Bevezető példák a deriválásra

Ebben a cikkben először bemutatunk néhány hasznos képletet a deriváláshoz, majd megpróbáljuk kiszámolni néhány függvény deriváltját – egyszerűekét és bonyolultakét is. Ha nem megoldott példákat keresel, hanem a derivált definícióját szeretnéd megérteni, lépj tovább a függvény deriváltja cikkre.

Polinomok deriváltja

Először néhány olyan képletet említünk meg, amelyekre szükségünk lesz a polinom alakú függvények deriváltjának kiszámításához. A bal oldalon az az elemi függvény áll, amelyet deriválni akarunk, a jobb oldalon pedig a deriválás utáni függvény. A rend kedvéért: c konstans (így már az első sorban egy konstans függvény szerepel), és x szerint deriválunk.

$\begin{array}{rcl} c^{'} & = & 0 \\ x^{'} & = & 1 \\ (x^{c})^{'} & = & c \cdot x^{c - 1} \end{array}$

Néhány konkrét példa:

$f (x) = 5$

Ez egy konstans függvény, ezért az első képletet alkalmazzuk, és azt kapjuk:

$f^{'} (x) = 0.$

Az f(x) = x lineáris függvénynek a második képlet szerint a deriváltja

$f^{'} (x) = 1,$

ezen nincs mit tovább vizsgálni. Ezért próbáljuk meg deriválni az

$f (x) = x^{5}$

függvényt. Az utolsó képletet alkalmazzuk, ahol c helyére a kitevőt írjuk, azaz c = 5.

$f^{'} (x) = c \cdot x^{c - 1} = 5 x^{5 - 1} = 5 x^{4}$

A képlet negatív kitevőre is működik, tehát ha az

$f (x) = x^{- 7}$

függvényt akarjuk deriválni, azt kapjuk:

$f^{'} (x) = c \cdot x^{c - 1} = - 7 x^{- 7 - 1} = - 7 x^{- 8} .$

A további játékhoz szükségünk lesz a függvények összegére és szorzatára vonatkozó képletekre. Ha pedig a deriválttal kapott függvényből vissza akarnánk jutni az eredeti függvényhez, az integrálokat használjuk.

Összeg deriváltja

Ha olyan függvény deriváltját akarjuk kiszámolni, amelyben valamilyen kifejezések összege szerepel, egyszerűen kiszámítjuk a belső tagok deriváltját, és a részeredményeket összeadjuk. Így írjuk le:

$(f_{1} (x) + f_{2} (x))^{'} = f_{1}^{'} (x) + f_{2}^{'} (x)$

Egy egyszerű példa: legyen f(x) = x + 5. Ennek a függvénynek a deriváltja:

$f^{'} (x) = x^{'} + 5^{'} = 1 + 0 = 1.$

A függvényt két függvényre bontottuk, így:

$\begin{array}{rcl} f_{1} (x) & = & x \\ f_{2} (x) & = & 5 \end{array}$

és csak behelyettesítettünk a képletbe. Vagyis kiszámoltuk az f₁ és az f₂ függvény deriváltját, és az eredményeket összeadtuk. Kivonásra ugyanígy működik. Egy bonyolultabb példa:

$f (x) = x^{3} + x - 8$

Ismét csak külön deriváljuk a három tagot, és meghagyjuk őket összegben:

$f^{'} (x) = (x^{3})^{'} + x^{'} - 8^{'} = 3 x^{2} + 1 + 0$

Szorzat deriváltja

A szorzatot sajnos már nem lehet olyan egyszerűen kezelni, mint a közönséges összeadást, két függvény szorzatához már kissé bonyolult képletet kell használnunk:

$(f (x) \cdot g (x))^{'} = f^{'} (x) \cdot g (x) + f (x) \cdot g^{'} (x)$

Egy triviális, szorzást tartalmazó függvény például

$s (x) = 5 \cdot x^{2}$

A szorzat képletében két függvény szerepel, ezeket az s(x) függvényből így kapjuk: f(x) = 5 és g(x) = x². Most már csak könnyedén behelyettesítünk:

$s^{'} (x) = 5^{'} \cdot x^{2} + 5 \cdot (x^{2})^{'} = 0 \cdot x^{2} + 5 \cdot 2 x = 10 x$

Látjuk, hogy ha a függvény alakja

$f (x) = a \cdot x^{c},$

akkor deriválás után

$(a \cdot x^{c})^{'} = a \cdot (x^{c})^{'} = a \cdot c \cdot x^{c - 1}$

adódik.

