Mengen

Eine Menge kann man sich als eine Sammlung von Elementen vorstellen. Jede Menge enthält also eine bestimmte Anzahl von Elementen, die endlich oder unendlich sein kann. Sie muss auch kein Element enthalten, dann sprechen wir von der leeren Menge. Eine Menge bezeichnen wir üblicherweise mit einem großen Buchstaben, zum Beispiel M, und die Elemente der Menge mit einem kleinen Buchstaben m.

Was ist eine Menge

Die Menge ist einer der Grundbegriffe der Mathematik, mit dem sich viele weitere Dinge definieren lassen. Deshalb ist es gut, gleich am Anfang zu klären, was eine Menge ist, damit du beim weiteren Lernen nicht im Dunkeln tappst.

Eine Menge ist also eine Sammlung beliebiger Elemente. In der Mathematik arbeiten wir am häufigsten mit Zahlenmengen, also mit Mengen, deren Elemente Zahlen sind. Die klassische Schreibweise einer Menge in der Mathematik sieht so aus:

$$M=\{1;2;3\}$$

Damit haben wir eine Menge mit dem Namen „M“ beschrieben, die drei Elemente enthält, die Eins, die Zwei und die Drei. Mengen schreiben wir immer in geschweiften Klammern. Praktisch immer, wenn du geschweifte Klammern siehst, handelt es sich um irgendeine Menge.

Wozu können wir Mengen verwenden? Mengen legen oft fest, welche Elemente wir auswählen dürfen. Im Alltag könntest du zum Beispiel sagen: „Anna, wir spielen ein Spiel, ja? Denk dir eine Zahl von eins bis fünf aus.“ Damit hast du für Anna ein Intervall von Zahlen festgelegt, aus denen sie wählen kann. In der Mathematik würdest du dafür eine Menge verwenden:

$$L=\{1;2;3;4;5\}$$

Und dann könntest du zu Anna sagen: „Anna, wir spielen ein Spiel, ja? Denk dir irgendeine Zahl aus, die in der Menge L enthalten ist.“ Das Spiel wäre bestimmt gleich viel lustiger. In der Mathematik verwenden wir das Zeichen ∈ für die Aussage, dass ein Element zu einer Menge gehört, und wenn es nicht dazugehört, schreiben wir ∉. Wollen wir also sagen, dass die Eins zur Menge L gehört, die Sieben aber nicht, schreiben wir: 1 ∈ L und 7 ∉ L.

Eine Menge kann natürlich auch leer sein, dafür dient entweder die Schreibweise P = {} oder einfacher P = ∅. Beachte, dass beide Schreibweisen „leere Menge“ bedeuten. Schreibst du es dagegen so: P = {∅}, dann hast du eine Menge aufgeschrieben, die die leere Menge als Element enthält. Das ist nicht dasselbe wie die leere Menge.

Ungeordnetheit und Duplikate

Von einer Menge sagen wir nicht, dass ihre Elemente in irgendeiner Weise geordnet sind. Eine Menge enthält eine ungeordnete Sammlung von Elementen. Haben wir zwei Mengen A = {1; 2; 3} und B = {3; 2; 1}, dann sagen wir, dass sie gleich sind. Auf die Reihenfolge der Elemente in der Menge kommt es einfach nicht an.

Ebenso interessieren uns doppelte Elemente nicht. Enthält eine Menge mehrere gleiche Elemente (mehrere gleiche Zahlen), dann berücksichtigen wir immer nur ein einziges Vorkommen des jeweiligen Elements. Haben wir wieder diese beiden Mengen A = {1; 1; 2; 2; 2} und B = {2; 1}, dann betrachten wir sie als gleich. Es macht nichts, dass die Menge A „mehr“ Elemente enthält, weil sie verdoppelte oder verdreifachte Elemente enthält. Beim Rechnen mit Mengen filtern wir diese mehrfachen Elemente einfach heraus.

Größe und Gleichheit

Wir können den Begriff der Größe einer Menge definieren, das ist die Anzahl der Elemente in der Menge. Aus dem vorigen Beispiel A = {1; 1; 2; 2; 2} und B = {2; 1} würde also gelten, dass die Größe der Menge A zwei ist, aber die Größe der Menge B ist ebenfalls zwei, denn auch beim Zählen der Elemente einer Menge interessieren uns doppelte Elemente nicht. Die Größe einer Menge schreiben wir zwischen senkrechte Striche: |A| = |B| = 2.

