Dados no transitivos

Imagina que tienes tres dados de seis caras con números cualesquiera. ¿Puede ocurrir que en el dado A salga con más frecuencia un número mayor que en el dado B, que en el dado B salga con más frecuencia un número mayor que en el dado C y que en el dado C salga con más frecuencia un número mayor que en el dado A?

Transitividad

La transitividad es un concepto de las relaciones binarias. Decimos que una relación R en M es transitiva si para todos a, b, c ∈ M se cumple que, si (a, b) ∈ R y a la vez (b, c) ∈ R, entonces también (a, c) está en R.

En el caso de los dados podríamos tener la relación «ser mejor dado», en el sentido de que el dado A es mejor que el dado B si en el dado A sale con más frecuencia un número mayor que en el dado B. Entonces la transitividad se vería así: si el dado A es mejor que el dado B y a la vez el dado B es mejor que el dado C, entonces el dado A también tiene que ser mejor que el dado C. ¿Es cierto?

Intentaremos encontrar un contraejemplo, es decir, tres dados que sean mejores de forma cíclica. El dado A será mejor que el dado B, el dado B será mejor que el dado C y el dado C será mejor que el dado A. Consideramos siempre solo dados de seis caras.

Ejemplo

Un ejemplo son estos tres dados:

• A: 2, 2, 4, 4, 9, 9,
• B: 1, 1, 6, 6, 8, 8,
• C: 3, 3, 5, 5, 7, 7.

¿Cuál es la probabilidad de que en el dado A salga un número mayor que en el dado B? Hay en total 36 parejas distintas de resultados que pueden salir en los dados. Si en el dado B sale el primer uno, en el dado A siempre sale un número mayor. Es decir, tenemos 6 parejas en las que en el dado A sale un número mayor. Si en B sale el segundo uno, tenemos otras 6 parejas en las que en A sale un número mayor. Si sale uno de los seises, en A tiene que salir uno de los nueves. Son otras 4 posibilidades. Si sale uno de los ochos, en A tiene que salir uno de los nueves. De nuevo 4 posibilidades. En total tenemos 6 + 6 + 4 + 4 = 20 posibilidades. La probabilidad de que en A salga un número mayor es, por tanto, 20/36 = 5/9, que es aproximadamente un 56 %.

Ahora B contra C. Si en C sale uno de los treses, en B tiene que salir uno de los seises o uno de los ochos. Son en total 2 · 4 = 8 posibilidades. Si sale el cinco, en B tiene que salir de nuevo un 6 o un 8, así que otra vez 8 posibilidades. Si sale el siete, en B tiene que salir el ocho, 4 posibilidades. En total 8 + 8 + 4 = 20. La probabilidad es de nuevo 5/9.

Por último, C contra A. Si en A sale un dos, todo lo que hay en C es mayor. Son 12 posibilidades. Si sale el cuatro, en C puede salir un 5 o un 7. Son 8 posibilidades. Si sale el nueve, no tenemos suerte. En total son 12 + 8 = 20 posibilidades y obtenemos de nuevo la probabilidad 5/9.

Dados de Efron

Los dados de Efron son otro caso de un conjunto de dados que no son transitivos respecto de la relación «ser mejor dado». Tienen estos números:

• A: 4, 4, 4, 4, 0, 0,
• B: 3, 3, 3, 3, 3, 3,
• C: 6, 6, 2, 2, 2, 2,
• D: 5, 5, 5, 1, 1, 1.

Se cumple que cada dado gana al siguiente siempre con probabilidad 2/3. Por ejemplo, cuando en el dado A sale un cuatro, gana al dado B. Cuando sale un cero, pierde. Y en el dado A sale un cuatro con probabilidad 2/3. Lo mismo ocurre con los demás dados.

Existen también otras variantes de los dados de Efron. Algunas tienen el mismo valor medio por tirada (por ejemplo, el dado A da de media 8/3, mientras que C tiene una media mayor, 10/3) y otras se reparten entre sí todos los números naturales del 1 al 24.

Más fuentes

• Wikipedia: Dados no transitivos