Ezt a szabályt még általánosíthatjuk, és a polinom helyett tetszőleges függvényt írhatunk. Tehát bármely f(x) függvényre igaz, hogy

$(a \cdot f (x))^{'} = a \cdot f^{'} (x) .$

Példaként próbáljuk meg deriválni ezt a függvényt:

$f (x) = 5 x^{3} - 7 x^{2} + 10$

A deriválás elején először az összegre vonatkozó szabályt alkalmazzuk:

$f^{'} (x) = (5 x^{3})^{'} - (7 x^{2})^{'} + 10^{'} =$

A szorzatban szereplő kifejezéseket az utoljára említett képlet szerint felbontjuk:

$= 5 (x^{3})^{'} - 7 (x^{2})^{'} + 10^{'} =$

A zárójelben lévő kifejezéseket az x^c deriválási szabálya szerint deriváljuk.

$= 5 \cdot 3 x^{2} - 7 \cdot 2 x + 0 =$

Végül már csak összeszorozzuk az együtthatókat:

$= 15 x^{2} - 14 x .$

Hányados deriváltja

A hányados deriváltja megint egy kicsit bonyolultabb, mint a szorzaté. A képlet:

${(\frac{f (x)}{g (x)})}^{'} = \frac{f^{'} (x) \cdot g (x) - f (x) \cdot g^{'} (x)}{g^{2} (x)}$

Az eljárás egyébként a szorzatéhoz hasonló. Rögtön egy példa:

${(\frac{x^{2} + 3 x + 1}{2 x - 1})}^{'} =$

A tört számlálója az f(x) függvény, a nevezője a g(x) függvény. Most már csak behelyettesítünk a képletbe:

$= \frac{(x^{2} + 3 x + 1)^{'} (2 x - 1) - (x^{2} + 3 x + 1) (2 x - 1)^{'}}{(2 x - 1)^{2}} =$

A nevezőben a nevező négyzete áll, a számlálóban pedig a képlet szerint felírt tört. Most deriváljuk az első és az utolsó zárójelet. Itt megint az összegre vonatkozó szabály szerepel, ezt átugrom, és rögtön az eredményt írom:

$= \frac{(2 x + 3) (2 x - 1) - 2 (x^{2} + 3 x + 1)}{(2 x - 1)^{2}} = \dots$

Ezt a kifejezést még egyszerűsíthetjük, de ez már nem lényeges ebben a fejezetben.

Elemi függvények deriváltja

Most további levezetés nélkül megadunk néhány képletet a gyakori függvények deriváltjához.

Hatványok és logaritmusok:

$\begin{array}{rcl} (c^{x})^{'} & = & c^{x} \ln c; c > 0 \\ (e^{x})^{'} & = & e^{x} \\ (\log_{a} x)^{'} & = & \frac{1}{x \cdot \ln a}; a > 0 \land a \neq 1 \\ (\ln x)^{'} & = & \frac{1}{x} \end{array}$

Figyeld meg, hogy az e^x függvény deriváltja ismét e^x. Ez nem elírás, hanem kedves tulajdonság, amely rengeteg vicc alapjává vált.

Szögfüggvények:

$\begin{array}{rcl} (\sin x)^{'} & = & \cos x \\ (\cos x)^{'} & = & - \sin x \\ (tg x)^{'} & = & \frac{1}{\cos^{2} x} \\ (ctg x)^{'} & = & - \frac{1}{\sin^{2} x} \end{array}$

Egy egyszerű példa:

$(3 \sin x + 2 \ln x)^{'} =$

Mindkét kifejezés összegben van, ezért elég a két kifejezés deriváltját összeadni. Mindkét kifejezés elején áll egy konstans, amely a mögötte álló függvényt szorozza – tudjuk, hogy ilyenkor elég csak a függvényt deriválni, a konstanst pedig nem változtatni. Így teszünk:

$= 3 (\sin x)^{'} + 2 (\ln x)^{'} =$

Ezek már táblázatbeli értékek:

$= 3 \cos x + 2 \frac{1}{x} = 3 \cos x + \frac{2}{x} .$

Összetett függvény deriváltja

A derivált tulajdonságaiból és a függvényvizsgálatban való alkalmazásából tudjuk, hogy bizonyos feltételek mellett lehet két deriválható függvényünk, amelyek összetételéből ismét deriválható függvényt kapunk. Megmutatjuk, hogyan számoljuk ki egy ilyen összetett függvény deriváltját.

