Haladó példák a deriválásra

Néhány példa olyan deriváltakra, amelyek bonyolultabbak a képletek egyszerű alkalmazásánál. Ha a derivált definícióját szeretnéd megérteni, lépj tovább a függvény deriváltja cikkre.

Első példa

Kezdjük valamivel, ami még nem túl nehéz.

$$f(x)=x^3\cdot e^{-x}$$

A függvények deriválási képleteiből tudjuk, hogy az e^x függvény deriváltja ismét e^x. Sajnos ezt az egyszerű eljárást itt nem alkalmazhatjuk teljesen közvetlenül, mert a kitevőben nem csak x áll, hanem −x, ezért a függvényt összetett függvényként kell megoldanunk. Az első lépésben azonban így is a szorzat képletével bontunk.

$$f^{\prime }(x)=(x^3{)}^{\prime }\cdot e^{-x}+x^3\cdot (e^{-x}{)}^{\prime }=$$

A bal oldali polinomot a szokásos képlettel deriváljuk, a többit változatlanul hagyjuk:

$$=3x^2\cdot e^{-x}+x^3\cdot (e^{-x}{)}^{\prime }=$$

Most az utolsó függvényt kell deriválnunk. Ahogy már mondtuk, ez összetett függvény, ezért az összetett függvényekre vonatkozó szabály szerint kell deriválnunk:

$$\begin{array}{rcl}f(x)& =& h(g(x))\\ f^{\prime }(x)& =& h^{\prime }(g(x))\cdot g^{\prime }(x)\end{array}$$

A függvényünk deriváltja tehát így néz ki:

$$(e^{-x}{)}^{\prime }=e^{-x}\cdot (-x{)}^{\prime }=e^{-x}\cdot (-1)=-e^{-x}$$

Az e^−x kifejezés ugyanaz marad, mert az e^x deriváltja ismét e^x, és a képlet első lépésében a külső függvényt deriváljuk, a belső függvényt pedig deriválatlanul hagyjuk. A második lépésben a részeredményünket megszorozzuk a függvény argumentumának deriváltjával, ami a −x függvény. A −x függvény deriváltja −1. Most már csak behelyettesítjük az eredményünket az előző kifejezésbe:

$$=3x^2\cdot e^{-x}+x^3\cdot (e^{-x}{)}^{\prime }=3x^2\cdot e^{-x}-x^3\cdot e^{-x}.$$

Második példa

A második példa feladata:

$$f(x)=\frac{\ln (\cos x)}{\mathrm{tg}x}$$

Itt egy törtünk van, a számlálóban az egyik függvény, a nevezőben egy másik. Az első lépésben tehát a hányados képlete szerint deriválunk. A képlet alkalmazása után kapjuk:

$$\frac{(\ln (\cos x){)}^{\prime }\cdot \mathrm{tg}x-\ln (\cos x)\cdot (\mathrm{tg}x{)}^{\prime }}{{\mathrm{tg}}^{2}x}$$

Haladjunk hátulról: először a tangenst deriváljuk, mert azt egyszerűen megtehetjük az alapképlet szerint. Igaz, hogy

$$(\mathrm{tg}x{)}^{\prime }=\frac{1}{{\cos }^{2}x}.$$

Ennek a képletnek a számlálóban való alkalmazása után kapjuk:

$$\frac{(\ln (\cos x){)}^{\prime }\cdot \mathrm{tg}x-\ln (\cos x)\cdot \frac{1}{{\cos }^{2}x}}{{\mathrm{tg}}^{2}x}$$

Most a logaritmust kell deriválnunk. Sajnos a logaritmuson belül újabb beágyazott függvény van, tehát összetett függvényt kapunk, és a logaritmust bonyolultabban, összetett függvényként kell deriválnunk. Maga a logaritmus deriváltja 1/x, de x helyére a logaritmus argumentumát, vagyis a koszinuszt írjuk. Ezt még meg kell szoroznunk az argumentum deriváltjával, azaz a koszinusz deriváltjával. A logaritmus deriváltja tehát így fog kinézni:

$$(\ln (\cos x){)}^{\prime }=\frac{1}{\cos x}\cdot (\cos x{)}^{\prime }=-\frac{1}{\cos x}\cdot \sin x=-\frac{\sin x}{\cos x}$$

Egész szép törtet kaptunk. Ha jól emlékszel a szögfüggvényekre, tudod, hogy ez a tört a tangenssel egyenlő. Felírhatjuk tehát, hogy az egész egyenlő mínusz tangenssel:

$$(\ln (\cos x){)}^{\prime }=-\mathrm{tg}x$$

Ezt helyettesítsük be az előző eredménybe:

$$=\frac{(\ln (\cos x){)}^{\prime }\cdot \mathrm{tg}x-\ln (\cos x)\cdot \frac{1}{{\cos }^{2}x}}{{\mathrm{tg}}^{2}x}=\frac{-\mathrm{tg}x\cdot \mathrm{tg}x-\ln (\cos x)\cdot \frac{1}{{\cos }^{2}x}}{{\mathrm{tg}}^{2}x}=$$

A számlálóban kétszer szerepel a tangens, ezért egyszerűen négyzetre emelhetjük. A logaritmust pedig a következő tört számlálójába írhatjuk.

