Sorozat határértéke

A sorozat határértéke az a szám, amelyhez az adott sorozat a végtelenben közeledik. A sorozat határértéke afféle előfutára a függvény határértékének, amelynek nagy jelentősége van a matematikai analízisben.

Rövid bevezetés a határértékekbe

A sorozat határértéke az a szám, amelyhez egy adott számsorozat folyamatosan közeledik (esetleg végül el is éri). A legjobb egy ábra, amely az $a_n=\frac{1}{n}$ képlettel adott sorozatot mutatja:

Az ábrán látjuk, hogy a sorozat tagjai egyre jobban közelednek a nullához. Minél nagyobb az n, annál kisebb az a_n értéke, és annál közelebb van a nullához. A grafikon soha nem érinti a vízszintes tengelyt, mert az 1/n = 0 egyenlet soha nem teljesül (ahol n pozitív egész szám). Mégis érdemes kideríteni, melyik számhoz közeledik az egész sorozat. A kérdés tehát így hangozhat: ha n-t folyamatosan növeljük, melyik számhoz fog közeledni a sorozat értéke? Ha n-t a végtelenhez közelítjük, milyen értéket vesz fel a sorozat tagja? Pontosan ezt oldják meg a határértékek. Jelölésére a $lim$ jelet használjuk. Az alsó indexben az áll, hogy az n melyik számhoz tart, sorozatoknál ez mindig a végtelen. A teljes jelölés például így nézhet ki:

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}=0.$$

Így olvassuk: „Az egy per n sorozat határértéke, ha n a végtelenhez tart, nulla.” Néhány további triviális példa: Mekkora az a_n = n sorozat határértéke? Ez egyszerű sorozat, ahol a₁ = 1, a₄₂ = 42, a₅₈₇₆₆ = 58766 és így tovább. Melyik számhoz közelednek a sorozat tagjai a végtelenben? Minél nagyobb az n, annál nagyobb az a_n, tehát a határérték a végtelen.

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}n=\mathrm{\infty }$$

Valószínűleg magadtól is kitalálod, hogy az a_n = n² sorozat határértéke szintén a végtelen. Ez a sorozat még gyorsabban nő, mint az előző. Az $a_n=\frac{1}{2n}$ sorozat viszont még gyorsabban tart a nullához, mint az első példasorozat.

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{n}^2=\mathrm{\infty },\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{2n}=0$$

A sorozat véges határértékének definíciója

Ideje, hogy a sorozat határértékét rendesen definiáljuk.

Az ${\{a_n\in \mathbb{R}\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ sorozatnak véges határértéke a (konvergál az a ∈ ℝ határértékhez, konvergens), ha minden ϵ > 0 számhoz létezik olyan n₀ ∈ ℕ, hogy minden n>n₀ esetén teljesül |a_n − a| < ϵ.

Használt jelölések:

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=a$$

$$a_n\to a\text{, ha }n\to \mathrm{\infty }$$

$${\left\{a_n\right\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}\to a$$

Szép definíció, most magyarázzuk el. Ehhez szükségünk lesz egy sorozat ábrájára, ezért válasszuk például a következő sorozatot:

$$a_n=\frac{5n}{n+1}$$

És a grafikonját:

A grafikonról szépen leolvasható, hogy a sorozat az öthöz konvergál, vagyis ennek a sorozatnak a határértéke öt. Mielőtt ezen a sorozaton elkezdem szemléltetni a határérték definícióját, még teszek a grafikonba egy kis színt:

Már tudjuk, hogy ennek a sorozatnak a határértéke öt. A definíció első részében ϵ>0 szerepel, vagyis valamilyen nullánál nagyobb epszilon. Az epszilon itt a határérték környezetét, egy pont környezetét jelenti. Azért nagyobb nullánál, mert a környezet nem lehet negatív, és nulla sem. Az ábrán ezt a környezetet az y tengelyen a vízszintes zöld vonalak jelölik. A pont itt az öt értéke, a pont környezete pedig a zöld vonalak az y tengelyen. A környezetet mindkét irányban értelmezzük, felfelé és lefelé is. Erre a zöld vízszintes vonalakkal határolt képzeletbeli sávra most szükségünk lesz. Az ábrán ϵ = 1.

