Quadratische Gleichungen

Eine quadratische Gleichung ist eine Gleichung, die eine Unbekannte enthält, die quadriert wird. Kommt in der Gleichung die Unbekannte mit einem höheren Exponenten als 2 vor, ist es keine quadratische Gleichung mehr.

Beschreibung der quadratischen Gleichung

Die allgemeine Form der quadratischen Gleichung sieht so aus:

$$a{x}^2+bx+c=0$$

Die Werte a, b, c sind reelle Zahlen und der Wert a ist ungleich null. Weitere Bezeichnungen:

• ax² heißt quadratisches Glied,
• bx heißt lineares Glied,
• c heißt absolutes Glied.

Jede quadratische Gleichung lässt sich mithilfe von Äquivalenzumformungen oder mithilfe anderer Umformungen auf die allgemeine Form bringen. Ein Beispiel für eine quadratische Gleichung ist diese Gleichung:

$$3x^2-6x+8=0.$$

Schwieriger ist schon die Frage, ob auch diese Gleichung quadratisch ist:

$$(x+1)\cdot (x+2)=7.$$

Nirgends ist x² zu sehen und auf der rechten Seite steht keine Null. Die rechte Seite bringen wir einfach in Ordnung, wir subtrahieren die Sieben und erhalten die Form

$$(x+1)\cdot (x+2)-7=0.$$

Immer noch haben wir kein x². Wir multiplizieren die Klammern aus und erhalten:

$$x^2+2x+x+2-7=0$$

Jetzt taucht x² auf. Nach dem Zusammenfassen erhalten wir endlich die allgemeine Form der quadratischen Gleichung:

$$x^2+3x-5=0.$$

Wie sieht es mit dem folgenden Beispiel aus, ist das eine quadratische Gleichung? Lässt sie sich auf die allgemeine Form bringen?

$$x^2+3x+\frac{4}{x}=0$$

Die Antwort lautet, dass das nicht geht. Wenn wir nämlich die ganze Gleichung mit der Variablen x multiplizieren, um die Variable im Nenner des Bruchs loszuwerden, erhalten wir:

$$x^3+3x^2+4=0.$$

Jetzt steht dort x³, was in einer quadratischen Gleichung nicht vorkommen kann.

Es gibt spezielle Typen quadratischer Gleichungen, je nachdem, welche Werte die Koeffizienten a, b und c haben.

Werte der Koeffizienten

Für die weiteren Kapitel ist es absolut entscheidend, dass du die einzelnen Koeffizienten a, b und c sicher bestimmen kannst. Beginnen wir mit einem einfachen Beispiel. Bestimme die Koeffizienten der Gleichung 3x² + 4x + 7 = 0. Hier ist es einfach, a = 3, b = 4 und c = 7.

Und wie sieht es zum Beispiel mit der Gleichung 3x² − x + 2 = 0 aus? Die Werte a und c sind klar, a = 3 und c = 2, aber was ist mit b? Es wäre falsch zu schreiben, dass b = 1. Stell dir vor, dass vor dem x eine Eins steht, so: 3x² − 1x + 2 = 0. Jetzt ist vielleicht besser zu sehen, dass b = −1.

Ein weiteres interessantes Beispiel: x² − 3 = 0. Hier kann wieder beim Koeffizienten b ein Problem auftreten, die anderen sind offensichtlich: a = 1 und c = −3. Welchen Wert hat der Koeffizient b? Das lineare Glied kommt in dieser Gleichung überhaupt nicht vor, es ist dasselbe, als würden wir die Gleichung in der Form x² + 0x − 3 = 0 schreiben. Es gilt also b = 0.

Ein schwierigeres Beispiel:

$$5x^2+3x+\pi \cdot x=0$$

In dieser Gleichung stecken zwei Fallen. Es gibt kein absolutes Glied, also c = 0. Das quadratische Glied ist klar, also a = 5. Aber was ist mit dem verflixten b? Wir können die Gleichung noch etwas umformen, wir klammern aus zwei Termen die Variable x aus:

$$5x^2+(3+\pi )x=0$$

Der Koeffizient b ist wieder das, was „vor“ der Variablen x steht, also ist die ganze Klammer gleich dem Koeffizienten b = (3 + π). Eine ähnliche Gleichung:

$$-x^2+4x+1-\sqrt{2}=0$$

Die ersten beiden Koeffizienten sind offensichtlich: a = −1 und b = 4. Was ist das absolute Glied? Das sind die übrigen Terme, in denen kein x steht. Es gilt also $c=1-\sqrt{2}$. Hab keine Angst vor der Wurzel, sie beißt nicht, es ist eine ganz normale Zahl.

Und welche Werte haben die Koeffizienten bei dieser Gleichung? (x + 1)(x + 2) = −2x. Zuerst müssen wir die Gleichung auf die allgemeine Form bringen. Wir multiplizieren die Klammern aus und erhalten

$$x^2+3x+2=-2x$$

und schließlich addieren wir auf beiden Seiten 2x, damit auf der rechten Seite null steht:

$$x^2+5x+2=0.$$

Die Werte sind jetzt offensichtlich: a = 1, b = 5, c = 2.

