Függvény határértéke

A függvény határértéke a matematikai analízis egyik legfontosabb fogalma. Egy függvény viselkedését írja le egy adott pont környezetében, aminek köszönhetően például definiálhatjuk a függvény folytonosságát. A függvény határértéke segít megérteni a függvény viselkedését azokon a helyeken is, ahol egyáltalán nincs értelmezve.

Pont környezete

Kezdjük egy pont epszilon-környezetének definíciójával a valós számok halmazán. Legyen r ∈ ℝ. Ekkor ennek a pontnak az epszilon-környezete ϵ > 0 esetén a nyílt intervallum ]r − ϵ; r + ϵ[. A pontozott epszilon-környezet ugyanez, csak nem tartalmazza az r pontot. A pontozott környezet ]r − ϵ; r[ ∪ ]r; r + ϵ[. Az a pont epszilon-környezetét U(a, ϵ)-nal jelöljük, a pontozott környezetet R(a, ϵ)-nal.

Példaként vegyük az ötös számot és a 2-sugarú környezetét. Tehát U(5, 2)-t számoljuk, ami az ]5 − 2; 5 + 2[ = ]3; 7[ intervallum. A pontozott környezet R(5, 2) = ]3; 5[ ∪ ]5; 7[ lenne. Ugyanaz a környezet, csak az 5 pont nélkül. Az 5 pont 2-sugarú környezete grafikusan ábrázolva:

A pontozott 2-sugarú környezet ugyanígy nézne ki, csak a kék 5 pont nem szerepelne benne.

Torlódási pont

Ezután ismernünk kell egy halmaz torlódási pontjának definícióját. Az a ∈ ℝ elem az M ⊆ ℝ halmaz torlódási pontja, ha minden pontozott környezetében, akármilyen kicsi is, van az M halmaznak pontja. Pontosabban:

$$\mathrm{\forall }ϵ>0:R(a,ϵ)\cap M\ne \varnothing$$

Példák: minden valós szám torlódási pontja a valós számok halmazának. Ha kiválasztjuk a 10-es számot, ennek a pontnak bármelyik pontozott környezetében mindig találunk valós számot. Az $ϵ=\frac{1}{100}$ esetén a pontozott környezet ]9,99; 10[ ∪ ]10; 10,01[. Mindkét intervallumban van valamilyen valós szám – pontosabban végtelen sok valós szám van bennük. Tehát akármilyen kicsi ϵ-t veszünk, mindig olyan intervallumokat kapunk, amelyek végtelen sok valós számot tartalmaznak.

Ha M-nek a pozitív egész számok halmazát választanánk, nem találnánk egyetlen torlódási pontot sem. Például a $\frac{1}{2}$ szám nem torlódási pont, mert az $ϵ=\frac{1}{10}$ esetén a ]0,4; 0,5[ ∪ ]0,5; 0,6[ intervallumokat kapjuk, amelyek közül egyik sem tartalmaz pozitív egész számot.

A határértékek motivációja

Kezdjük a legkönnyebb definícióval – véges határérték véges pontban. Először megmutatjuk, mit is akarunk tulajdonképpen kiszámolni. Nézd meg az előjelfüggvény (signum) következő grafikonját:

Ha vesszük az x₁ = 3 pontot, akkor a függvényérték ebben a pontban 1. Vagyis sgn(3) = 1. Ugyanakkor az is igaz, hogy az összes „közeli” szomszédos pontban a függvényérték 1, például sgn(2,5) = 1 vagy sgn(3,5) = 1. Ha az x₁ = 3 ponthoz balról vagy jobbról közeledünk, a függvényértékek mindig egyenlők eggyel.

De ha vesszük az x₂ = 0 pontot, akkor sgn(0) = 0, miközben az összes szomszédos pontban más a függvényérték! Például $\text{sgn}(-\frac{1}{2})=-1$ vagy $\text{sgn}(\frac{1}{2})=1$. A jobb oldali függvényértékek az 1 értékhez közelítenek, a bal oldaliak pedig a −1 értékhez. Végül az x₂ = 0 pontban a függvényérték 0. Átverés. Azokat az értékeket, amelyekhez a függvény egy adott pontban közelít, nevezzük a függvény határértékének az adott pontban.

