Площа правильного n-кутника

Правильний многокутник — це, наприклад, квадрат: многокутник, у якого всі сторони однакової довжини й усі кути однакової величини. Ось як виглядає правильний восьмикутник:

Як обчислити площу такого правильного восьмикутника, якщо відома довжина його сторони? Нехай для прикладу сторона має довжину a = 10. Розіб'ємо восьмикутник на вісім рівних трикутників:

Так ми спростили собі роботу: тепер досить обчислити площу одного з трикутників і помножити її на вісім, і ми отримаємо площу всього восьмикутника. Що ми знаємо про ці трикутники? Вони рівнобедрені: довжини двох сторін, що виходять із центра O, завжди однакові, а довжина сторони восьмикутника інша (лише шестикутник можна розбити на трикутники з усіма рівними сторонами). Отже, довжина сторони FO дорівнює довжині сторони EO.

Який кут вони утворюють у вершині O? Наприклад, чому дорівнює кут $\angle FOE$? Бачимо, що всі трикутники однакові, тому всі кути при вершині O мають однакову величину. Водночас ми знаємо, що сума величин усіх цих кутів дорівнює 360 градусам — одному повному оберту. Тож величина кута $\angle FOE$ дорівнює частці від ділення $360^\circ$ на кількість кутів, тобто на кількість трикутників.

$$\Large \angle FOE = \frac{360^\circ}{8} = 45^\circ$$

Сума всіх внутрішніх кутів трикутника дорівнює $180^\circ$, а наш трикутник рівнобедрений, тому решта двох кутів мають однакову величину $67{,}5^\circ$:

Як тепер обчислити площу рівнобедреного трикутника? Довжину сторони FE ми знаємо з умови: |FE| = 10. Проведімо висоту трикутника, що проходить через точку O:

Цей відрізок OH_s розбиває трикутник на два менші трикутники, які знову однакові, лише дзеркально обернені. Переставмо трикутники так, щоб утворився прямокутник. Візьмемо трикутник FOH_s і перенесемо його:

Цей прямокутник OF₁EH_s має таку саму площу, як наш трикутник FOE. При цьому площу прямокутника обчислюємо як добуток довжин двох його сторін:

$$\Large S_\square = |h_s|\cdot |H_sE|$$

Довжину відрізка H_sE ми знаємо: це половина довжини сторони FE, а вона за умовою (це сторона восьмикутника) дорівнює |FE| = 10. Отже, довжина відрізка H_sE дорівнює |H_sE| = 5. Складніше з висотою h_s. Оскільки трикутник H_sOE — прямокутний трикутник, можна скористатися тригонометричними функціями. Кут $\angle H_sOE$ удвічі менший за початковий кут $\angle FOE$, тобто

$$\large \angle H_sOE = \frac{\angle FOE}{2}=\frac{45^\circ}{2}=22{,}5^\circ$$

Тепер скористаємося тим, що котангенс кута дорівнює відношенню довжини прилеглого катета до довжини протилежного. Для наочності позначимо кут $\angle H_sOE$ грецькою літерою α:

$$\Large \operatorname{ctg}\ \alpha = \frac{|h_s|}{|H_sE|}$$

З цього рівняння нам потрібно знайти |h_s|, тож помножимо обидві частини на |H_sE| і отримаємо:

$$\Large \operatorname{ctg}\ \alpha\cdot|H_sE|=|h_s|$$

Тепер ми знаємо, чому дорівнює висота. Підставимо значення:

$$\begin{eqnarray} |h_s|&=& \operatorname{ctg}\ \alpha\cdot|H_sE|\\ &\approx&2{,}414\cdot5\\ &\approx&12 \end{eqnarray}$$

Висота має довжину приблизно 12. Площа прямокутника, а отже й трикутника, дорівнює

$$\Large S_\triangle=|h_s|\cdot|H_sE|$$

Після підстановки маємо:

$$\Large S_\triangle=12\cdot5=60$$

Площа одного трикутника — приблизно 60. Оскільки всього трикутників вісім, площа правильного восьмикутника зі стороною a = 10 дорівнює приблизно

$$\Large S=8\cdot S_\triangle = 480$$

Як із цього отримати формулу? Для довільного правильного n-кутника зі стороною a було б

$$\large S = n\cdot S_\triangle$$

Залишається загальна формула для $S_\triangle$:

$$\large S_\triangle = \frac{a}{2} \cdot \operatorname{ctg}\ \alpha\cdot\frac{a}{2}$$

Кут α — це половина кута, який трикутник утворює в центрі O, тобто

$$\large \alpha = \frac{360^\circ}{n\cdot2}=\frac{180^\circ}{n}$$

Підставимо назад:

$$\large S_\triangle = \frac{a}{2} \cdot \operatorname{ctg}\ \frac{180^\circ}{n}\cdot\frac{a}{2}$$

І трохи спростимо:

$$\large S_\triangle =\frac14\cdot a^2 \cdot \operatorname{ctg}\ \frac{180^\circ}{n}$$

Останнім кроком помножимо це значення на кількість сторін n-кутника — і маємо підсумкову формулу:

$$\large S =\frac14\cdot a^2\cdot n \cdot \operatorname{ctg}\ \frac{180^\circ}{n}$$