A célunk, hogy az alsó vízszintes tengelyen találjunk olyan n₀ számot, amely a tengelyt két részre osztja. Mégpedig úgy, hogy a sorozat minden tagja az n₀-tól jobbra ebben a zöld sávban van. Az n₀-tól balra levő számok helye nem lényeges, és nem kell megkeresnünk a legkisebb olyan n₀-t, amelyre a definíció teljesül. Az ábrán n₀ = 12.

Mit jelent valójában, hogy a sorozat egy tagja a zöld sávban van? Azt, hogy a határértéktől (ebben az esetben az öttől) legfeljebb epszilon távolságra van. És pontosan ezt mondja a definíció: |a_n − a|<ϵ. Emlékeztetek, hogy az a érték a határértéket jelöli, esetünkben tehát a = 5. Számoljuk ki a tizenötödik elem értékét:

$$a_{15}=\frac{5\cdot 15}{15+1}=\mathrm{4,687}5$$

Most helyettesítsünk be a |a_n − a|<ϵ összefüggésbe:

$$\begin{array}{rcl}|a_n-a|& <& ϵ\\ |\mathrm{4,687}5-5|& <& 1\\ \mathrm{0,312}5& <& 1\end{array}$$

Látjuk, hogy az egyenlőtlenség teljesül. Ez a pont megfelel a definíciónak. A 0,3125 szám a sorozat tizenötödik tagja és a sorozat határértéke közötti távolságot fejezi ki. Az ábrán ezt a távolságot egy rövid lila szakasz emeli ki. Ha így megvizsgálnánk az összes n₀-nál nagyobb számot, azt találnánk, hogy az egyenlőtlenség továbbra is teljesül. Az a = 5 szám tehát megfelel e sorozat határérték-definíciójának.

A definíciónak van azonban egy fontos eleme. Azt írja, hogy minden ϵ>0 számhoz meg tudjuk találni az n₀ számot. Tehát tetszőlegesen nagy epszilonhoz, de főleg tetszőlegesen kicsi epszilonhoz. Akármilyen kicsire csökkentjük is az epszilont (de még mindig pozitív számra), akkor is képesnek kell lennünk megtalálni az n₀-t.

Próbáljuk hát az epszilont valamilyen kisebb értékre csökkenteni. Mi történik? Összezsugorodik a zöld sáv, amelybe bele kell férnünk. Ez azonban egyáltalán nem baj, egyszerűen növeljük az n₀ értékét – eltoljuk jobbra. A zsugorodást és az eltolást a következő ábra szemlélteti:

Ez az eltolás szépen mutatja a határérték viselkedését. A határértéktől azt várjuk, hogy a sorozat tagjai fokozatosan közelednek hozzá, hogy a határértéktől való távolságuk folyamatosan csökken. (A határértéktől való távolság az, amit az imént számoltunk, az ábrán a lila vonal.) Ha a távolság folyamatosan csökken, és a tagok közelednek a határértékhez, egyszer el kell jutniuk arra a pontra, ahol már közelebb lesznek a határértékhez, mint az epszilon. És ezzel megtaláltuk az n₀ értékét. Ha viszont nagyobb epszilont választunk, választhatunk kisebb n₀-t is:

Az elején említettem, hogy a sorozat folyamatosan közeledik a határértékéhez, de soha nem éri el. A sorozat azonban érintheti a határértékét, sőt végtelen sokszor fel is veheti. Például az a_n = 1 konstans sorozat minden pontban az egy értéket veszi fel, és a határértéke is egy.

