Integrál

A függvény integrálásának folyamata a függvény deriválásának fordítottja.

Primitív függvény

Kezdjük egy könnyű feladattal. Legyen az f(x) = 2x függvény. Keressünk olyan F függvényt, amely deriválás után egyenlő az f függvénnyel. Formálisan felírva olyan F függvényt keresünk, amelyre F′ = f.

A deriváltak kiszámításának alapképleteiből tudjuk, hogy ez az F(x) = x² függvény. Az x² függvény deriváltja éppen 2x. A kérdés az, hogy ez-e az egyetlen ilyen függvény, amely teljesíti a feltételt.

A válasz az, hogy nem – ha az x² függvényhez bármilyen valós állandót hozzáadunk, deriválás után ismét a 2x függvényt kapjuk, mert az állandó deriváltja nulla. Bármely x² + c alakú függvény, ahol c valós állandó, tekinthető az általunk keresett F függvénynek.

Ezt a feladatot általánosíthatjuk. Legyen adott egy valós f függvény, és keressünk olyan F függvényt, amelyre F′(x) = f(x) teljesül minden D_f-beli x esetén, vagy az értelmezési tartomány valamely intervallumán. Ez a függvény nem feltétlenül egyértelmű, más oldalról viszont ilyen függvény egyáltalán nem is biztos, hogy létezik.

Ezt az F függvényt az f függvény primitív függvényének nevezzük. Így írjuk:

$$F(x)=\int f(x)\text{ d}x$$

Az f függvényt integrandusnak nevezzük, a primitív függvény keresésének folyamatát integrálásnak. A dx kifejezés azt jelöli, hogy melyik változó szerint integrálunk. Ha a példát így írjuk fel

$$\int 4x^3\text{ d}x,$$

akkor a 4x³ függvény primitív függvényét akarjuk megtalálni, miközben az x változó szerint integrálunk. Az eredmény lehet az x⁴ függvény, amely deriválás után éppen a 4x³. Természetesen ehhez a függvényhez tetszőleges valós állandót hozzáadhatunk.

Be lehet bizonyítani, hogy a primitív függvény vagy nem létezik, vagy mindig F(x) + c alakú, ahol c valamilyen valós állandó – és ekkor végtelen sok van belőle, mert végtelen sok valós állandónk van. Ha tehát megtaláljuk az F(x) függvényt, elő tudjuk állítani az összes primitív függvényt. Ugyanakkor igaz, hogy semmilyen más függvény, amelyet nem így állítanánk elő, nem primitív függvénye az általunk keresett függvénynek.

Még néhány szó a dx kifejezésről. Nagyon rejtélyesnek tűnik, de valójában csak azt jelöli, hogy melyik változó szerint integrálunk. Ha például az

$$\int a\cdot b+c\text{ d}b,$$

integrálunk van, az azt jelenti, hogy a b változó szerint integrálunk, a többi betű, az a és a c pedig állandóként viselkedik. Vagyis úgy viselkednek, mintha számok volnának a helyükön.

Elemi függvények integrálása

Könnyen levezethetjük néhány elemi függvény primitív függvényének képletét. A fejezet egészében tegyük fel, hogy c ∈ ℝ.

Kezdjük az f(x) = 0 függvénnyel, a nullafüggvénnyel. Melyik függvény lesz deriválás után nulla? Bármely függvény, amely csak állandót tartalmaz:

$$\int 0\text{ d}x=c$$

Következik az f(x) = 1 függvény. Igaz, hogy x′ = 1, így az egy integrálja

$$\int 1\text{ d}x=x+c$$

A sorban a következő az f(x) = x függvény. Melyik függvényt kell deriválnunk, hogy eredményül x-et kapjunk? Ha deriváljuk az x²-et, 2x-et kapunk. Ez már majdnem az, ahová jutni akartunk. Csak el kell osztani kettővel. Ha tehát deriváljuk az (x²)/2-t, éppen x-et kapunk.

$$\int x\text{ d}x=\frac{x^2}{2}+c$$

Ha ezt általánosítjuk az xⁿ függvényre, ahol n ∈ ℝ, a következő képletet kapjuk:

$$\int x^n\text{ d}x=\frac{x^{n+1}}{n+1}+c$$

Vedd észre, hogy ez a képlet n = −1 esetén nem érvényes, mert nullával osztanánk, azt pedig nem illik, nem szép dolog. Ha tehát n = −1, az f(x) = x⁻¹ függvényt kapjuk, ami az 1/x függvény. Melyik függvényt kell deriválnunk, hogy 1/x-et kapjunk? A logaritmus az.