A véges határérték definíciója véges pontban

Legyen f függvény, x₀ ∈ ℝ az f függvény értelmezési tartományának torlódási pontja. Ekkor azt mondjuk, hogy az L ∈ ℝ szám az f függvény határértéke az x₀ pontban, ha

$$(\mathrm{\forall }ϵ>0)(\mathrm{\exists }\delta >0)(\mathrm{\forall }x\in D_f)(0<|x-x_0|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<ϵ).$$

És most mit jelent ez a definíció. A véges pont ebben az esetben azt jelenti, hogy az adott pont valós szám. Később a végtelen pontokban vett határértékekről is szó lesz, ez a végtelent jelenti. Próbáljuk kiszámolni ezt a határértéket:

$$\underset{x\to 3}{lim}\frac{x}{3}=?.$$

Az ilyen egyszerű függvényeknél a függvény határértéke az x₀ pontban egyenlő az ebben a pontban felvett függvényértékkel: f(x₀). Később pontosan definiáljuk, mit jelent az „egyszerű függvény”. Most rajzoljunk le mindent egy ábrára:

A fekete egyenes az $f(x)=\frac{x}{3}$ függvény grafikonja, a piros x₀ pont az a pont, amelyben a határértéket keressük, a zöld L pont pedig a kapott határérték. Figyeld meg, hogy a határértéket az y tengelyen ábrázoljuk.

Haladjunk tovább a definíció szerint. A definíció első helyén a (∀ϵ > 0) áll, később pedig az ϵ a |f(x) − L|<ϵ kifejezésben szerepel – ez annak a matematikai leírása, hogy azt akarjuk, hogy minden f(x) kisebb, mint ϵ távolságra legyen L-től. Tehát az L pont ϵ-környezetét keressük az y tengelyen. A definíció szerint bármilyen ϵ > 0 értéket választhatunk, válasszuk például az $ϵ=\frac{3}{10}$ értéket. Keressük meg az y tengelyen azokat a pontokat, amelyek pontosan ϵ távolságra vannak az L ponttól:

Az y tengely minden pontja, amely e zöld vonalak között van, az L pont ϵ-környezetében van. Ezekről a pontokról beszél a definíció.

A definíció a (∃δ>0) kifejezéssel folytatódik, amelyet a továbbiakban a 0<|x − x₀|<δ kifejezésben használunk. Azt mondjuk, hogy az x − x₀ különbség legyen kisebb, mint δ. Mivel az x, x₀ az x tengelyen van, a δ értéket is az x tengelyen ábrázoljuk. A 0<|x − x₀|<δ kifejezés ráadásul ismét azt mondja, hogy vegyük az összes olyan x-et, amely x₀-tól kisebb, mint δ távolságra van, de egyben nagyobb, mint nulla, azaz x ≠ x₀. Ez azt jelenti, hogy ez a jelölés az x₀ pont pontozott δ-környezetét jelöli. A határérték definícióját tehát a pontok környezeteivel ekvivalensen át is írhatjuk:

$$(\mathrm{\forall }ϵ>0)(\mathrm{\exists }\delta >0)(\mathrm{\forall }x\in D_f)(x\in R(x_0,\delta )\Rightarrow f(x)\in U(L,ϵ))$$

Térjünk vissza az előző definícióhoz, és folytassuk az ábra rajzolását. Hogy ezt ábrázoljuk, a definíció egy további részére van szükségünk:

$$0<|x-x_0|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<ϵ$$

Tehát az x₀ pont pontozott δ-környezetének minden x pontjára teljesülnie kell… valamilyen feltételnek. Tegyük be az ábrába az x₀ pont pontozott δ-környezetét, például $\delta =\frac{3}{2}$ esetén:

Minden x, amely a piros szaggatott vonalak között van, az x₀ δ-környezetéhez tartozik, kivéve magát az x₀ pontot. Nézzük meg újra az előző feltételt:

$$0<|x-x_0|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<ϵ$$

Az x₀ pont pontozott δ-környezetének minden x pontjára teljesülnie kell, hogy az összes f(x) függvényérték az L pont ϵ-környezetében van. Vegyük tehát az x₀ pontozott δ-környezetének összes x értékét, és számoljuk ki a függvényértékeket. Ezeket a függvényértékeket a következő ábrán kék szakasz jelöli:

Az x₀ pont nincs a pontozott környezetben, ezért van ott az a kis karika. A definíció azt mondja, hogy ezeknek az összes kék pontnak az L pont ϵ-környezetében kell lennie. Az ábra színeivel kifejezve: az összes kék pontnak a zöld vonalak között kell lennie, amelyek az ϵ-környezetet jelölik. Teljesül ez?