A határérték nemlétének szemléltetése

Módosítsuk a sorozat definícióját úgy, hogy megfeleljen a következő grafikonnak: (maga a képlet most nem lényeges)

A sorozat ugyanúgy viselkedik, mint az előző esetben, kivéve a tizedik, huszadik, harmincadik stb. tagot (tegyük fel, hogy ezek a tagok mindig 3,5-tel egyenlők – nem nőnek és nem csökkennek). Ezek a tagok mintha kiesnének a ritmusból. Az ábrára két környezetet rajzoltam be, az epszilon egyet és kettőt. Mint látjuk, ϵ₂-höz (a nagyobb epszilon-környezethez) találunk olyan n₀-t, hogy az összes további tag a zöld sávban legyen. De ha az epszilont ϵ₁-re csökkentjük, már nem találunk ilyen n₀-t – minden tizedik tag ezen a környezeten kívül lesz. Ennek a sorozatnak az öt nem lenne határértéke (és más határértéke sincs).

Példák további határértékekre

Példa olyan sorozatra, amelynek egyáltalán nincs határértéke, az a_n = sin n, amelyet a következő ábra mutat:

Látjuk, hogy a sorozat egyetlen számhoz sem konvergál, a sorozat tagjai folyamatosan csökkennek és nőnek. Az ilyen sorozatot divergensnek nevezzük.

Eddig olyan konvergens sorozatokat mutattunk, amelyek a határértékhez egy oldalról közeledtek. A sorozat azonban a határértékhez mindkét oldalról is közeledhet, ahogy ez a sorozat mutatja:

$$a_n=(-1{)}^n\cdot \frac{1}{n}$$

Ez a sorozat is nullához konvergál.

Végtelen határérték

Eddig a véges határértékről beszéltünk, vagyis arról az esetről, amikor a sorozat valamilyen valós számhoz közelít. De mi a helyzet például az a_n = n sorozattal? Melyik valós számhoz közelít a sorozat? Nézd meg a grafikont:

Nyilván nem közelít egyetlen valós számhoz sem, hanem minden határon túl nő, a végtelenbe tart. Az ilyen sorozatnak tehát a végtelenben van a határértéke, és az ilyen határértékről azt mondjuk, hogy végtelen. A végtelen határérték definíciója egyszerű. Mit jelent, hogy a sorozat a végtelenbe nő? Hogy ha választunk egy tetszőlegesen nagy A valós számot, mindig találunk olyan n₀ indexet, hogy a sorozat minden, ezen a tagon túli tagjára igaz, hogy nagyobb az A számnál. Röviden: ha választunk egy A korlátot, akkor a sorozat egy bizonyos részétől kezdve az összes tag nagyobb ennél az A-nál. Matematikailag leírva:

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=\mathrm{\infty }\iff \mathrm{\forall }A\in \mathbb{R}\mathrm{\exists }{n}_0\in \mathbb{N}\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}:n>n_0\Rightarrow a_n>A$$

Az elején az áll, hogy minden A-ra, vagyis minden korlátra, amelyet választani szeretnénk. Aztán jön az egzisztenciális kvantor, amely azt mondja, hogy léteznie kell olyan n₀ indexnek, amelyre teljesül, hogy ha n nagyobb ennél az n₀-nál, akkor az a_n tag értéke nagyobb annál a korlátnál, amelyet az elején választottunk, vagyis A-nál. A mínusz végtelen felé tartó végtelen határértékre hasonló a definíció.

A határértékek kiszámításának módszerei

Már ismerünk néhány alapvető módszert a sorozat határértékének kiszámítására. Az a_n = n sorozat különféle változatai, például

$$a_n=2n,a_n=\frac{n}{2}$$

határértéke plusz végtelen. Az

$$a_n=\frac{1}{n},a_n=\frac{15}{4n}$$

típusú sorozatok határértéke viszont nulla. Most ismertetünk néhány alapvető összefüggést a sorozatokkal való számoláshoz. Tegyük fel, hogy

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=a,\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{b}_n=b,a,b\in \mathbb{R}.$$

Ekkor az alábbi összefüggések is érvényesek:

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(c_1{a}_n+c_2{b}_n)=c_{1}a+c_{2}b\mathrm{\forall }{c}_1,c_2\in \mathbb{R}$$

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n{b}_n=a\cdot b;\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{a_n}{b_n}=\frac{a}{b};b\ne 0.$$

Az első képletet alkalmazhatjuk a következő példában:

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(\frac{1}{n}+5)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}+\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}5=0+5=5$$

És mi a helyzet, ha ilyen példánk van?

