ; 0) ∪ (0; δ) мали значення функції більше за K. Можна вибрати, наприклад, δ = 0,2. Якщо зобразити це на рисунку, отримаємо:

Бачимо, що значення функції на множині (−δ; 0) ∪ (0; δ) лежать над значенням K. Це можна й обчислити. Для x = −0,2 отримуємо f(−0,2) = |−1/0,2| = 5. Функція на від'ємних числах зростає, тож для всіх x із проміжку (−0,2; 0) значення функції напевно буде більшим за п'ять, а отже, й більшим за K = 4. Аналогічно для другого проміжку.

Тепер ми показали це лише для одного конкретного K. Щоб функція мала границю плюс нескінченність, це має виконуватися для будь-якого K. Спробуймо це довести. Оскільки f(x) = f(−x) (функція парна), досить рахувати лише з додатним варіантом, тобто обмежитися проміжком (0; ∞).

Маємо якесь K, і нам треба знайти таке δ, щоб для всіх x ∈ (0; δ) виконувалося f(x) > K. Оскільки на додатному проміжку функція спадна, досить знайти таке δ, для якого f(δ) > K. Тоді це напевно виконуватиметься й для всіх x ∈ (0; δ). Тепер розв'язуємо цю нерівність: f(δ) > K, після підстановки:

$$\frac{1}{\delta} > K.$$

Помножимо всю нерівність на δ. Значення δ за означенням завжди додатне, тож ми можемо собі це дозволити. Отримаємо:

$$1 > \delta\cdot K$$

Припустімо тепер, що K > 0. Для K ≤ 0 доведення тривіальне, бо f(x) > 0 для всіх x. Тепер можемо поділити всю нерівність на K:

$$\frac{1}{K}>\delta.$$

Це й є результат. Якщо задано K, значення δ знайдемо так: візьмемо будь-яке число, менше за 1/K (і більше за нуль, за означенням), і отримаємо наш проміжок (0; δ).

У попередньому випадку ми мали K = 4. Якщо підставити, з'ясуємо, що 1/4>δ. Дельта має бути меншою за одну четверту. Ми вибрали 0,2, одну п'яту, і все вийшло правильно.