Ecuaciones de segundo grado

Una ecuación de segundo grado es una ecuación que contiene una incógnita elevada al cuadrado. Si la ecuación contiene una incógnita elevada a un exponente mayor que dos, ya no se trata de una ecuación de segundo grado.

Descripción de la ecuación de segundo grado

La forma general de la ecuación de segundo grado es la siguiente:

$a x^{2} + b x + c = 0$

Los valores a, b, c son números reales y el valor a es distinto de cero. Otras denominaciones:

ax² se llama término de segundo grado,
bx se llama término de primer grado,
c se llama término independiente.

Toda ecuación de segundo grado se puede llevar a la forma general mediante transformaciones equivalentes o mediante otras transformaciones. Un ejemplo de ecuación de segundo grado puede ser esta:

$3 x^{2} - 6 x + 8 = 0.$

Una pregunta más difícil es si también esta es una ecuación de segundo grado:

$(x + 1) \cdot (x + 2) = 7.$

No se ve por ningún lado x² y en el segundo miembro no hay un cero. El segundo miembro lo arreglamos fácilmente: restamos siete y obtenemos la forma

$(x + 1) \cdot (x + 2) - 7 = 0.$

Todavía no tenemos x². Quitamos los paréntesis y obtenemos:

$x^{2} + 2 x + x + 2 - 7 = 0$

Ahora ya tenemos x². Tras sumar, obtenemos por fin la forma general de la ecuación de segundo grado:

$x^{2} + 3 x - 5 = 0.$

¿Y el siguiente ejemplo? ¿Es una ecuación de segundo grado? ¿Se puede llevar a la forma general?

$x^{2} + 3 x + \frac{4}{x} = 0$

La respuesta es que no. Si multiplicamos toda la ecuación por la variable x para librarnos de la variable del denominador de la fracción, obtenemos:

$x^{3} + 3 x^{2} + 4 = 0.$

Ahora tenemos x³, que no puede aparecer en una ecuación de segundo grado.

Existen tipos especiales de ecuaciones de segundo grado, según los valores que tengan los coeficientes a, b y c.

Valores de los coeficientes

Para los capítulos siguientes es absolutamente fundamental que sepas determinar cada uno de los coeficientes a, b y c. Empecemos con un ejemplo sencillo. Determina los coeficientes de la ecuación 3x² + 4x + 7 = 0. Aquí es fácil: a = 3, b = 4 y c = 7.

¿Y la ecuación 3x² − x + 2 = 0? Los valores de a y c están claros, a = 3 y c = 2, pero ¿y b? Sería un error escribir que b = 1. Imagina que delante de la x hay un uno, así: 3x² − 1x + 2 = 0. Ahora se ve mejor que b = −1.

Otro ejemplo interesante: x² − 3 = 0. Aquí de nuevo puede surgir un problema con el coeficiente b; los demás son evidentes: a = 1 y c = −3. ¿Qué valor tiene el coeficiente b? El término de primer grado no aparece en esta ecuación, es lo mismo que si hubiéramos escrito la ecuación en la forma x² + 0x − 3 = 0. Así que b = 0.

Un ejemplo más complicado:

$5 x^{2} + 3 x + π \cdot x = 0$

En esta ecuación hay dos trampas. No hay término independiente, así que c = 0. El término de segundo grado está claro, así que a = 5. Pero ¿qué pasa con ese maldito b? Podemos transformar un poco más la ecuación: sacamos factor común la variable x de dos expresiones así:

$5 x^{2} + (3 + π) x = 0$

El coeficiente b es de nuevo lo que está «delante» de la variable x, así que todo el paréntesis es igual al coeficiente b = (3 + π). Una ecuación parecida:

$- x^{2} + 4 x + 1 - \sqrt{2} = 0$

Los dos primeros coeficientes son evidentes: a = −1 y b = 4. ¿Cuál es el término independiente? Son las expresiones restantes, donde no hay x. Así que $c = 1 - \sqrt{2}$ . No tengas miedo de la raíz: no muerde, es un número normal.

¿Y cuáles son los valores de esta ecuación? (x + 1)(x + 2) = −2x. Primero tenemos que llevar la ecuación a la forma general. Quitamos los paréntesis y obtenemos

$x^{2} + 3 x + 2 = - 2 x$

y por último sumamos 2x a la ecuación para obtener cero en el segundo miembro:

$x^{2} + 5 x + 2 = 0.$

Los valores ya están claros: a = 1, b = 5, c = 2.