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3n+1}{2n}$$

Itt probléma van, mert a számlálóban a kifejezés a végtelenben a végtelenhez tart, a nevezőben a kifejezés is a végtelenhez tart. Ha azonban a számlálóban is és a nevezőben is végtelen áll, ún. határozatlan kifejezést kapunk. Egyszerűen nem tudjuk megállapítani, mivel egyenlő ez a kifejezés:

$$\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$$

A feladatunk az lesz, hogy a kifejezést úgy alakítsuk át, hogy ez a határozatlan kifejezés ne keletkezzen. Ha sikerül eltávolítani a nevezőből vagy a számlálóból az n változót, már kaphatunk olyan kifejezést, amelyben csak egy végtelen szerepel.

A kifejezést először úgy alakítjuk át, hogy minden tagot elosztunk az n változóval, vagyis a törtet bővítjük az 1/n kifejezéssel.

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3n+1}{2n}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(\frac{3n+1}{2n}\cdot \frac{\frac{1}{n}}{\frac{1}{n}})=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\frac{3n}{n}+\frac{1}{n}}{\frac{2n}{n}}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3+\frac{1}{n}}{2}$$

Látjuk, hogy a nevezőben már nincs n változó, így a nevezőben lévő kifejezés a végtelenben nem tart a végtelenhez. Az előző képletek szerint az egész határértéket felbonthatjuk több kisebbre úgy, hogy külön kiszámoljuk az összes kifejezés határértékét, az eredményeket összeadjuk, és elosztjuk.

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3+\frac{1}{n}}{2}=\frac{\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}3+\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}}{\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}2}$$

Így olyan helyzetbe jutottál, hogy már az összes határértéket ki tudjuk számolni. Tegyük meg.

$$\frac{\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}3+\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}}{\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}2}=\frac{3+0}{2}=\frac{3}{2}$$

Ennek a sorozatnak a határértéke az 1,5 szám.

Próbáljunk ki egy másik példát:

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3n^2+1}{2n}$$

Itt vagy ugyanazt az eljárást használhatjuk, mint az előbb, vagy megpróbálhatunk logikus gondolatmenetet bevetni. Az n² függvény sokkal gyorsabban húzza felfelé a sorozatot, mint ahogy az n függvény lefelé húzza. Az n² függvény sokkal erősebb, ezért az egész kifejezés határértéke a végtelen. Próbáljuk ki számolással is. Ismét minden kifejezést elosztunk n-nel:

$$\begin{array}{rcl}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3n^2+1}{2n}& =& \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\frac{3n^2}{n}+\frac{1}{n}}{\frac{2n}{n}}\\ & =& \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3n+\frac{1}{n}}{2}\\ & =& \frac{\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}3n+\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}}{\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}2}\\ & =& \frac{\mathrm{\infty }+0}{2}=\mathrm{\infty }\end{array}$$

Még néhány szó arról, miért n-nel osztottunk, és miért nem például n²-tel, amely szintén szerepel a kifejezésben. A célunk, mint tudjuk, hogy megszabaduljunk valamelyik változótól. Tudjuk azonban, hogy a nevező értéke nem lehet nulla, mert akkor ismét határozatlan kifejezést kapnánk. A törtet olyan kifejezéssel bővítjük, hogy a nevezőben ne keletkezzen nulla. Ez ebben az esetben azt jelentette, hogy a nevezőben szereplő legmagasabb kitevőjű kifejezéssel bővítjük.

Mondhatjuk tehát, hogy a határértéket az a függvény határozza meg, amely nagyságrendileg gyorsabban nő. Vigyázz azonban az előjelekre, a végtelennel való számolásnál is meg kell őriznünk az előjelet:

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3n^2+1}{-2n}=\dots =\frac{\mathrm{\infty }+0}{-2}=-\mathrm{\infty }$$