Нескінченна границя на нескінченності

Границя функції — одне з найважливіших понять математичного аналізу. Вона описує поведінку певної функції в околі заданої точки, завдяки чому ми можемо, наприклад, означити неперервність функції. Границя функції допомагає зрозуміти поведінку функції навіть у тих місцях, де вона зовсім не визначена.

Нескінченна границя на нескінченності

Це поєднання попередніх границь: ми шукаємо границю функції, коли x наближається до плюс або мінус нескінченності, і сама границя теж виходить плюс або мінус нескінченністю.

Скажімо, що ∞ є границею функції в точці ∞, якщо

$$(\forall K \in \mathbb{R}),(\exists A\in\mathbb{R}),(\forall x \in D(f)),(x > A \Rightarrow f(x) > K)$$

і в точці −∞, якщо

$$(\forall K \in \mathbb{R}),(\exists A\in\mathbb{R}),(\forall x \in D(f)),(x < A \Rightarrow f(x) > K).$$

Аналогічно для x, що наближається до −∞. Означення поєднує попередні принципи. Воно каже нам: якщо ми шукаємо границю в нескінченно віддаленій точці і вона теж має бути нескінченністю, то для кожної межі K на осі y знайдемо таку межу A на осі x, що всі значення функції f(x) для x > A, тобто за межею A, будуть більшими за вибрану межу K. Інакше кажучи: функція f(x) зростає понад усі межі. Яку б межу ми не вибрали на осі y, функція з часом її перевищить.

Уяви просту функцію f(x) = x. Якщо на осі y вибрати межу K, то для всіх x > K отримаємо значення функції, більші за K.