Скінченна границя на нескінченності

Границя функції — одне з найважливіших понять математичного аналізу. Вона описує поведінку певної функції в околі заданої точки, завдяки чому ми можемо, наприклад, означити неперервність функції. Границя функції допомагає зрозуміти поведінку функції навіть у тих місцях, де вона зовсім не визначена.

Скінченна границя на нескінченності

Ця ситуація подібна до границь послідовностей. Ми шукаємо, яку границю має функція, коли наближаємося до нескінченності. Границя може бути скінченною або нескінченною. Почнімо зі скінченної границі.

Нехай ∞ є граничною точкою області визначення функції f. Тоді L ∈ ℝ є границею функції в точці ∞, якщо

$$(\forall\epsilon>0),(\exists A\in \mathbb{R}),(\forall x\in D(f)),(x > A \Rightarrow |f(x)-L|<\epsilon)$$

і в точці −∞, якщо

$$(\forall\epsilon>0),(\exists A\in \mathbb{R}),(\forall x\in D(f)),(x < A \Rightarrow |f(x)-L|<\epsilon)$$

Що нам каже означення? Що коли ми виберемо якийсь ε-окіл навколо шуканої границі L (тобто на осі y), то завжди зможемо знайти на осі x таку точку A, що для будь-якої точки x праворуч від A, тобто x>A, виконується |f(x)−L| < ε, тобто всі значення функції віддалені від границі L менше ніж на ε.

Розгляньмо функцію f(x) = (2/x)+1. Графік:

Видно, що коли x прямує до нескінченності, значення функції f(x) наближається до одиниці. Отже, виберемо L = 1. Тепер доведемо, що L = 1 справді є границею цієї функції в плюс нескінченності. Спершу випробуймо це на прикладі. Виберімо якийсь епсилон, наприклад $\epsilon=\frac12$. Тепер спробуймо знайти таке A ∈ ℝ, щоб для всіх x, більших за A, значення функції було віддалене від L менше ніж на ε. Накреслімо це на рисунку:

Те, що значення функції f(x) віддалене від точки L менше ніж на ε, означає, що крива, яка описує графік функції, лежить між тими червоними лініями. Тепер нам потрібно знайти межу A на осі x, починаючи від якої ця умова виконується. Це не обов'язково найменша можлива межа, тож можемо вибрати, наприклад, A = 6.

Бачимо, що за межею A крива, яка описує графік, лежить повністю між червоними лініями, що позначають ε-відстань від L. Тепер ми довели це для одного конкретного ε. Щоб довести, що L = 1 справді є границею, ми маємо вміти довести це для всіх ε > 0.

Тепер потрібно з'ясувати, для яких A виконується це співвідношення:

$$x > A \Rightarrow |f(x)-L| < \epsilon$$

Після підстановки:

$$x > A \Rightarrow \left|\left(\frac{2}{x}+1\right) - 1\right| < \epsilon.$$

Можемо відняти одиниці:

$$x > A \Rightarrow \left|\frac{2}{x}\right| < \epsilon$$

Далі можемо припустити, що братимемо лише додатні x (нас цікавлять значення x, що наближаються до плюс нескінченності), завдяки чому можемо прибрати модуль:

$$x > A \Rightarrow \frac{2}{x} < \epsilon$$

Помножимо на x:

$$x > A \Rightarrow 2 < x\cdot\epsilon$$

Поділимо на ε:

$$x > A \Rightarrow \frac{2}{\epsilon} < x$$

Перетвореннями ми з'ясували, що x має бути більшим за 2/ε. Тож якщо за A вибрати якесь число, більше за 2/ε, то ми знайдемо ту межу, яку шукали.

У попередній спробі ми вибрали $\epsilon=\frac12$, тож за A слід вибрати число, більше за $2/\frac12=4$. Ми вибрали A = 6, і це правильно.