Természetesen nem teljesül, például az $x=\frac{16}{10}$ esetén nyilvánvalóan olyan kék pontot kapunk, amely nincs a zöld vonalak között, vagyis nincs az L pont ϵ-környezetében.

Ez azonban nem baj, a definíció azt mondja, hogy az L pont minden ϵ-környezetéhez léteznie kell valamilyen olyan δ-környezetnek, hogy … a feltétel többi része. Ez azt jelenti, hogy elég, ha létezik egy ilyen δ-környezet. A $\delta =\frac{3}{2}$ érték nyilván nem volt jó választás, de próbálhatunk másik δ-t, például a $\delta =\frac{1}{2}$ értéket. Az ábra így változna:

Ismét megnézzük, hogy az x₀ pont pontozott δ-környezetének minden x pontjához tartozó függvényérték az L pont ϵ-környezetében van-e. Röviden: a kék pontok mind a zöld vonalak között vannak-e. Igen, most már vannak, hurrá.

Azt jelenti ez, hogy L a függvény határértéke az x₀ pontban? Nem feltétlenül, a definíció ugyanis azt mondja, hogy (∀ϵ > 0) …. Mi eddig egy konkrét ϵ-ra ellenőriztük a definíciót, még hátravan belőlük … végtelen sok.

Más szóval – hogy valóban teljesüljön, hogy $\underset{x\to 3}{lim}\frac{x}{3}=1$, minden ϵ-környezethez találnunk kellene valamilyen δ-környezetet úgy, hogy az előző feltétel teljesüljön. Az ábráról láthatjuk, hogy ilyen δ-környezetet mindig találunk, például ha az ϵ-t az $ϵ=\frac{1}{10}$ értékre csökkentjük, akkor a δ-t is csökkenthetjük a $\delta =\frac{2}{10}$ értékre, és működni fog:

Akármilyen kicsi ϵ-t veszünk, mindig találnunk kell olyan δ-t, hogy a függvényértékeket be tudjuk juttatni a függvény L határértékének ϵ-környezetébe.

A véges határérték bizonyítása véges pontban

Próbáljuk meg az előző határértéket tényleg bebizonyítani. Az ábráról már tudjuk, hogy valószínűleg

$$\underset{x\to 3}{lim}\frac{x}{3}=1,$$

most megpróbáljuk ezt matematikailag bebizonyítani. Az ábráról arra következtethetnénk, hogy ha δ-nak mindig ugyanazt az értéket választjuk, mint ϵ-nak, akkor talán sikerül. Legyen tehát δ = ϵ. Most tehát azt kell bebizonyítanunk, hogy

$$L-ϵ<f(x)<L+ϵ,\text{minden}x\in ]x_0-\delta ;x_0[\cup ]x_0;x_0+\delta [\text{ esetén}$$

Mivel δ = ϵ, az összes δ-t átírjuk ϵ-ra:

$$L-ϵ<f(x)<L+ϵ,\text{minden}x\in ]x_0-ϵ;x_0[\cup ]x_0;x_0+ϵ[\text{ esetén}$$

L helyére 1-et, x₀ helyére 3-at helyettesítünk:

$$1-ϵ<f(x)<1+ϵ,\text{minden}x\in ]3-ϵ;3[\cup ]3;3+ϵ[\text{ esetén}$$

Most be kell bizonyítanunk az összes egyenlőtlenséget. Mivel az $\frac{x}{3}$ függvény szigorúan monoton növekvő, elég a szélső pontokat, a 3 − ϵ és 3 + ϵ értéket ellenőrizni. Kezdjük a 3 − ϵ értékkel – behelyettesítjük az $\frac{x}{3}$ függvénybe a 3 − ϵ értéket, és megmutatjuk, hogy ez az érték mindig teljesíti az 1 − ϵ < f(x) < 1 + ϵ egyenlőtlenségeket:

$$\begin{array}{rcl}1-ϵ<& f(x)& <1+ϵ\\ 1-ϵ<& \frac{x}{3}& <1+ϵ\\ 1-ϵ<& \frac{3-ϵ}{3}& <1+ϵ\\ 1-ϵ<& \frac{3}{3}-\frac{ϵ}{3}& <1+ϵ\\ 1-ϵ<& 1-\frac{ϵ}{3}& <1+ϵ\\ -ϵ<& -\frac{ϵ}{3}& <ϵ\end{array}$$