Ecuación incompleta sin término de primer grado

Si b = 0, se trata de una ecuación de segundo grado incompleta, que se resuelve de forma parecida a las ecuaciones de primer grado. Esta ecuación tiene, pues, la forma general:

$a x^{2} + c = 0$

Como b = 0, todo el término de primer grado bx desaparece de la ecuación, porque 0x = 0. Resolvemos la ecuación restando primero el término independiente. Es decir, restamos a la ecuación el valor c. Así obtenemos:

$\begin{array}{rcl} a x^{2} + c & = & 0 / - c \\ a x^{2} & = & - c \end{array}$

A continuación dividimos la ecuación entre el número a. Obtenemos la forma:

$x^{2} = \frac{- c}{a}$

Y por último extraemos la raíz cuadrada en ambos miembros. Para ello tiene que cumplirse que la fracción del segundo miembro no sea negativa, porque no se puede hallar la raíz cuadrada de un número negativo. Obtenemos el resultado:

$x_{1} = \sqrt{\frac{- c}{a}}, x_{2} = - \sqrt{\frac{- c}{a}}$

Fíjate en que obtenemos dos resultados, uno positivo y otro negativo. Se verá mejor con un ejemplo. Resolvamos la ecuación

$2 x^{2} - 8 = 0.$

Según el procedimiento, primero restamos el término c. Ojo: el término c es en este caso negativo, así que restamos un número negativo, es decir, sumamos uno positivo. A toda la ecuación le sumamos, pues, +8 (el objetivo es llevar el ocho al segundo miembro). Obtenemos la forma:

$2 x^{2} = 8$

A continuación, según el procedimiento, dividimos la ecuación entre el número a, que es el dos. Tras dividir obtenemos la forma:

$x^{2} = 4$

Ahora extraemos la raíz.

$x_{1} = 2, x_{2} = - 2$

¿Por qué hay también un menos dos? Porque menos dos por menos dos es cuatro. También podemos mirar la solución gráfica: vemos que la gráfica de la función 2x² − 8 corta el eje x justo en los puntos x₁ = −2 y x₂ = 2.

Solución gráfica de la ecuación 2x^2-8=0

Resuelve la ecuación

$80 x^{2} - 5 = 0.$

A la ecuación le sumamos cinco:

$80 x^{2} = 5$

Dividimos entre 80:

$x^{2} = \frac{5}{80}$

Simplificamos la fracción:

$x^{2} = \frac{1}{16}$

Extraemos la raíz:

$x_{1} = \frac{1}{4}, x_{2} = - \frac{1}{4}$

Ecuación incompleta sin término independiente

Otro caso particular de ecuación de segundo grado se da cuando el término independiente c es igual a cero. La ecuación tiene la forma general:

$a x^{2} + b x = 0$

Este tipo de ecuación se resuelve sacando factor común la incógnita:

$x (a x + b) = 0.$

Aquí ya se ve bastante claro el resultado. De nuevo salen dos soluciones de la ecuación, pero una de ellas será siempre cero. Tenemos todo el primer miembro en forma de producto de dos expresiones: x y el paréntesis (ax + b). ¿Cuándo es cero este producto? Cuando al menos una de estas expresiones es igual a cero. El primer miembro es, pues, igual a cero en dos casos:

$x = 0 o a x + b = 0.$

La primera solución de la ecuación ya la tenemos: es el cero. La otra la obtenemos resolviendo la ecuación de primer grado ax + b = 0. Del artículo sobre las ecuaciones de primer grado sabemos que esta ecuación tiene exactamente una solución, que es igual a:

$x = - \frac{b}{a}$

Así que ya podemos escribir el resultado de toda la ecuación de segundo grado ax² + bx = 0:

$x_{1} = 0, x_{2} = - \frac{b}{a} .$

Ejemplo:

$6 x^{2} + 3 x = 0$

Sacamos factor común x:

$x (6 x + 3) = 0$

La primera solución es x = 0. La segunda la hallamos resolviendo la ecuación de primer grado 6x + 3 = 0:

$x = - \frac{b}{a} = - \frac{3}{6} = - \frac{1}{2} .$

Escribimos el resultado:

$x_{1} = 0, x_{2} = - \frac{1}{2} .$

De nuevo podemos mirar la gráfica de la función, que corta el eje x justo en estos puntos:

Gráfica de la función 6x^2+3x

Otros métodos de resolución

Estas eran las técnicas básicas para tipos concretos de ecuaciones de segundo grado. La ecuación de segundo grado general se resuelve con el discriminante. Entre otros tipos de ecuaciones está la ecuación de segundo grado con parámetro.

Calculadora

Introduce los coeficientes a, b y c de la ecuación general ax² + bx + c = 0 y la calculadora calculará el discriminante y las soluciones. También la encontrarás por separado como calculadora de ecuaciones de segundo grado.

Capítulos: Ecuaciones de segundo grado, Discriminante, Ecuación de segundo grado con parámetro, Ecuaciones de segundo grado en el conjunto de los números complejos

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