A függvény deriváltja

A derivált a differenciálszámítás alapfogalma, fontos szerepe van például a függvényvizsgálatban, és az egyik oldalról a diákok utálják, a másik oldalról viszont a deriváltat egy megfelelően begyakorolt majom is ki tudja számolni. Ebben a cikkben csak a derivált definícióját és a hozzá kapcsolódó fogalmakat írjuk le és magyarázzuk el. Megoldott példákat a szomszédos cikkekben találsz: egyszerű példák a deriválásra és bonyolultabb példák. A deriválás fordított művelete az integrálás.

Mi a derivált

Mielőtt a derivált definíciójához eljutnánk, nézzük meg, mit is számolunk ki a deriválttal, és mire lehet jó.

A függvény deriváltjával az érintő meredekségét kapjuk meg. Ez elsőre sok csúnya szó egy rakáson, ezért kezdjük az elejéről. Egyszerűen szólva az érintő olyan egyenes, amely az adott grafikont pontosan egy pontban érinti. Ez nem pontos definíció, azt olvasd el például a Wikipédián, de nagyjából elég. Most nézd meg a következő ábrát:

A fekete görbe az y = x² függvény grafikonja. A kék egyenes ennek a függvénynek az érintője a D(1; 1) pontban, amelyet pirossal jelöltünk. Zölddel van jelölve az α szög, amelyet az érintő az x tengellyel zár be – pontosabban az x tengely pozitív félegyenesével. Most definiáljuk az érintő meredekségének fogalmát. Az érintő meredeksége ezen az ábrán az alfa szög tangense. A tangens klasszikus szögfüggvény, amellyel például szögeket és oldalak hosszát számolhatjuk a háromszögben. Az érintő meredeksége tehát annak a szögnek a tangense, amelyet az adott érintő az x tengely pozitív félegyenesével zár be. Ezt a meredekséget pedig éppen a deriválttal kapjuk meg.

Továbbá megkülönböztetjük a függvény egy pontbeli deriváltját és a függvény deriváltját. A függvény egy pontbeli deriváltja éppen az érintő meredeksége az adott pontban. A függvény deriváltja pedig egy másik függvény, amely az általános x argumentumhoz rendeli a meredekségeket. A példa következik.

Motiváció

A derivált segítségével tehát ki tudjuk számolni az érintők meredekségét. Mire lehet ez jó? Nézd meg a következő ábrát:

Az ábrán ismét az y = x² függvény látható és négy berajzolt érintő. Két zöld és két kék. Figyeld meg, hogy az y = x² függvény a ]−∞; 0[ intervallumon szigorúan monoton csökkenő, a ]0; +∞[ intervallumon pedig szigorúan monoton növekvő. De mi igaz ugyanakkor az érintőikre, illetve arra a szögre, amelyet a pozitív félegyenessel bezárnak? A kék érintők, amelyek azokon a pontokon mennek át, amelyek ahhoz az intervallumhoz tartoznak, ahol a függvény nő, a tengellyel 90 foknál kisebb szöget zárnak be. A zöld érintők viszont olyan szöget zárnak be a tengellyel, amely 90 foknál nagyobb. Hogyan jelenik ez meg az érintők meredekségében?

Ehhez ismernünk kell a tangens függvény viselkedését. A következő grafikonról megtudjuk, hogy ha a szög 90 foknál kisebb, akkor a tangens értéke pozitív (kékkel kiemelt rész); ha viszont a szög 90 foknál nagyobb, de 180 foknál kisebb (azaz kisebb π radiánnál), akkor a tangens értéke negatív. Milyen következtetést vonhatunk le? Ha az érintő meredeksége (ne felejtsd, hogy a meredekség éppen a szög tangense) az adott pontban pozitív, akkor a függvény az adott pontban szigorúan monoton növekvő, ha negatív, akkor szigorúan monoton csökkenő.

Definíció

Mielőtt magához a derivált definíciójához eljutunk, hosszú utat kell megtennünk. Ehhez szükségünk lesz a függvény határértékére. Ha a határértéket nem ismered, térj vissza hozzá, vagy ugorj át a képletekhez, a további magyarázat valószínűleg nem neked szól.

Mielőtt magára az érintő meredekségére térnénk, előbb a szelő meredekségénél állunk meg, ami egyszerűbb lesz. A szelő olyan egyenes, amely a grafikont két pontban metszi. Most megpróbáljuk levezetni, hogyan számolnánk ki ezt a meredekséget. Nézd meg az ábrát:

Itt az x² + 1 függvény grafikonja látható és az s szelő, amely a grafikont két pontban metszi: (0,5; 1,25) és (2; 5). Ezeket a pontokat kékkel kiemeltük. Mivel a konkrét értékek nem érdekelnek bennünket különösebben, az ábrán ezek az értékek általánosan szerepelnek a és b, valamint f(a) és f(b) néven. Az f(a) az f függvény értéke az x = a pontban. Igaz: a mi x² + 1 függvényünk értéke az x = 2 pontban 2² + 1 = 5.

