Diskriminante

Die Diskriminante ist ein Polynom, mit dessen Hilfe wir die Lösungen einer allgemeinen quadratischen Gleichung berechnen oder bestimmen können, ob die Gleichung Lösungen hat und wie viele.

Formel und grundlegende Zusammenhänge

Zuerst wiederholen wir die allgemeine Form der quadratischen Gleichung:

$a x^{2} + b x + c = 0, a \neq 0$

wobei a, b, c reelle Zahlen sind. Die Diskriminante, wir bezeichnen sie mit D, berechnen wir so:

$D = b^{2} - 4 \cdot a \cdot c$

Beispiel: Wir haben die quadratische Gleichung 3x² + 5x − 7 = 0. Für diese Gleichung gilt: a = 3, b = 5, c = −7. Die Diskriminante berechnen wir so:

$D = 5^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 7) = 25 + 4 \cdot 3 \cdot 7 = 25 + 84 = 109$

Das Ergebnis ist also 109. Was sagt uns diese Zahl? Wenn die Diskriminante…

positiv ist, hat die Gleichung zwei verschiedene reelle Lösungen,
null ist, hat die Gleichung zwei gleiche reelle Lösungen,
negativ ist, hat die Gleichung in der Menge der reellen Zahlen keine Lösung. Sie hat aber eine Lösung in der Menge der komplexen Zahlen.

So berechnest du die Lösungen einer quadratischen Gleichung

Mithilfe der Diskriminante können wir die Lösungen der quadratischen Gleichung direkt berechnen. Die Formel für die Berechnung der Lösungen lautet:

$x_{1, 2} = \frac{- b \pm \sqrt{D}}{2 a},$

wobei D die Diskriminante ist. Die ganze Formel mit ausgeschriebener Diskriminante sieht so aus:

$x_{1, 2} = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} .$

Wir berechnen mit dieser Formel die Lösungen der quadratischen Gleichung x² + 7x + 12 = 0. Zuerst berechnen wir die Diskriminante:

$D = 7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 - 48 = 1.$

Die Diskriminante ist positiv, die Gleichung hat also zwei verschiedene reelle Lösungen. Wir berechnen die erste Lösung. Zuerst addieren wir die Wurzel aus der Diskriminante, im zweiten Schritt subtrahieren wir die Wurzel:

$x_{1} = \frac{- 7 + \sqrt{1}}{2} = \frac{- 7 + 1}{2} = - \frac{6}{2} = - 3.$

Die erste Lösung ist −3. Die zweite Lösung berechnen wir durch Subtraktion der Wurzel:

$x_{2} = \frac{- 7 - \sqrt{1}}{2} = \frac{- 7 - 1}{2} = - \frac{8}{2} = - 4.$

Jetzt haben wir beide Lösungen der Gleichung, x₁ = −3 und x₂ = −4.

Um dieses Verfahren zu beherrschen, musst du unbedingt die Werte a, b und c richtig bestimmen können. Wie das geht, wurde im ersten Artikel über quadratische Gleichungen beschrieben.

Und was bedeutet diese Lösung grafisch, wie zeigt sie sich im Graphen? Wenn wir den Graphen der Funktion zeichnen, die auf der linken Seite der Gleichung steht, sehen wir, dass der Graph dieser quadratischen Funktion die x-Achse in zwei Punkten schneidet – in den Punkten x₁ = −3 und x₂ = −4.

Graph der Funktion y=x^2+7x+12

Diskriminante gleich null

Wenn die Diskriminante null ergibt, bedeutet das, dass die Gleichung eine Lösung hat, aber nur eine; genauer gesagt zwei, die aber gleich sind. Beispiel: Löse die Gleichung x² − 10x + 25 = 0. Wir berechnen die Diskriminante:

$D = (- 10)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 25 = 100 - 100 = 0.$

Die Lösung berechnen wir genauso wie im vorigen Kapitel mit der Formel. Weil die Diskriminante aber null ist, verschwindet aus der Formel das Plus/Minus der Wurzel aus D, denn wir würden null addieren/subtrahieren.

$x_{1, 2} = \frac{- (- 10)}{2} = \frac{10}{2} = 5.$

Wir haben eine doppelte Lösung erhalten, x = 5. Was bedeutet das grafisch? Dass der Graph der Funktion die x-Achse in genau einem Punkt berührt, in seinem Scheitelpunkt.

Graph der Funktion y=x^2-10x+25

Negative Diskriminante

Wenn wir eine negative Diskriminante erhalten, hat die quadratische Gleichung in der Menge der reellen Zahlen keine Lösung. Die Gleichung können wir in der Menge der komplexen Zahlen lösen, aber davon handelt erst der nächste Artikel. Als Beispiel versuchen wir, diese quadratische Gleichung zu lösen: x² + x + 1 = 0. Diskriminante:

$D = 1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = - 3.$

Die quadratische Gleichung hat also keine Lösung in der Menge der reellen Zahlen. Du kannst es ausprobieren – das Polynom x² + x + 1 ist für alle reellen Zahlen positiv. Wenn du zum Beispiel für x die Eins einsetzt, erhältst du: 1 + 1 + 1 = 3. Für x = −1 ergibt sich 1 − 1 + 1 = 1. Für x = 0 ergibt sich 0 + 0 + 1 = 1. Und ähnlich für weitere Zahlen. Du kannst dir auch den Graphen der Funktion y = x² + x + 1 ansehen, er schneidet die x-Achse nie.