$$=\frac{-{\mathrm{tg}}^{2}x-\frac{\ln (\cos x)}{{\cos }^{2}x}}{{\mathrm{tg}}^{2}x}=$$

Most szétbonthatjuk a számlálót, és két törtet kapunk

$$=-\frac{{\mathrm{tg}}^{2}x}{{\mathrm{tg}}^{2}x}-\frac{\frac{\ln (\cos x)}{{\cos }^{2}x}}{{\mathrm{tg}}^{2}x}=$$

Az első törtben a számláló egyenlő a nevezővel, ezért egyet kapunk. A második törtben a számlálóbeli törttől úgy szabadulhatunk meg, hogy a törtet bővítjük a cos²x kifejezéssel.

$$=-1-\frac{\ln (\cos x)}{{\cos }^{2}x\cdot {\mathrm{tg}}^{2}x}=$$

A tangenst most felbonthatjuk a sin(x)/cos(x) hányadosra. Mivel azonban a tangens négyzeten van, a törtben a számláló és a nevező is négyzeten lesz. Ezután rögtön egyszerűsíthetünk a cos²x kifejezéssel.

$$=-1-\frac{\ln (\cos x)}{{\cos }^{2}x\frac{{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}}=-\frac{\ln (\cos x)}{{\sin }^{2}x}-1.$$

Ez a derivált végeredménye.

Harmadik példa

Számítsd ki a függvény deriváltját:

$$f(x)=x^{(x^{\frac{1}{2}})}.$$

Ha ez nem látszik tisztán – mind kitevő, vagyis „x az (x az egyketted hatványon) hatványon”. Az első lépésben először átalakítunk a képlet szerint:

$$x=e^{\ln x}$$

Ezzel a képlettel felbontjuk a példánkban az első x-et:

$$f(x)=(e^{\ln x}{)}^{x^{\frac{1}{2}}}$$

Most alkalmazzuk a hatványokkal végzett műveletek képletét:

$$(a^b{)}^c=a^{b\cdot c}$$

Elhagyjuk a zárójeleket, és a legmagasabb kitevőt a logaritmussal szorzatba tesszük:

$$f(x)=e^{\ln x\cdot x^{\frac{1}{2}}}$$

Most már olyan alakban van a függvényünk, amelyben könnyebb lesz deriválni. Összetett függvény, és úgy is fogjuk deriválni. Az első függvény az e^x, ahol x helyére az egész kitevőt írjuk, a második függvény pedig a kitevőben van. A felbontással tehát kapjuk:

$$f^{\prime }(x)=e^{\ln x\cdot x^{\frac{1}{2}}}\cdot (\ln x\cdot x^{\frac{1}{2}}{)}^{\prime }$$

A zárójelet szorzatként deriváljuk, ezért a szorzat képletét alkalmazzuk.

$$(\ln x\cdot x^{\frac{1}{2}}{)}^{\prime }=(\ln x{)}^{\prime }\cdot x^{\frac{1}{2}}+\ln x\cdot (x^{\frac{1}{2}}{)}^{\prime }=$$

A logaritmus deriváltja 1/x:

$$=\frac{1}{x}\cdot x^{\frac{1}{2}}+\ln x\cdot (x^{\frac{1}{2}}{)}^{\prime }=$$

Most deriváljuk a második kifejezést a hatványfüggvények deriválásának szokásos képlete szerint. Tehát igaz:

$${\left(x^{\frac{1}{2}}\right)}^{\prime }=\frac{1}{2}{x}^{\frac{1}{2}-1}=\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}=\frac{x^{-\frac{1}{2}}}{2}=\frac{1}{2x^{\frac{1}{2}}}=\frac{1}{2\sqrt{x}}$$

Ezt az eredményt behelyettesítjük a számolásunkba:

$$=\frac{1}{x}\cdot x^{\frac{1}{2}}+\ln x\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}=$$

Az első szorzatot még átalakíthatjuk, ismét a hatványokkal dolgozó képletekkel:

$$\frac{1}{x}\cdot x^{\frac{1}{2}}=x^{-1}\cdot x^{\frac{1}{2}}=x^{-1+\frac{1}{2}}=x^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{x}}$$

Az előző kifejezést átírjuk az imént elvégzett számolás segítségével:

$$=\frac{1}{\sqrt{x}}+\ln x\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}=$$

Végül a logaritmust a tört számlálójába visszük:

$$=\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{\ln x}{2\sqrt{x}}=$$

Az első törtet bővíthetjük kettővel, és a törteket ezután összeadhatjuk:

$$=\frac{2}{2\sqrt{x}}+\frac{\ln x}{2\sqrt{x}}=\frac{2+\ln x}{2\sqrt{x}}$$

Most már visszatérhetünk a teljes deriválthoz:

$$f^{\prime }(x)=e^{\ln x\cdot x^{\frac{1}{2}}}\cdot \left(\frac{2+\ln x}{2\sqrt{x}}\right)=$$

Az e^{ln x} kifejezést visszacseréljük x-re:

$$=x^{\sqrt{x}}\cdot \left(\frac{2+\ln x}{2\sqrt{x}}\right).$$

Ezzel megkaptuk a végeredményt.