Площа поверхні прямокутного паралелепіпеда

Прямокутний паралелепіпед — це просторове тіло, подібне до куба, грані якого є прямокутниками або квадратами. Подивімося, як він виглядає:

Щоб обчислити площу поверхні прямокутного паралелепіпеда, треба обчислити площу всіх його шести граней і додати їх. При цьому протилежні грані завжди мають однакову площу. Якщо довжини ребер паралелепіпеда дорівнюють a, b, c, як показано на рисунку, то площа його поверхні дорівнює

$$\Large S=2ab+2ac+2bc$$

що можна ще спростити до формули

$$\Large S=2(ab+ac+bc)$$

Як ми до цього дійшли?

Треба додати площі всіх граней. Спершу візьмімо ці дві протилежні грані:

Ці грані — прямокутники ABGH і CDEF. Тож скористаємося формулою площі прямокутника і перемножимо довжини його сторін. Площу прямокутника ABGH дізнаємося так:

$$\Large S_{\small{ABGH}}=|AB|\cdot|BG|$$

Площу другого прямокутника CDEF обчислимо як

$$\Large S_{\small{CDEF}}=|CD|\cdot|DF|$$

Але можна помітити, що довжина сторони AB дорівнює довжині сторони CD, а довжина сторони BG — довжині сторони DF. Отже, площі обох прямокутників однакові. Тож площа двох виділених граней паралелепіпеда дорівнює

$$\Large S_1=2\cdot|AB|\cdot|BG|$$

Далі обчислимо площу двох бічних граней:

Ми знаємо, що площі обох граней однакові. Тож площу прямокутника BGFD обчислимо як

$$\Large S_{\small{BGFD}}=|BG|\cdot|GF|$$

Площа обох граней разом дорівнює

$$\Large S_2=2\cdot|BG|\cdot|GF|$$

Лишилося обчислити площу передньої та задньої граней:

Площа прямокутника ABCD дорівнює

$$\Large S_{\small{ABCD}}=|AB|\cdot|BD|$$

а площа всієї виділеної поверхні —

$$\Large S_3=2\cdot|AB|\cdot|BD|$$

Площу поверхні всього прямокутного паралелепіпеда знайдемо, додавши всі часткові площі:

$$\Large S=S_1+S_2+S_3$$