Reinquadratische Gleichung

Wenn b = 0 ist, handelt es sich um eine reinquadratische Gleichung, die ähnlich wie eine lineare Gleichung gelöst wird. Diese Gleichung hat also die allgemeine Form:

$$a{x}^2+c=0$$

Weil b = 0 ist, fällt das ganze lineare Glied bx aus der Gleichung weg, denn 0x = 0. Die Gleichung lösen wir so, dass wir zuerst das absolute Glied subtrahieren. Wir subtrahieren also auf beiden Seiten den Wert c. Damit erhalten wir:

$$\begin{array}{rcl}a{x}^2+c& =& 0/-c\\ a{x}^2& =& -c\end{array}$$

Dann dividieren wir die Gleichung durch die Zahl a. Wir erhalten die Form:

$$x^2=\frac{-c}{a}$$

Und zum Schluss ziehen wir auf beiden Seiten die Wurzel. Dabei muss gelten, dass der Bruch auf der rechten Seite nicht negativ sein darf, weil man aus einer negativen Zahl keine Wurzel ziehen kann. Wir erhalten das Ergebnis:

$$x_1=\sqrt{\frac{-c}{a}},x_2=-\sqrt{\frac{-c}{a}}$$

Beachte, dass wir zwei Ergebnisse erhalten, ein positives und ein negatives. Das ist an einem Beispiel besser zu sehen. Wir lösen die Gleichung

$$2x^2-8=0.$$

Nach dem Verfahren subtrahieren wir zuerst das Glied c. Achtung, das Glied c ist in diesem Fall negativ, wir subtrahieren also eine negative Zahl, das heißt, wir addieren eine positive. Auf beiden Seiten addieren wir also +8 (Ziel ist, die Acht auf die rechte Seite zu bekommen). Wir erhalten die Form:

$$2x^2=8$$

Dann dividieren wir nach dem Verfahren die Gleichung durch die Zahl a, also durch die Zwei. Nach der Division erhalten wir die Form:

$$x^2=4$$

Jetzt ziehen wir die Wurzel.

$$x_1=2,x_2=-2$$

Warum ist auch minus zwei dabei? Weil minus zwei mal minus zwei vier ergibt. Wir können uns auch die grafische Lösung ansehen: Wir sehen, dass der Graph der Funktion 2x² − 8 die x-Achse genau in den Punkten x₁ = −2 und x₂ = 2 schneidet.

Löse die Gleichung

$$80x^2-5=0.$$

Wir addieren auf beiden Seiten 5:

$$80x^2=5$$

Wir dividieren durch 80:

$$x^2=\frac{5}{80}$$

Wir kürzen den Bruch:

$$x^2=\frac{1}{16}$$

Wir ziehen die Wurzel:

$$x_1=\frac{1}{4},x_2=-\frac{1}{4}$$

Quadratische Gleichung ohne Absolutglied

Ein weiterer spezieller Fall der quadratischen Gleichung tritt ein, wenn das absolute Glied c gleich null ist. Die Gleichung hat die allgemeine Form:

$$a{x}^2+bx=0$$

Dieser Typ von Gleichung wird durch Ausklammern der Unbekannten gelöst:

$$x(ax+b)=0.$$

Hier ist das Ergebnis schon ziemlich klar zu sehen. Wieder ergeben sich zwei Lösungen der Gleichung, aber eine davon ist immer null. Die ganze linke Seite haben wir nämlich in Form eines Produkts zweier Terme: x und die Klammer (ax + b). Wann ist dieses Produkt gleich null? Wenn mindestens einer dieser Terme gleich null ist. Die linke Seite ist also in zwei Fällen gleich null:

$$x=0\text{oder}ax+b=0.$$

Die erste Lösung der Gleichung haben wir damit schon, es ist die Null. Die zweite erhalten wir, wenn wir die lineare Gleichung ax + b = 0 lösen. Aus dem Artikel über lineare Gleichungen wissen wir, dass diese Gleichung genau eine Lösung hat, und zwar:

$$x=-\frac{b}{a}$$

Wir können also schon das Ergebnis der ganzen quadratischen Gleichung ax² + bx = 0 aufschreiben:

$$x_1=0,x_2=-\frac{b}{a}.$$

Beispiel:

$$6x^2+3x=0$$

Wir klammern x aus:

$$x(6x+3)=0$$

Die erste Lösung ist x = 0. Die zweite Lösung finden wir, indem wir die lineare Gleichung 6x + 3 = 0 lösen:

$$x=-\frac{b}{a}=-\frac{3}{6}=-\frac{1}{2}.$$

Wir schreiben das Ergebnis auf:

$$x_1=0,x_2=-\frac{1}{2}.$$

Wieder können wir uns den Graphen der Funktion ansehen, der die x-Achse genau in diesen Punkten schneidet:

Weitere Lösungswege

Das waren die grundlegenden Techniken für spezielle Typen quadratischer Gleichungen. Die allgemeine quadratische Gleichung wird mithilfe der Diskriminante gelöst. Zu den weiteren Typen von Gleichungen gehört die quadratische Gleichung mit Parameter.

Rechner

Gib die Koeffizienten a, b und c der allgemeinen Gleichung ax² + bx + c = 0 ein, und der Rechner berechnet die Diskriminante und die Lösungen. Als eigenständige Seite findest du ihn auch als Rechner für quadratische Gleichungen.