Factorial

El factorial de un número n es igual al producto de todos los números naturales menores o iguales que n. El factorial se escribe con un signo de exclamación: n!. Para el cero se cumple: 0! = 1. El factorial se utiliza sobre todo en la combinatoria, donde con él se calculan, por ejemplo, las permutaciones. Así, el factorial de cinco sería 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120.

Definición de factorial

Podemos definir el factorial de varias maneras. La más sencilla es probablemente esta:

$$n!=\{\begin{array}{ll}1& \text{si }n=0\\ n\cdot (n-1)!& \text{en otro caso}\end{array}$$

También podemos dar la definición mediante un producto:

$$n!=\prod _{k=1}^{n}k$$

O bien mediante una integral:

$$(z-1)!=\mathrm{\Gamma }(z):={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{t}^{z-1}{\mathrm{e}}^{-t}\mathrm{d}t,\mathrm{\Re }(z)>0.$$

Cálculo con factoriales

Los factoriales aparecen a menudo en fracciones. Aquí se aprovecha que n! = n · (n − 1)!. Esto se cumple por la definición; veámoslo con un ejemplo. Sabemos que el factorial de cuatro, 4!, es igual al producto de estos números naturales: 4 · 3 · 2 · 1. Pero podemos escribir que el producto 3 · 2 · 1 es igual al factorial de tres: 3 · 2 · 1 = 3!. El factorial de cuatro lo podemos escribir entonces como 4! = 4 · 3!.

$$4!=4\cdot \underset{=3!}{\underbrace{3\cdot 2\cdot 1}}=4\cdot 3!$$

Gracias a esto podemos simplificar de forma eficaz muchos factoriales distintos dentro de fracciones. Un ejemplo típico: simplifica la expresión

$$\frac{n!}{(n-2)!}$$

La simplificación la hacemos con la fórmula que acabo de mencionar. En el numerador podemos descomponer el factorial en n · (n − 1)! y esto, a su vez (con la misma fórmula), en n · (n − 1) · (n − 2)!. Ahora ya podemos simplificar la fracción sin problema:

$$\frac{n!}{(n-2)!}=\frac{n(n-1)\boxed{\text{(n-2)!}}}{\boxed{\text{(n-2)!}}}=n(n-1)$$

Otro ejemplo:

$$\begin{array}{rcl}\frac{n!\cdot (n+1)!}{(n-1)!\cdot (n+2)!}& =& \frac{n\cdot \boxed{\text{(n-1)!}}\cdot (n+1)!}{\boxed{\text{(n-1)!}}\cdot (n+2)!}\\ & =& \frac{n\cdot (n+1)!}{(n+2)!}\\ & =& \frac{n\cdot \boxed{\text{(n+1)!}}}{(n+2)\cdot \boxed{\text{(n+1)!}}}\\ & =& \frac{n}{n+2}\end{array}$$

Y el último ejemplo con factoriales:

$$\begin{array}{rcl}\frac{(2(n+1))!}{(2n)!}& =& \frac{(2n+2)!}{(2n)!}\\ & =& \frac{(2n+2)(2n+1)\boxed{\text{(2n)!}}}{\boxed{\text{(2n)!}}}\\ & =& (2n+2)(2n+1)\end{array}$$