Az összetett függvény deriváltja valószínűleg a legnehezebb fogalom ezek közül az alapvető deriváltak közül. A függvényeket összetehetjük. Hogy mi az összetett függvény, azt részletesebben elolvashatod a Mi a függvény vagy az Egy függvény értelmezési tartománya cikkben. Nagyjából azt jelenti, hogy az egyik függvény argumentumaként egy másik függvényt adunk meg. Szimbolikus jelölése így nézne ki: h(g(x)). Konkrét függvény lehet például

$f (x) = \sin (2 x) .$

Melyik két függvény van benne? A szinusz, majd a beágyazott 2x függvény. Erre az f függvényre nem alkalmazhatjuk csak úgy a sin(x) általános képletét, mert az azzal számol, hogy az argumentumban x-et kap, nem 2x-et. Az összetett függvény deriváltjának kiszámítása tehát így folyik:

$\begin{array}{rcl} f (x) & = & h (g (x)) \\ f^{'} (x) & = & h^{'} (g (x)) \cdot g^{'} (x) \end{array}$

Vagyis deriváljuk a külső függvényt, az argumentumát változatlanul hagyjuk, és megszorozzuk a belső függvény deriváltjával. A szinuszos példában ez így néz ki:

$(\sin (2 x))^{'} = \sin^{'} (2 x) \cdot (2 x)^{'} =$

Az, hogy a vessző csak a szinusz fölött áll, azt jelenti, hogy már csak magát a szinuszt deriváljuk, nem az egész kifejezést, mint az egyenlet bal oldalán. A szinusz deriváltja a koszinusz, ezért a szinusz helyére egyszerűen koszinuszt írunk. A 2x deriváltja pedig 2:

$= \cos (2 x) \cdot 2 = 2 \cos (2 x) .$

Egy újabb, kicsit bonyolultabb példa.

$(\cos (\ln x^{2}))^{'} =$

Itt eggyel több beágyazott függvényünk van. A külső függvény a koszinusz, a középső a logaritmus, a legbelső pedig a hatvány, x². Itt is a képlet szerint haladunk. Felírjuk:

$= \cos^{'} (\ln x^{2}) \cdot (\ln x^{2})^{'} =$

Csak a koszinuszt deriváljuk, a koszinusz argumentumát úgy hagyjuk, ahogy van, vagyis ott marad az egész logaritmus. Ezt az egész kifejezést még megszorozzuk az argumentum deriváltjával, azaz a logaritmus deriváltjával. Deriváljuk a koszinuszt, és kapjuk:

$= - \sin (\ln x^{2}) \cdot (\ln x^{2})^{'} =$

A jobb oldali kifejezés nem változott, csak a koszinuszt deriváltuk. Most a logaritmus deriválásába kezdünk. Ez ismét összetett függvény, ezért rekurzívan alkalmazzuk az összetett függvényre vonatkozó képletet. A bal oldali kifejezést csak átmásoljuk:

$= - \sin (\ln x^{2}) \cdot \ln^{'} x^{2} \cdot (x^{2})^{'} =$

Deriváljuk a logaritmust, és az argumentumát változatlanul hagyjuk, vagyis x² marad. De az egész kifejezést még megszorozzuk az argumentum deriváltjával, azaz éppen az x² deriváltjával. A logaritmus deriváltja az 1/x tört, ahol x helyére az x² argumentumunkat írjuk, az x² deriváltja pedig 2x.

$= - \sin (\ln x^{2}) \cdot \frac{1}{x^{2}} 2 x = - \sin (\ln x^{2}) \cdot \frac{2}{x} = - \frac{2 \sin (\ln x^{2})}{x} .$

« Előző: A függvény deriváltja

Következő: Haladó példák a deriválásra »