Площа поверхні піраміди

Піраміда — це просторове тіло, схоже на єгипетські піраміди. Вона має основу, на якій стоїть, і кілька трикутних граней. Основою є якийсь многокутник. Подивімося, як може виглядати піраміда:

Правильна чотирикутна піраміда

Це правильна чотирикутна піраміда. Вона правильна, бо її основою є правильний многокутник, а чотирикутна — бо основа є чотирикутником (у цьому випадку квадратом — трохи примружся, щоб побачити там квадрат 😆), а отже, піраміда має чотири трикутні грані. Площу поверхні піраміди обчислимо так: знайдемо площу основи й площу бічних граней. Почнімо з площі основи:

Оскільки ми вже сказали, що основою є правильний чотирикутник, тобто квадрат, скористаємося формулою площі квадрата:

$$\Large S_\square=a^2$$

Це було легко. Тепер буде гірша частина — площа трикутної грані. Обчислімо площу грані ABF:

Грань ABF — це трикутник, до того ж не абиякий, а рівнобедрений:

Щоб обчислити площу рівнобедреного трикутника, треба знати висоту трикутника. Коли ми знаємо висоту h рівнобедреного трикутника (в піраміді її називають апофемою; не плутай її з висотою самої піраміди), його площу можна обчислити як

$$\Large S_\triangle=\frac{a\cdot h}{2}$$

Це площа однієї грані нашої чотирикутної піраміди. Площа всіх чотирьох граней дорівнює

$$\Large S_{4\triangle}=4\cdot\frac{a\cdot h}{2}=2\cdot a\cdot h$$

Тепер можна обчислити площу поверхні всієї піраміди: додамо площі основи та граней:

$$\Large S=S_\square+S_{4\triangle}=a^2+2\cdot a\cdot h$$

Площа поверхні правильної n-кутної піраміди

Піраміда, звісно, не мусить бути лише чотирикутною, вона може бути, наприклад, шестикутною:

Як обчислити площу поверхні такої піраміди? Площу однієї грані обчислюємо так само:

$$\Large S_\triangle=\frac{a\cdot h}{2}$$

Але граней не чотири, а шість, тож цю площу множимо на шість. Якщо піраміда n-кутна, множимо на n:

$$\Large S_{n\triangle}=n\cdot\frac{a\cdot h}{2}$$

Площу основи тоді обчислимо за формулою площі правильного n-кутника:

$$\Large S_{n\diamond}=n\cdot \frac{a\cdot r}{2}$$

де a — довжина сторони основи, а r — відстань від центра многокутника до його сторони. Уся формула виглядала б так:

$$\Large S = n\cdot\frac{a\cdot h}{2}+n\cdot \frac{a\cdot r}{2}$$

Її можна ще спростити до

$$\Large S = n\cdot\left(\frac{a\cdot h+a\cdot r}{2}\right)$$

а далі до

$$\Large S = n\cdot a\cdot\frac{h+r}{2}$$