Wie du wahrscheinlich schon verstanden hast, sind zwei Mengen gleich, wenn beide Mengen dieselben Elemente haben. Ein paar Beispiele:

$$\begin{array}{rcl}\{1;2;3\}& =& \{1;2;3\}\\ \{1;2;3\}& =& \{1;2;3;2;3;1\}\\ \{a;h;o;j\}& =& \{o;o;h;j;a;o\}\\ \{1;3;5;9\}& \ne & \{1;3;9\}\\ \mathrm{\varnothing }& \ne & \left\{x\right\}\end{array}$$

Eine wesentliche Eigenschaft ist, dass Mengen als eines ihrer Elemente wieder eine Menge enthalten können. Beispiel: C = {1; 2; {3; 4; 5; 6}}. Es ist wichtig zu verstehen, dass die Menge C dreielementig ist, nicht sechselementig. Die Menge C enthält drei Elemente: die Eins, die Zwei und eine Menge. Die Elemente 3, 4, 5 und 6 enthält die innere Menge, nicht die Menge C. Es gilt also |C| = 3. Ein komplizierteres Beispiel:

$$D=\{0;\{1;\{2;3\}\};\left\{4\right\}\}$$

Wie viele Elemente enthält die Menge D? Sie enthält drei Elemente, und zwar diese:

$$D_1=0,D_2=\{1;\{2;3\}\},D_3=\left\{4\right\}$$

Eine Menge kann endlich oder unendlich sein. Endlich sind alle Mengen, die wir bisher erwähnt haben. Unendlich ist zum Beispiel die Menge aller Zahlen.

Teilmenge

Nehmen wir zwei Mengen A = {1; 2} und B = {1; 2; 3}. Diese Mengen sind verschieden, weil sie nicht dieselben Elemente enthalten, die Menge B ist größer. Du hast aber sicher bemerkt, dass die Menge B genau dieselben Elemente enthält wie die Menge A, nur hat sie zusätzlich das Element 3. In diesem Moment können wir sagen, dass A eine Teilmenge von B ist.

Ist A eine Teilmenge von B, dann muss gelten, dass alle Elemente, die die Menge A enthält, auch in der Menge B enthalten sein müssen. Teilmenge zu sein ist eine Relation, und wir schreiben sie mit dem Symbol ⊆. Formale Definition:

$$A\subseteq B\iff \mathrm{\forall }x\in A:x\in B$$

Üblicherweise nimmt man an, dass die Mengen A und B auch gleich sein können und trotzdem A ⊆ B gilt. Wollen wir die strenge Variante der Teilmenge ausdrücken, verwenden wir ein anderes Symbol: ⊂. Dann gilt: Wenn A ⊂ B, dann muss die Menge B größer sein (falls sie endlich ist), sie muss also ein Element enthalten, das die Menge A nicht enthält. Eine solche Menge nennen wir dann „echte Teilmenge“. Wenn also A ⊂ B, dann ist A eine echte Teilmenge von B. Definition der echten Teilmenge:

$$A\subset B\iff (A\subseteq B\wedge A\ne B)$$

Die Definition ist dieselbe wie bei der gewöhnlichen Teilmenge, nur dürfen die beiden Mengen nicht gleich sein. Einige Beispiele:

$$\begin{array}{rcl}\{a;h;o\}& \subseteq & \{a;h;o;j\}\\ \{a;h;o\}& \subset & \{a;h;o;j\}\\ \{2;4;6\}& \subseteq & \{2;4;6;8;\dots \}\\ \{2;4;6\}& \subset & \{2;4;6;8;\dots \}\\ \{1;2;3\}& ⊈& \{1;3\}\\ \{1;2;3\}& \not\subset & \{1;3\}\\ \{0;1\}& \subseteq & \{0;1\}\\ \{0;1\}& \not\subset & \{0;1\}\\ \mathrm{\varnothing }& \subseteq & \left\{\pi \right\}\\ \mathrm{\varnothing }& \subset & \left\{\pi \right\}\\ \mathrm{\varnothing }& \subseteq & \left\{\mathrm{\varnothing }\right\}\\ \mathrm{\varnothing }& \subset & \left\{\mathrm{\varnothing }\right\}\\ \left\{0\right\}& ⊈& \mathrm{\varnothing }\\ \left\{0\right\}& \not\subset & \mathrm{\varnothing }\\ \{\diamond ;△;\odot ;‡;\wr \}& \subseteq & \{\diamond ;△;\odot ;‡;\wr ;\star ;\bullet ;\mp \}\\ \{\diamond ;△;\odot ;‡;\wr \}& \subset & \{\diamond ;△;\odot ;‡;\wr ;\star ;\bullet ;\mp \}\end{array}$$

Eigenschaften der Teilmenge:

• A ⊆ A: Eine Menge ist immer ihre eigene Teilmenge.
• A ⊄ A: Eine Menge ist nie ihre eigene echte Teilmenge.
• ∅ ⊆ A: Die leere Menge ist Teilmenge jeder beliebigen Menge.
• A ⊄ ∅: Die leere Menge hat keine echte Teilmenge.

Mithilfe von Teilmengen können wir die Gleichheit von Mengen aufschreiben:

$$A=B\iff A\subseteq B\wedge B\subseteq A$$

Sind beide Mengen gleich, dann ist jede die Teilmenge der anderen.

Die Teilmenge können wir auch mit dem Wort „Inklusion“ bezeichnen.

Potenzmenge

Die Potenzmenge ist die Menge aller Teilmengen einer gegebenen Menge. Man bezeichnet sie üblicherweise entweder mit P(M) oder mit 2^M.

