Az érintő egyenlete

Az érintő olyan egyenes, amely egyetlen pontban érinti a függvény grafikonját, és ott ugyanolyan a meredeksége, mint a grafikonnak. A pont közelében olyan szorosan simul a grafikonhoz, hogy alig lehet megkülönböztetni tőle. Mutassuk meg ezt a parabolán, vagyis az f(x) = x² függvény grafikonján:

A piros t egyenes az érintő a T(1; 1) pontban. A szürke szaggatott egyenes ugyanazon a ponton megy át, de más a meredeksége, ezért elmetszi a grafikont, és kicsit odébb újra találkozik vele. Tehát nem érintő.

A feladat általában így néz ki: adott egy függvény és egy pont a grafikonján, és fel kell írnunk az érintő egyenletét ebben a pontban, vagyis az egyenes egyenletét y = mx + n alakban. Az egyenes egyenletéhez két dologra van szükségünk:

• a pontra, amelyen az egyenes átmegy,
• az m meredekségre, vagyis arra a számra, amely megmondja, mennyire dől az egyenes.

A pont adott. Rajta van a grafikonon, tehát ha az első koordinátája x₀, a második koordinátája f(x₀). A meredekség meghatározásában a derivált segít: a függvény deriváltja egy pontban éppen az érintő meredeksége az adott pontban. Már csak a pontból és a meredekségből kell felépíteni az egyenes egyenletét.

Adott ponton átmenő, adott meredekségű egyenes

Az az egyenes, amelynek meredeksége m, és átmegy az (x₀; y₀) ponton, a következő egyenlettel adható meg:

$$y-y_0=m\cdot (x-x_0).$$

Ez rögtön ellenőrizhető: ha x helyére x₀-t írunk, a jobb oldal nulla, tehát y = y₀, és a pont rajta van az egyenesen. A zárójel előtti szám pedig a meredekség, mert a zárójel felbontása után az egyenes meredekség-tengelymetszetes alakját kapjuk, y = mx + n, az m-mel a megfelelő helyen.

Az érintőnél az érintési pont második koordinátájának y₀ = f(x₀)-t, a meredekségnek pedig a deriváltat, m = f'(x₀)-t írjuk be.

Képlet

Ha csak a képletre van szükséged, akkor az f függvény grafikonjának érintőjét az (x₀; f(x₀)) pontban így írhatod fel:

$$y-f(x_0)=f^{\prime }(x_0)\cdot (x-x_0),$$

ahol x₀ az érintési pont első koordinátája, f'(x₀) pedig az f függvény deriváltja ebben a pontban. A képlet azt feltételezi, hogy a derivált az x₀ pontban létezik, különben az érintőt ilyen módon nem tudjuk felírni.

Az egész eljárás tehát három lépésből áll:

1. kiszámítjuk f(x₀)-t,
2. deriváljuk a függvényt, és kiszámítjuk f'(x₀)-t,
3. mindkét számot behelyettesítjük a képletbe, és rendezzük.

Példa

Felírjuk az f(x) = x² függvény grafikonjának érintőjét az x₀ = 1 pontban, vagyis azt a piros érintőt a cikk elején látható ábráról.

Kezdjük a függvény értékével az x₀ pontban:

$$f(1)=1^2=1$$

Az érintési pont tehát az (1; 1). Ezután jön a derivált, a deriválási képletek szerint (x²)' = 2x:

$$f^{\prime }(x)=2x$$

A deriváltba beírjuk az x₀ = 1 értéket:

$$f^{\prime }(1)=2\cdot 1=2$$

Az érintő meredeksége kettő. Mindkét számot behelyettesítjük a képletbe:

$$y-1=2\cdot (x-1)$$

Felbontjuk a zárójelet:

$$y-1=2x-2$$

Már csak az y-t kell kifejezni, ezért az egyest átvisszük a jobb oldalra:

$$y=2x-1$$

Az x² függvény grafikonjának érintője az (1; 1) pontban az y = 2x − 1 egyenletű egyenes. Ellenőrzés, hogy az érintő valóban átmegy az érintési ponton: 2 · 1 − 1 = 1. Stimmel.