Most azt kell levezetni, hogyan számoljuk ki az alfával jelölt szöget, vagyis azt a szöget, amelyet a szelő az x tengellyel bezár. Az ábrát először egy kicsit átalakítjuk, hogy kapjunk benne egy háromszöget, azzal könnyebben fogunk dolgozni.

Mit csináltunk? Szakasszal összekötöttük azokat a pontokat, ahol a szelő metszette az y = x² + 1 függvény grafikonját, és kiegészítettük őket az ABC derékszögű háromszöggé. Miben segített ez? A β-val jelölt szög ugyanis ugyanakkora, mint az α szög (ezek egyállású szögek). Közben viszont ismerjük az AB és a BC oldal hosszát. Igaz, hogy |AB| = b − a (ez egyszerűen a b pont távolsága az a ponttól). Hasonlóan igaz, hogy a |BC| = f(b) − f(a) hossz. Hogyan számoljuk most ki a β, illetve az α szög nagyságát?

Tudni kell, hogyan számoljuk a tangenst. A tangens a szöggel szemközti befogó és a szög melletti befogó aránya, vagyis az alfa (béta) szög tangense egyenlő a BC oldal és az AB oldal hosszának arányával. Felírjuk:

$$\mathrm{tg}(\beta )=\frac{|BC|}{|AB|}=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$$

Mivel a meredekség a szög tangense, ezzel a képlettel kiszámoltuk a szelő meredekségét. De hogyan segít ez, ha az érintő meredekségét akarjuk kiszámolni? Képzeld el, hogy az A és a C pontot addig közelítjük egymáshoz, amíg egybe nem esnek. A közelítést az ábra mutatja:

Minél jobban közelítjük a felső metszéspontot az alsóhoz, annál közelebb van a szelő ahhoz, hogy érintő legyen. Az eredeti CA szelő/egyenes messze volt az érintőtől. Ha a C pontot közelítjük az A ponthoz, kapunk például egy C₁A szelőt, amely már jobban hasonlít az érintőre. A C₂A szelő még jobban hasonlít, és így tovább.

Mikor lesz a szelőből érintő? Abban a pillanatban, amikor mindkét metszéspont egybeesik, vagyis amikor valamelyik C_n pontra teljesülne, hogy C_n = A. Ekkor a szelőből érintőt kaptunk, amit akartunk. A kérdés az, hogyan számoljuk ki a meredekséget, mert a két pontot nem vonhatjuk ki csak úgy egymásból, hiszen ugyanazok:

$$\mathrm{tg}(\beta )=\frac{f(a)-f(a)}{a-a}=\frac{0}{0}.$$

Ez nem megy, így nem számolhatunk. Nem hiába csak közelítettük egymáshoz az adott pontokat. Szükségünk lesz ugyanis a határértékre. Most az érintő meredekségét akarjuk kiszámolni az (a; f(a)) pontban, és rendelkezésünkre áll az összes lehetséges szelő meredeksége (ezeket már ki tudjuk számolni). Sorra kiszámoljuk tehát a szelők meredekségét, amelyeket úgy közelítünk, hogy érintő keletkezzen. Tehát a b-t közelítjük a-hoz. A pontokat nem közelíthetjük úgy, hogy egyenlők legyenek, de közelíthetjük úgy, hogy a különbségük határértékben nullához tartson. Lám, a határérték. Tehát b-t közelítjük a-hoz, amíg határértékben egyenlők nem lesznek. Vagyis kiszámoljuk a határértéket, amikor b tart a-hoz. Ez minden, a képlet így néz ki:

$$\mathrm{tg}(\alpha )=\underset{b\to a}{lim}\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$$

Ezt a határértéket nevezzük az f(x) függvény deriváltjának az x = a pontban. Emlékeztetlek, hogy az α szög egyenlő a β szöggel. Általában nem az a és b változókat használjuk, hanem az x₀ pontban keressük a deriváltat, és az x ponttal közelítünk. Ekkor írhatjuk:

$$\mathrm{tg}(\alpha )=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}.$$

Egyelőre, hasonlóan a függvény folytonosságához, a deriváltat egy pontban definiáltuk. Ha van egy f(x) függvényünk, amely deriválható az I nyílt intervallumon, akkor ennek a deriváltnak az értékei meghatározzák az f′(x) függvényt, amelyet a függvény deriváltjának nevezünk.

