Discriminante

El discriminante es un polinomio con el que podemos calcular las soluciones de una ecuación de segundo grado general o determinar si la ecuación tiene solución y cuántas soluciones tiene.

Fórmula y relaciones básicas

Primero recordemos la forma general de la ecuación de segundo grado:

$a x^{2} + b x + c = 0, a \neq 0$

donde a, b, c son números reales. El discriminante, que llamaremos Δ, se calcula así:

$Δ = b^{2} - 4 \cdot a \cdot c$

Ejemplo: tenemos la ecuación de segundo grado 3x² + 5x − 7 = 0. Para esta ecuación se cumple: a = 3, b = 5, c = −7. El discriminante lo calculamos así:

$Δ = 5^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 7) = 25 + 4 \cdot 3 \cdot 7 = 25 + 84 = 109$

El resultado es, pues, 109. ¿Qué nos dice este número? Si el discriminante sale…

positivo, la ecuación tiene dos soluciones reales distintas,
nulo, la ecuación tiene dos soluciones reales iguales,
negativo, la ecuación no tiene ninguna solución en el conjunto de los números reales. Sin embargo, sí tiene solución en el conjunto de los números complejos.

Cómo calcular las soluciones de la ecuación de segundo grado

Con el discriminante podemos calcular directamente las soluciones de la ecuación de segundo grado. La fórmula para calcularlas dice así:

$x_{1, 2} = \frac{- b \pm \sqrt{Δ}}{2 a},$

donde Δ es el discriminante. La fórmula completa con el discriminante desarrollado queda así:

$x_{1, 2} = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} .$

Probemos a calcular con esta fórmula las soluciones de la ecuación de segundo grado x² + 7x + 12 = 0. Primero calculamos el discriminante:

$Δ = 7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 - 48 = 1.$

El discriminante ha salido positivo, así que la ecuación tiene dos soluciones reales distintas. Calculamos la primera solución. Primero sumaremos la raíz del discriminante y en el segundo paso la restaremos:

$x_{1} = \frac{- 7 + \sqrt{1}}{2} = \frac{- 7 + 1}{2} = - \frac{6}{2} = - 3.$

La primera solución ha salido −3. La segunda la calculamos restando la raíz:

$x_{2} = \frac{- 7 - \sqrt{1}}{2} = \frac{- 7 - 1}{2} = - \frac{8}{2} = - 4.$

Ya tenemos las dos soluciones de la ecuación: x₁ = −3 y x₂ = −4.

Para dominar este procedimiento es imprescindible que sepas determinar correctamente los valores de a, b y c. Cómo hacerlo se describió en el primer artículo sobre las ecuaciones de segundo grado.

¿Y qué significa esta solución gráficamente, cómo se refleja en la gráfica? Si dibujamos la gráfica de la función que está en el primer miembro de la ecuación, vemos que la gráfica de esta función cuadrática corta el eje x en dos puntos: en los puntos x₁ = −3 y x₂ = −4.

Gráfica de la función y=x^2+7x+12

Discriminante nulo

Si el discriminante sale cero, significa que la ecuación tiene solución, pero solo una; o, mejor dicho, dos, pero iguales. Ejemplo: resuelve la ecuación x² − 10x + 25 = 0. Calculamos el discriminante:

$Δ = (- 10)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 25 = 100 - 100 = 0.$

La solución la calculamos igual que en el capítulo anterior, con la fórmula. Pero como el discriminante es nulo, en la fórmula desaparece el más/menos la raíz de Δ, porque estaríamos sumando/restando cero.

$x_{1, 2} = \frac{- (- 10)}{2} = \frac{10}{2} = 5.$

Ha salido una raíz doble, x = 5. ¿Qué significa esto gráficamente? Que la gráfica de la función dada toca el eje x en exactamente un punto, en su vértice.

Gráfica de la función y=x^2-10x+25

Discriminante negativo

Si el discriminante sale negativo, la ecuación de segundo grado no tiene solución en el conjunto de los números reales. Podemos resolver la ecuación en el conjunto de los números complejos, pero de eso hablará el siguiente artículo. Como ejemplo, intentemos resolver esta ecuación de segundo grado: x² + x + 1 = 0. El discriminante:

$Δ = 1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = - 3.$

La ecuación de segundo grado no tiene, pues, solución en el conjunto de los números reales. Puedes comprobarlo: el polinomio x² + x + 1 es positivo para todos los números reales. Por ejemplo, si sustituyes x por uno, obtienes: 1 + 1 + 1 = 3. Si x = −1, tenemos 1 − 1 + 1 = 1. Si x = 0, tenemos 0 + 0 + 1 = 1. Y de forma parecida para otros números. También puedes mirar la gráfica de la función y = x² + x + 1: nunca corta el eje x.