Graph der Funktion y=x^2+x+1

Satz von Vieta

Wir wissen schon, wie man die Lösungen einer quadratischen Gleichung berechnet. Welcher Zusammenhang besteht aber zwischen ihnen? Wir versuchen, beide Lösungen x₁ und x₂ zu addieren:

$\begin{array}{rcl} x_{1} + x_{2} & = & \frac{- b + \sqrt{D}}{2 a} + \frac{- b - \sqrt{D}}{2 a} \\ = & \frac{- b + \sqrt{D} - b - \sqrt{D}}{2 a} \\ = & \frac{- 2 b}{2 a} = - \frac{b}{a} \end{array}$

Addieren wir die Lösungen der quadratischen Gleichung ax² + bx + c = 0, erhalten wir den Quotienten −b/a. Was passiert, wenn wir die Lösungen multiplizieren?

$\begin{array}{rcl} x_{1} \cdot x_{2} & = & \frac{- b + \sqrt{D}}{2 a} \cdot \frac{- b - \sqrt{D}}{2 a} \\ = & \frac{b^{2} + b \cdot \sqrt{D} - b \cdot \sqrt{D} - D}{4 a^{2}} \\ = & \frac{b^{2} - D}{4 a^{2}} \\ = & \frac{b^{2} - (b^{2} - 4 a c)}{4 a^{2}} \\ = & \frac{4 a c}{4 a^{2}} = \frac{c}{a} \end{array}$

Wenn wir die Lösungen also multiplizieren, erhalten wir die Zahl c/a. Und das ist der Satz von Vieta. Noch einmal zusammengefasst:

$\begin{array}{rcl} x_{1} + x_{2} & = & - \frac{b}{a} \\ x_{1} \cdot x_{2} & = & \frac{c}{a} \end{array}$

Beachte, dass im Nenner des Bruchs immer der Term a steht. Ein Spezialfall ist die quadratische Gleichung, für die a = 1 gilt. Dann können wir den Satz von Vieta so schreiben:

$\begin{array}{rcl} wenn a = 1 : \\ x_{1} + x_{2} & = & - b \\ x_{1} \cdot x_{2} & = & c \end{array}$

Das können wir beim Suchen der Lösungen quadratischer Gleichungen nutzen. Statt mühsam die Diskriminante zu berechnen, können wir schauen, ob wir solche Zahlen x₁ und x₂ finden, dass die obigen Beziehungen gelten. Beispiel: Finde die Lösungen der Gleichung x² + 8x + 15 = 0. Es gilt a = 1, also können wir den einfacheren Satz von Vieta verwenden. Wir suchen Zahlen x₁ und x₂, sodass gilt:

$\begin{array}{rcl} x_{1} + x_{2} & = & - 8 \\ x_{1} \cdot x_{2} & = & 15 \end{array}$

Wenn wir uns nur auf ganze Zahlen beschränken, haben wir insgesamt vier Möglichkeiten, als Produkt 15 zu erhalten:

$\begin{array}{rcl} 1 \cdot 15 & = & 15 \\ 3 \cdot 5 & = & 15 \\ - 3 \cdot (- 5) & = & 15 \\ - 1 \cdot (- 15) & = & 15 \end{array}$

Jetzt brauchen wir, dass die Summe der Zahlen auf der linken Seite −8 ergibt. Nur ein einziges Paar liefert diese Summe, und zwar −3 und −5. Diese Zahlen sind also die Lösungen der quadratischen Gleichung. Wir können sie zur Probe in die Gleichung einsetzen, es muss null herauskommen:

$\begin{array}{rcl} (x = - 3) : & (- 3)^{2} + 8 \cdot (- 3) + 15 = 9 - 24 + 15 = 0 \\ (x = - 5) : & (- 5)^{2} + 8 \cdot (- 5) + 15 = 25 - 40 + 15 = 0 \end{array}$

Stimmt. Wenn du die Lösungen kennst, kannst du die Gleichung auch in einer übersichtlicheren Form schreiben. Sind x₁ und x₂ die Lösungen der Gleichung ax² + bx + c = 0, dann kannst du für a = 1 die Gleichung in die Form

$(x - x_{1}) (x - x_{2}) = 0$

umschreiben. Die vorige Gleichung können wir also in die Form umschreiben:

$(x - (- 3)) (x - (- 5)) = (x + 3) (x + 5) = 0.$

Kapitel: Quadratische Gleichungen, Diskriminante, Quadratische Gleichung mit Parameter, Quadratische Gleichungen in der Menge der komplexen Zahlen

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