A deriváltat a felső indexben álló vesszővel jelöljük, nagyjából így:

$$(x^2{)}^{\prime }=2x,f^{\prime }(x)=\dots f^{\prime }(x_0)=\dots$$

Találkozhatsz másfajta jelöléssel is, a dx segítségével:

$$\frac{d}{dx}f(x)=f^{\prime }(x)$$

Az imént használt képletben tehát a tangenst felcserélhetjük a derivált jelölésével:

$$f^{\prime }(x_0)=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}.$$

Definiálhatjuk az egyoldali deriváltat is jobbról, illetve balról, az egyoldali határértékek segítségével. Ezzel most nem foglalkozunk, nem annyira fontos.

Kicsit más definíció

A függvény egy pontbeli deriváltjának másik definíciója így néz ki:

$$f^{\prime }(a)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.$$

Hogyan jutunk el ilyen definícióhoz? Elég egy kicsit módosítani az ábrán, amelyből kiindultunk. Az a pont és a b pont távolságát ugyanis kifejezhetjük így: h = b − a. Ezért a b pontot felírhatjuk a + h alakban, mert h éppen a b távolsága a-tól. Az ábra így nézne ki:

Lent vannak az a és a + h pontok, az y tengelyen pedig f(a) és f(a + h). Most ismét megszerkesztjük a háromszöget, és kiszámoljuk a béta szög tangensét. Csak azzal a különbséggel, hogy az AB oldal hosszát már kiszámoltuk, az éppen h.

Véges és végtelen derivált

A deriváltból is van véges és végtelen, hasonlóan a függvények határértékéhez. Mit jelent ez? A derivált véges, ha a derivált értéke a pontban valamilyen valós számmal egyenlő. A derivált végtelen, ha egyenlő plusz vagy mínusz végtelennel. Hogyan képzeljük el ezt geometriailag? Mikor „végtelen” a meredekség? Kezdjük egy könnyebb kérdéssel – hogy néz ki az az érintő, amelynek a meredeksége valamilyen nagy számmal egyenlő? A tangens grafikonjáról (lásd fent) látszik, hogy ha a tangens értéke nagy, akkor a szög a 90 fokhoz közelít (ha a ]0; 180[ intervallumban mozgunk).

Ebből arra következtethetnénk, hogy ha a függvénynek az adott pontban végtelen a deriváltja, akkor az érintő az x tengellyel derékszöget zár be, merőleges rá. És valóban így van. Hogyan nézhetne ki egy ilyen függvény grafikonja, és melyik pontban lenne az érintő merőleges az x tengelyre? Például az $y=\sqrt[3]{x}$ függvény:

Alapvető tulajdonságok

• Ahhoz, hogy a függvénynek legyen deriváltja egy pontban, értelmezve kell lennie ennek a pontnak valamilyen epszilon-környezetében. Ha ez a környezet nem létezne, nem jutnánk el azokhoz a határértékekhez, amelyeken keresztül a deriváltat definiáljuk.

• A határértékek létezésének (vagy nemlétezésének) egyértelműségéből következik, hogy ha egy pontban létezik derivált, akkor az egyetlen. Egy függvénynek egy pontban nincs több deriváltja. Vagy egy van, vagy egy sem.

• Hasonlóan az egyoldali határértékekhez, ha a függvénynek van deriváltja egy pontban, akkor a bal és a jobb oldali deriváltnak egyenlőnek kell lennie.

• Időnként szükségünk van az ún. második deriváltra. Nem valami bonyolult dologról van szó, a függvényt egyszer deriváljuk, majd az eredményt még egyszer deriváljuk. Két vesszővel jelöljük: f''(x) = (f'(x))'.

• Fontos tulajdonság: ha a függvénynek egy pontban van deriváltja, akkor a függvény ebben a pontban folytonos. Ez ismét a határértékek tulajdonságaiból következik. Vigyázz, ez fordítva nem igaz. Ha a függvény egy pontban folytonos, az nem jelenti, hogy ott deriválható is. Tipikus példa az f(x) = |x| függvény. A grafikonjának csúcsa van, és ebben a csúcsban nem lehet kiszámolni az érintő meredekségét. Megpróbálhatod kiszámolni a bal és a jobb oldali deriváltat, különbözőek lesznek.

  

• A deriváltak segítségével néhány határérték kiszámítását is megoldhatjuk, erre való a L'Hospital-szabály.

Hivatkozások

A szomszédos cikkben megtalálod a deriválási képletek listáját. Néhány további képletet megtalálsz a Wikipédián.

Megnézheted a megoldott példákat a deriválásra is, majd esetleg a nehezebb példákat a deriválásra.

Ha gyorsan ellenőrizni szeretnéd a derivált kiszámítását, használhatsz valamilyen matematikai eszközt, például a Wolfram|Alpha oldalt. Elég a beviteli mezőbe beírni (például) azt, hogy „derive x^2+6x”, és a Wolfram kiszámolja a megadott függvény deriváltját.