Gráfica de la función y=x^2+x+1

Relaciones de Cardano-Vieta

Ya sabemos cómo calcular las soluciones de una ecuación de segundo grado. Pero ¿qué relación hay entre ellas? Probemos a sumar las dos soluciones x₁ y x₂:

$\begin{array}{rcl} x_{1} + x_{2} & = & \frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a} + \frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a} \\ = & \frac{- b + \sqrt{Δ} - b - \sqrt{Δ}}{2 a} \\ = & \frac{- 2 b}{2 a} = - \frac{b}{a} \end{array}$

Si sumamos las soluciones de la ecuación de segundo grado ax² + bx + c = 0, obtenemos el cociente −b/a. ¿Qué pasa si multiplicamos las soluciones?

$\begin{array}{rcl} x_{1} \cdot x_{2} & = & \frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a} \cdot \frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a} \\ = & \frac{b^{2} + b \cdot \sqrt{Δ} - b \cdot \sqrt{Δ} - Δ}{4 a^{2}} \\ = & \frac{b^{2} - Δ}{4 a^{2}} \\ = & \frac{b^{2} - (b^{2} - 4 a c)}{4 a^{2}} \\ = & \frac{4 a c}{4 a^{2}} = \frac{c}{a} \end{array}$

Así que, si multiplicamos las soluciones, obtenemos el número c/a. Estas son las relaciones de Cardano-Vieta. Una vez más, todas juntas:

$\begin{array}{rcl} x_{1} + x_{2} & = & - \frac{b}{a} \\ x_{1} \cdot x_{2} & = & \frac{c}{a} \end{array}$

Fíjate en que en el denominador de la fracción siempre aparece la expresión a. Un caso particular es la ecuación de segundo grado para la que se cumple a = 1. Entonces podemos escribir las relaciones de Cardano-Vieta así:

$\begin{array}{rcl} si a = 1 : \\ x_{1} + x_{2} & = & - b \\ x_{1} \cdot x_{2} & = & c \end{array}$

Podemos aprovecharlo para buscar las soluciones de ecuaciones de segundo grado. En lugar de calcular laboriosamente el discriminante, podemos ver si somos capaces de encontrar dos números x₁ y x₂ que cumplan las relaciones anteriores. Ejemplo: halla las soluciones de la ecuación x² + 8x + 15 = 0. Se cumple que a = 1, así que podemos usar las relaciones de Cardano-Vieta más sencillas. Buscamos números x₁ y x₂ tales que se cumpla:

$\begin{array}{rcl} x_{1} + x_{2} & = & - 8 \\ x_{1} \cdot x_{2} & = & 15 \end{array}$

Si nos limitamos a los números enteros, tenemos en total cuatro maneras de obtener 15 como producto:

$\begin{array}{rcl} 1 \cdot 15 & = & 15 \\ 3 \cdot 5 & = & 15 \\ - 3 \cdot (- 5) & = & 15 \\ - 1 \cdot (- 15) & = & 15 \end{array}$

Ahora necesitamos que la suma de los números del primer miembro nos dé −8. Solo un par da esa suma: −3 y −5. Estos números son, pues, las soluciones de la ecuación de segundo grado. Podemos intentar sustituirlos en la ecuación; tiene que salirnos cero:

$\begin{array}{rcl} (x = - 3) : & (- 3)^{2} + 8 \cdot (- 3) + 15 = 9 - 24 + 15 = 0 \\ (x = - 5) : & (- 5)^{2} + 8 \cdot (- 5) + 15 = 25 - 40 + 15 = 0 \end{array}$

Cuadra. Si conocemos las raíces, también podemos escribir la ecuación en una forma más legible. Si x₁ y x₂ son las soluciones de la ecuación ax² + bx + c = 0, entonces, si a = 1, podemos reescribir la ecuación en la forma factorizada

$(x - x_{1}) (x - x_{2}) = 0.$

La ecuación anterior la podemos reescribir así:

$(x - (- 3)) (x - (- 5)) = (x + 3) (x + 5) = 0.$

Capítulos: Ecuaciones de segundo grado, Discriminante, Ecuación de segundo grado con parámetro, Ecuaciones de segundo grado en el conjunto de los números complejos

« Anterior: Ecuaciones de segundo grado

Siguiente: Ecuación de segundo grado con parámetro »