Ugyanez a 3 + ϵ értékkel:

$$\begin{array}{rcl}1-ϵ<& f(x)& <1+ϵ\\ 1-ϵ<& \frac{x}{3}& <1+ϵ\\ 1-ϵ<& \frac{3+ϵ}{3}& <1+ϵ\\ 1-ϵ<& \frac{3}{3}+\frac{ϵ}{3}& <1+ϵ\\ 1-ϵ<& 1+\frac{ϵ}{3}& <1+ϵ\\ -ϵ<& \frac{ϵ}{3}& <ϵ\end{array}$$

Rosszul meghatározott határérték

Most még felvázoljuk, mi történne, ha azt gondolnánk, hogy a függvény határértéke, ha x a háromhoz tart, egyketted. Választanánk valamilyen kis epszilon-környezetet:

És ebben a pillanatban már nem találunk olyan delta-környezetet az x₀ pont körül, amelynek az összes függvényértéke beleférne e zöld vonalak közé. Látjuk, hogy a választott δ-környezetnél az összes kék pont a zöld vonalakon kívül van. Ha a δ-környezetet megnöveljük, csak a kék pontok száma nő, amelyeket nem tudunk a zöld vonalak közé juttatni.

Az előjelfüggvény határértéke

Az előjelfüggvény (signum) gyönyörű függvény, amely valószínűleg összezavar. A grafikon következik:

A grafikon nem teljesen világos, ezért szóbeli leírás: ha x negatív, akkor a signum mínusz egy, ha pozitív, akkor plusz egy, és ha x nulla, akkor a signum is nulla. A grafikont az abszolút érték segítségével módosítjuk: f(x) = |sgn(x)|, és így |sgn(0)| = 0, minden más esetben |sgn(x)| = 1. A grafikon:

A kérdés az, mivel egyenlő ez a határérték?

$$\underset{x\to 0}{lim}|\text{sgn}(x)|=?$$

A függvény a nulla pontban értelmezve van, és a függvényérték szintén nulla. Ez azonban nem jelenti, hogy a határérték is nulla lesz. A határérték eltérhet a függvényértéktől az adott pontban.

Az egyetlen lehetőség arra, hogy a határértéket úgy válasszuk meg, hogy a definíció helyesen teljesüljön, az, hogy a határérték egy legyen. Segíthet az intuíció is: mihez közelít a függvényérték, ha x balról közelít a nullához? Folyamatosan az egyhez közelít. Az nem zavar minket, hogy a végén átugrik nullára. Hasonlóan, ha x jobbról közelít a nullához.

$$\underset{x\to 0}{lim}|\text{sgn}(x)|=1$$

Ha a függvényt az eredeti alakjában hagynánk, vagyis f(x) = sgn(x), akkor a függvénynek a nulla pontban nem lesz határértéke, két különböző egyoldali határértéke lesz. Balról a függvény a mínusz egyhez közelít, jobbról a plusz egyhez. Megpróbálhatod a definíció szerint bebizonyítani.

Nem létező határértékek

Mutatunk még néhány példát, amikor a határértékek nem léteznek.

A határérték nemlétének legegyszerűbb példája, ha olyan pontban számoljuk a határértéket, amely nem torlódási pontja D_f-nek. Tehát például nem létezik a határérték:

$$\underset{x\to -1}{lim}\ln x$$

Grafikon:

A periodikus függvényeknek gyakran nincs határértéke a végtelenben (nem igaz az összesre!). Tipikusan a szögfüggvények, például a szinusz. A grafikon következik:

A határérték a végtelenben egyszerűen nem létezik, a szinusz értéke folyamatosan ingadozik az egy és a mínusz egy között, ezért a határérték nem számolható ki.