Fakultät

Die Fakultät einer Zahl n ist gleich dem Produkt aller natürlichen Zahlen, die kleiner oder gleich n sind. Die Fakultät schreiben wir mit einem Ausrufezeichen n!. Für null gilt dabei: 0! = 1. Die Fakultät wird vor allem in der Kombinatorik verwendet, wo mit ihrer Hilfe zum Beispiel Permutationen berechnet werden. So wäre die Fakultät von fünf gleich 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120.

Definition der Fakultät

Die Fakultät können wir auf verschiedene Arten definieren. Die einfachste ist wohl diese:

$$n!=\{\begin{array}{ll}1& \text{falls n = 0}\\ n\cdot (n-1)!& \text{sonst}\end{array}$$

Wir können auch die Definition mithilfe eines Produkts angeben:

$$n!=\prod _{k=1}^{n}k$$

Oder auch noch mithilfe eines Integrals:

$$(z-1)!=\mathrm{\Gamma }(z):={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{t}^{z-1}{\mathrm{e}}^{-t}\mathrm{d}t,\mathrm{\Re }(z)>0.$$

Rechnen mit Fakultäten

Mit Fakultäten wird oft in Brüchen gerechnet. Dabei nutzt man die Tatsache, dass n! = n · (n − 1)! gilt. Das gilt per Definition, wir zeigen es an einem Beispiel. Wir wissen, dass die Fakultät von vier, 4!, gleich dem Produkt dieser natürlichen Zahlen ist: 4 · 3 · 2 · 1. Dabei können wir schreiben, dass das Produkt 3 · 2 · 1 gleich der Fakultät von drei ist: 3 · 2 · 1 = 3!. Die Fakultät von vier können wir dann als 4! = 4 · 3! schreiben.

$$4!=4\cdot \underset{=3!}{\underbrace{3\cdot 2\cdot 1}}=4\cdot 3!$$

Dadurch können wir viele verschiedene Fakultäten in Brüchen effektiv kürzen. Ein Beispiel – vereinfache den Term:

$$\frac{n!}{(n-2)!}$$

Die Vereinfachung führen wir nach der Formel durch, die ich eben erwähnt habe. Im Zähler können wir die Fakultät in n · (n − 1)! zerlegen und dies können wir (nach derselben Formel) noch weiter in n · (n − 1) · (n − 2)! zerlegen. Jetzt können wir den Bruch schön kürzen:

$$\frac{n!}{(n-2)!}=\frac{n(n-1)\boxed{\text{(n-2)!}}}{\boxed{\text{(n-2)!}}}=n(n-1)$$

Noch ein Beispiel:

$$\begin{array}{rcl}\frac{n!\cdot (n+1)!}{(n-1)!\cdot (n+2)!}& =& \frac{n\cdot \boxed{\text{(n-1)!}}\cdot (n+1)!}{\boxed{\text{(n-1)!}}\cdot (n+2)!}\\ & =& \frac{n\cdot (n+1)!}{(n+2)!}\\ & =& \frac{n\cdot \boxed{\text{(n+1)!}}}{(n+2)\cdot \boxed{\text{(n+1)!}}}\\ & =& \frac{n}{n+2}\end{array}$$

Und das letzte Beispiel zur Fakultät:

$$\begin{array}{rcl}\frac{(2(n+1))!}{(2n)!}& =& \frac{(2n+2)!}{(2n)!}\\ & =& \frac{(2n+2)(2n+1)\boxed{\text{(2n)!}}}{\boxed{\text{(2n)!}}}\\ & =& (2n+2)(2n+1)\end{array}$$