$$\int \frac{1}{x}\text{ d}x=\ln x+c$$

A gond az, hogy a logaritmus csak pozitív valós számokra van értelmezve, így ez a képlet nem érvényes minden D_f-beli x esetén. Érvényes viszont a ]0; +∞[ intervallumon. A ]−∞; 0[ intervallumon csak a logaritmus argumentumának előjelét cseréljük meg: ln(−x). Ha ezt összevonjuk, felírhatjuk, hogy

$$\int \frac{1}{x}\text{ d}x=\ln |x|+c$$

Ez a képlet minden x ∈ D_f esetén érvényes. További integrálokat például a szögfüggvényekre a következő táblázatban találsz:

$$\begin{array}{rcl}\int a^x\text{ d}x& =& \frac{a^x}{\ln a}+c\text{ha }a>0,a\ne 1\\ \int \sin x\text{ d}x& =& -\cos x+c\\ \int \cos x\text{ d}x& =& \sin x+c\end{array}$$

Az összeg integrálja

Míg egy függvény deriváltját kiszámítani többnyire elég egyszerű, és – ahogy mondani szokás – egy betanított majom is megoldja, hiszen általában közvetlenül a képletek szerint haladunk, az integráloknál más a helyzet. Az integrálok kiszámításának módszerei jóval bonyolultabbak, ezért az integrál megtalálása sokkal nehezebb feladat, mint a derivált kiszámítása. Ez főleg azért van, mert az összeg integrálására van ugyan kézenfekvő képletünk, a szorzatéra azonban nincs.

Próbáljuk meg kiszámítani ezt az integrált:

$$\int x+1\text{ d}x$$

Hogyan számolhatnánk ki? Kell egy függvény, amely deriválás után x-et ad, és még egy, amely 1-et ad. A képletekből már tudjuk, hogy ezek az (x²)/2 és az x függvények. Ha ezeket összeadjuk, az f(x) = (x²)/2 + x függvényt kapjuk. Ennek a függvénynek a deriváltja x + 1. Így megkaptuk az eredményt:

$$\int x+1\text{ d}x=\frac{x^2}{2}+x+c$$

A számolás közben felhasználtunk egy tulajdonságot – az összeg integrálja egyenlő az integrálok összegével. Azaz

$$\int f(x)+g(x)\text{ d}x=\int f(x)\text{ d}x+\int g(x)\text{ d}x$$

Ez a kivonásra is igaz:

$$\int f(x)-g(x)\text{ d}x=\int f(x)\text{ d}x-\int g(x)\text{ d}x$$

Ezért tudtuk az előző példát így felbontani:

$$\int x+1\text{ d}x=\int x\text{ d}x+\int 1\text{ d}x$$

Az állandó kiemelése

Hasonló tétel érvényes az állandó integrál elé való kiemelésére is. Ha az integrál

$$\int a\cdot f(x)\text{ d}x,$$

alakú, ahol a valamilyen valós állandó, ezt az állandót kiemelhetjük az integrál elé:

$$\int a\cdot f(x)\text{ d}x=a\cdot \int f(x)\text{ d}x$$

Példa

Számítsd ki az integrált:

$$\int x^2+6x+42\text{ d}x$$

Az első lépésben három integrálra bontjuk:

$$\int x^2+6x+42\text{ d}x=\int x^2\text{ d}x+\int 6x\text{ d}x+\int 42\text{ d}x$$

Az integrálokat sorban oldjuk meg. Az első integrált közvetlenül megoldhatjuk az xⁿ hatványfüggvény képlete szerint:

$$\int x^2\text{ d}x=\frac{x^3}{3}+c$$

A második integrálban először kiemeljük a hatost:

$$\int 6x\text{ d}x=6\cdot \int x\text{ d}x$$

Az x integrálja megint alapintegrál, ez (x²)/2. Így kapjuk:

$$6\cdot \int x\text{ d}x=6\cdot \left(\frac{x^2}{2}\right)=3x^2+c$$

Az utolsó integrálban is először kiemeljük a 42-t:

$$\int 42\text{ d}x=42\cdot \int 1\text{ d}x$$

És ez megint alapintegrál:

$$42\cdot \int 1\text{ d}x=42x+c$$

Ezeket a részintegrálokat összeadjuk, és megvan az eredmény:

$$\int x^2+6x+42\text{ d}x=\frac{x^3}{3}+3x^2+42x+c$$

Még egy megjegyzés – mi minden részintegrálban kaptunk egy c állandót, így az összeadáskor az eredménybe +c helyett +3c-t kellene írnunk. A c azonban tetszőleges valós állandó, így a 3c is egyenlő lesz valamilyen valós számmal. A részintegrálokban a c-t lecserélhetnénk c₁, c₂, c₃-ra, és azt mondhatnánk, hogy c = c₁ + c₂ + c₃.