Об'єднання, перетин, різниця та доповнення множин

Між множинами можна виконувати різні операції. До найосновніших належать об'єднання, перетин, різниця та доповнення.

Об'єднання множин

Об'єднання множин позначаємо символом ∪, тобто об'єднання множин A і B записуємо класично: A ∪ B. Об'єднанням множин A і B утворюється нова множина, яка містить усі елементи множини A і також усі елементи множини B. Означення:

$$A \cup B = \left\{x | x \in A \vee x \in B\right\}$$

Наочний приклад: нехай маємо дві множини A = {1, 3, 5, 7} і B = {2, 4, 6}. Їх об'єднанням утвориться множина: A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Результат містить елементи обох множин.

Ще один приклад: A = {1, 2, 3} і B = {2, 3, 4}. Об'єднанням отримаємо: A ∪ B = {1, 2, 3, 4}. Елементи 2 і 3 не будуть у результаті двічі, бо множина не містить того самого елемента кілька разів.

Інші властивості:

• A ∪ A = A: якщо об'єднати дві однакові множини, отримаємо знову ту саму множину.
• A ∪ B = B ∪ A: об'єднання комутативне, порядок не має значення.
• $A \cup \varnothing = A$: порожня множина не містить жодного елемента, тож об'єднувати немає чого.

Перетин множин

Перетином двох множин A і B утворюється нова множина, яка міститиме елементи, спільні для цих двох множин. Точніше, нова множина міститиме елементи, що належать і A, і B одночасно. Перетин позначаємо символом ∩. Означення:

$$A \cap B = \left\{x | x \in A \wedge x \in B\right\}$$

Приклад: A = {1, 3, 5, 7, 9} і B = {4, 5, 6, 7}. Перетин дорівнює A ∩ B = {5, 7}. Ще один приклад: A = {a, b, c, d, e} і B = {f, g, h, i, j}. Перетин дорівнює: $A \cap B = \varnothing$. Ці множини не мають жодного спільного елемента, тож їхній перетин — порожня множина.

Інші властивості:

• A ∩ A = A: перетином двох однакових множин знову є та сама множина.
• A ∩ B = B ∩ A: перетин комутативний, порядок не має значення.
• $A \cap \varnothing = \varnothing$: порожня множина не містить жодного елемента, тож точно не має спільних елементів із множиною A.

Різниця множин

Різницю множин позначаємо стандартним символом мінуса − або, краще, таким похилим мінусом ∖. Різницею двох множин A і B вважаємо множину, яка міститиме всі елементи з A і водночас не міститиме жодного елемента з B. Одним словом, дивимося, які елементи перша множина має спільними з другою, і ці елементи видаляємо. Означення:

$$A \setminus B = \left\{x \in A | x \notin B\right\}$$

Приклад: A = {1, 2, 3, 4, 5} і B = {4, 5, 6, 7, 8}. Тоді різниця дорівнюватиме A ∖ B = {1, 2, 3}. Це ті елементи, що залишаються, коли з множини A видалити всі елементи, які є в множині B. Ще один приклад: A = {a, b, d, e}. Різниця $A \setminus A = \varnothing$.

Інші властивості:

• $A \setminus A = \varnothing$: так само як, віднімаючи від числа таке саме число, ми отримуємо нуль (наприклад, 5 − 5 = 0), так і віднявши від множини таку саму множину, отримуємо порожню множину.
• $A \setminus \varnothing = A$: порожня множина не містить жодного елемента, тож з множини A не можна забрати жодного елемента.

Доповнення множини

Доповнення множини A позначають по-різному, але, мабуть, найчастіше горизонтальною рискою над літерою: $\overline{A}$ (трапляється й позначення A'). Щоб обчислити доповнення множини A, потрібно знати, у якій множині це доповнення шукаємо (її називають універсальною множиною). Доповнення множини — це всі елементи, яких немає в множині A, тобто своєрідна протилежність множини A.

Нехай універсальна множина — M = {1, 2, 3, …, 9, 10}. Тоді доповненням множини A = {2, 4, 6, 8, 10} у M є множина $\overline{A}=\left\{1, 3, 5, 7, 9\right\}$. Вона містить усі елементи з M, яких немає в A. Можемо сказати, що $\overline{A}$ у M дорівнює M ∖ A.

Якщо за універсальну множину взяти цілі числа, то доповненням множини парних чисел будуть непарні числа. Доповненням множини A = {1, 2, 3, 4} буде множина $\overline{A} = \left\{\ldots, -3, -2, -1, 0, 5, 6, 7, \ldots\right\}$.

Для доповнення справджується: якщо застосувати його двічі, отримаємо початкову множину. Наприклад, на цілих числах: доповнення до парних чисел — непарні числа, а доповнення до непарних чисел — знову парні. Отже, $A = \overline{\overline{A}}$ (доповнення доповнення множини A).