Beispiel: M = {1; 2; 3}. Welche Teilmengen gibt es? Sicher die leere Teilmenge und die Menge M selbst. Weiter: {1}, {2}, {3}, {1; 2}, {1; 3}, {2; 3}. Alle diese Mengen bilden zusammen die Potenzmenge der Menge M. Wir schreiben: P(M) = {∅; M; {1}; {2}; {3}; {1; 2}; {1; 3}; {2; 3}}.

Weil die leere Menge Teilmenge jeder Menge ist und M immer Teilmenge von M ist, gilt immer ∅ ∈ P(M) und M ∈ P(M).

Wie man eine Menge aufschreibt

Eine Möglichkeit haben wir schon erwähnt, nämlich die einfache Aufzählung der Elemente. Dazu verwenden wir geschweifte Klammern. M = {1; 2; 3} oder N = {a; b; c; d} usw. Schreiben wir eine unendliche Menge auf, können wir dazu drei Punkte verwenden, wenn klar ist, wie die Folge der Elemente weitergeht: M = {1; 2; 3; …}

Die Hauptmöglichkeit, eine Menge aufzuschreiben, ist die charakteristische Eigenschaft der Menge. Allgemein sähe die Schreibweise so aus: {x ∈ X ∣ P(x)}, wobei X die Menge ist, aus der wir die Elemente auswählen, und P(x) eine Formel, die die Elemente der Menge festlegt. Die Formel kann rein mathematisch oder in Worten angegeben werden. Statt „|“ wird auch das Semikolon „;“ verwendet.

Zum Beispiel „die Menge M enthalte alle Zahlen, die einen Tag im Monat bezeichnen“. Ein Monat hat höchstens 31 Tage, eine solche Menge hätte also 31 Elemente, von 1 bis 31. Wir könnten sie mithilfe der drei Punkte so aufschreiben: M = {1; 2; 3; …; 30; 31}. Eine weitere Schreibweise derselben Menge könnte so aussehen: {x ∈ ℤ ∣ x bezeichnet einen Tag im Monat}, wobei ℤ die Menge der ganzen Zahlen bezeichnet.

Ein eher mathematisches Beispiel könnte lauten: „die Menge P enthalte alle positiven Zahlen, die durch fünf teilbar sind“. Dann sähe die Menge so aus: P = {5; 10; 15; 20; 25; …}

Versuchen wir, die Menge T der natürlichen Zahlen, die kleiner als zehn sind, mathematisch aufzuschreiben: T = {x ∈ ℕ ∣ x<10}. Diese Schreibweise sagt uns: Die Menge T besteht aus Elementen x, die wir aus der Menge der natürlichen Zahlen nehmen und die die Bedingung erfüllen, dass sie kleiner als 10 sind. Schauen wir also die natürlichen Zahlen an und geben nur die zurück, die kleiner als zehn sind: {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}. Und das ist alles.

Noch ein Beispiel: Y = {x ∈ ℤ ∣ x ≠ 0}. Wir haben eine Menge Y definiert, die Elemente x enthält, die wir aus den ganzen Zahlen nehmen, und die einzige Bedingung, die x erfüllen muss, ist, dass es nicht null sein darf. Die Menge Y enthält also alle ganzen Zahlen außer der Null.

Noch ein Beispiel: G = {x ∈ ℝ ∣ x · x = x}. Die Menge G enthält Elemente x, die wir aus den reellen Zahlen nehmen, und für alle Elemente x muss gelten, dass wir wieder die Zahl x erhalten, wenn wir sie mit sich selbst multiplizieren. Wir können zum Beispiel die Zahl 5 ausprobieren. Nach der Definition soll diese Gleichung gelten: 5 · 5 = 5. Das stimmt offensichtlich nicht, also ist die Zahl 5 kein Element der Menge G. Probieren wir die Eins: 1 · 1 = 1. Für sie gilt das offensichtlich, also ist die Eins ein Element der Menge G. Das zweite und zugleich letzte Element ist die Zahl Null. Für keine weitere Zahl gilt es mehr. Wir können also schreiben: G = {0; 1}.

Und ein letztes Beispiel. Ich schreibe etwas Komplizierteres auf, damit du siehst, dass die charakteristische Eigenschaft auch kompliziert sein kann:

$$X=\{x\in \mathbb{R}\mid (x^2=2x)\vee (\sin (x)=\pi \wedge \cos (x)=\pi )\}$$

Eine Menge wird in der Praxis am häufigsten durch eine charakteristische Eigenschaft definiert, und man kann sagen, dass ein ziemlich großer Teil der Begriffe in der Mathematik mithilfe von Mengen definiert ist. Nehmen wir zum Beispiel ein Intervall, dann können wir sagen, dass das Intervall ]a; b[ eine Menge I ist, für die gilt:

$$I=\{x\in \mathbb{R}\mid (x>a)\wedge (x<b)\}$$

Das sind alle Elemente aus der Menge der reellen Zahlen, die größer als a und kleiner als b sind, und genau das drückt ein Intervall aus.