Gyakori hiba, hogy az x₀-t az eredeti függvénybe is behelyettesítjük, ott is, ahol a deriváltnak kellene állnia, és ezt írjuk: y − 1 = 1 · (x − 1). Az eredmény ugyan egy olyan egyenes, amely átmegy a ponton, de rossz a meredeksége, ezért elmetszi a grafikont. Éppen ez a bevezető ábrán látható szürke szaggatott y = x egyenes.

Egyenessel párhuzamos érintő

Néha azonban az érintési pontot nem adják meg, és magunknak kell kinyomoznunk. A tipikus feladat így szól: határozzuk meg az

$$f(x)=x^2-4x+5$$

függvény grafikonjának azt az érintőjét, amely párhuzamos az y = 2x − 7 egyenessel.

Maga az y = 2x − 7 egyenes nem érintő, a parabolával még egyetlen közös pontja sincs. Ha a két egyenletet egyenlővé tesszük, az x² − 6x + 12 = 0 egyenletet kapjuk, és ennek a másodfokú egyenletnek nincs megoldása, mert a diszkrimináns 36 − 48 = −12. Az egyenest ezért annyira kell eltolni, hogy éppen csak érintse a parabolát.

A párhuzamos egyeneseknek egyenlő a meredekségük, ezért a keresett érintő meredeksége kettő, ugyanúgy, mint az y = 2x − 7 egyenesé. Olyan pontot keresünk tehát, amelyben a derivált kettővel egyenlő. Deriválunk:

$$f^{\prime }(x)=2x-4$$

A deriváltat kettővel tesszük egyenlővé, és megoldjuk az elsőfokú egyenletet:

$$\begin{array}{rcl}2x-4& =& 2/+4\\ 2x& =& 6/:2\\ x& =& 3\end{array}$$

Az érintési pont első koordinátája x₀ = 3. A másodikat a függvényből kapjuk:

$$f(3)=3^2-4\cdot 3+5=9-12+5=2$$

Megvan az érintési pont, T(3; 2), és a meredekség is kettő, ezért felírhatjuk:

$$y-2=2\cdot (x-3)$$

A zárójel felbontása és a kettes jobb oldalra vitele után ez jön ki:

$$y=2x-4$$

A keresett érintő egyenlete y = 2x − 4. Az ábrán a parabolát feketével, a megadott p egyenest kékkel, a t érintőt pirossal, az érintési pontot, T-t pedig narancssárgával látod.

Ha a megadott egyenes meredeksége más lenne, az eljárás pontosan ugyanez volna, csak a deriváltat egy másik számmal tennénk egyenlővé. A parabolánál mindig pontosan egy érintési pont jön ki, bonyolultabb függvényeknél több is lehet, de akár egy sem.

Normális

A normális az az egyenes, amely átmegy az érintési ponton, és merőleges az érintőre. Ha az érintő meredeksége m, akkor a rá merőleges egyenes meredeksége $-\frac{1}{m}$. A normális egyenlete tehát

$$y-f(x_0)=-\frac{1}{f^{\prime }(x_0)}\cdot (x-x_0).$$

A képletet csak akkor használhatjuk, ha f'(x₀) ≠ 0. Ha a derivált nulla, az érintő vízszintes, a normális pedig az x = x₀ egyenletű függőleges egyenes.

Térjünk vissza az első példához, és számítsuk ki hozzá a normálist is, vagyis az x² függvényét az (1; 1) pontban. Az érintő meredeksége kettő volt, a normális meredeksége ezért $-\frac{1}{2}$. Behelyettesítünk:

$$y-1=-\frac{1}{2}\cdot (x-1)$$

Felbontjuk a zárójelet:

$$y-1=-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$$

Az egyest átvisszük a jobb oldalra, és összeadjuk a törteket:

$$y=-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$$

Az x² függvény grafikonjának normálisa az (1; 1) pontban tehát az $y=-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$ egyenletű egyenes.