Sorozatok

A sorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza. A sorozat lehet végtelen, ha értelmezési tartománya a pozitív egész számok teljes halmaza, vagy véges, ha értelmezési tartománya csak a pozitív egész számok egy véges részhalmaza. Ha nem mondjuk ki kifejezetten, hogy véges sorozatról van szó, végtelen sorozatot értünk alatta.

A sorozat definíciója

Ez a fejezet legalább egy kicsit megvilágítja a sorozat definíciójának jelentését. Nem feltétlenül szükséges ismerned, ha akarod, az egész fejezetet átugorhatod.

A bevezető már elárulta, hogy függvényről van szó, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza. Az értékkészlete tetszőleges halmaz lehet, mi azonban itt a valós számok halmazát feltételezzük. Mit jelent ez? A legszembetűnőbb változás a függvény grafikonján látszik: nem folytonos vonal lesz, mint a megszokott függvényeknél, hanem csak szétszórt, különálló, izolált pontok.

Sorozat lehet például az 1, 3, 5, 7, 9, 11, … számsor. Ez elég egyértelműen megadott sorozat, és mindenkinek világosnak kell lennie, hogyan folytatódik. Mivel függvényről van szó, a sorozat hozzárendelési táblázata így nézne ki:

$$\begin{array}{rcl}1& \to & 1\\ 2& \to & 3\\ 3& \to & 5\\ 4& \to & 7\\ & \dots & \end{array}$$

Az első oszlop számai (az értelmezési tartomány elemei) tehát azt mutatják, hányadik helyen áll az adott szám a sorozatban. Például az egyszerű sorozatunkban az öt a harmadik helyen áll. Pontosan ezt mondja a táblázat is. A negyedik helyen a hét áll, az elsőn az egy, és így tovább. Ebből az is következik, hogy egy véges p sorozat értelmezési tartománya valamilyen

$$D_p=\{1,2,3,\dots ,n\}$$

alakú halmaz kell legyen, hogy valóban sorrendről legyen szó, és egyetlen hely se maradjon ki. Például a

$$D_p=\{1,2,3,5,7\}$$

halmaz nem alkalmas sorozat értelmezési tartományának, mert hiányzik belőle a negyedik és a hatodik elem.

A sorozatot tehát az fejezi ki, hogy az elemei valamilyen módon sorba rendezhetők, és az első és az utolsó kivételével minden elemnek van előzője és követője. Ez óriási különbség a valós függvényekhez képest, ahol ilyesmi nem igaz. Ha vesszük az f(x) = 2x függvényt, melyik érték következik f(5/2) után? Nem tudjuk, az eredmény valós szám, a valós számoknak pedig nincs követőjük.

A sorozat megadása

Tudjuk már, hogy a sorozat leegyszerűsítve számozott számsor. Nézzük meg, hogyan adhatjuk meg. A sorozatot általában kisbetűvel nevezzük el, alsó indexszel, például a_i.

Az első mód az összes érték felsorolása. Ezzel az előző fejezetben már találkoztunk. A felsorolás lehet véges és végtelen is:

$$\begin{array}{rcl}{a}_k& =& (1,2,3,4,5)\\ a_n& =& (2,4,6,8,10,\dots )\end{array}$$

Megjegyzés: nem vagyok biztos benne, milyen zárójeleket szokás használni a sorozatokhoz, egységes szabályt nem találtam. Valószínűleg nem használnék kapcsos zárójelet, mert az halmazt jelöl, amelynél a sorrend nem számít, a sorozatnál viszont számít a tagok sorrendje.

A második lehetőség az n-edik tag képlete. Például az a_n sorozat tartalmazza az összes páros számot. Ezt képlettel így fejezhetjük ki:

$$a_n=2n.$$

Az n alsó index megmondja, hányadik elemét számoljuk éppen a sorozatnak. Ha tehát az első elemet akarjuk tudni, az a₁ elem kell nekünk, ha a hetediket, akkor az a₇. A hetedik elemet úgy számoljuk ki, hogy behelyettesítünk a képletbe.

$$a_7=2\cdot 7=14$$

Ez a megadás azért hasznos, mert a sorozat bármelyik elemét azonnal ki lehet vele számolni. Egy másik lehetőség a rekurzív definíció. A rekurzív definíció lehetővé teszi, hogy kiszámoljuk a következő tagot, ha ismerjük a jelenlegit. Vagyis ha ismerjük az a_n elemet, ki tudjuk számolni az a_{n + 1} elemet.

Ha a sorozatot rekurzívan akarjuk megadni, két információt kell megadnunk: melyik az első elem, és mi a szabály az (n + 1)-edik elem kiszámítására. Ha a páros pozitív egész számok sorozatát rekurzívan akarnánk megadni, így tehetnénk:

$$a_1=2;a_{n+1}=a_n+2$$

Hogyan számolunk ezzel? Tudjuk, hogy a₁ egyenlő kettővel. Most n helyére behelyettesítünk egyet, így a₂-t úgy kapjuk meg, hogy a₁-hez hozzáadunk kettőt. Négyet kapunk, a második páros számot. És így tovább.

$$\begin{array}{rcl}{a}_1& =& 2\\ a_2& =& a_1+2(=4)\\ a_3& =& a_2+2(=6)\\ a_4& =& a_3+2(=8)\\ & \dots & \end{array}$$

A rekurzív definíció akkor hasznos, ha a sorozat egy nagyobb részét kell előállítanunk. Ezzel szemben nem hasznos, ha egy konkrét elemet akarunk kiszámolni, mert a századik páros szám kiszámításához előbb ki kell számolnunk az összes előtte álló 99 páros számot.

Az utolsó lehetőség, hogy a sorozatot grafikonnal adjuk meg.

Még egy tisztázás: a sorozatnak nem kell feltétlenül egyszerű képlete lennie, nem kell „észszerű” számsornak lennie. Ez a számsor is sorozat, bár első pillantásra nincs mélyebb értelme:

$$a_i=(-5,\frac{7}{3},\pi ,\pi ,\pi ,13,{10}^6+54,{\log }_{3}54,0)$$

A sorozat grafikonja

A sorozatok grafikonja különbözik a szokásos valós függvényekétől. Mivel az értelmezési tartományuk a pozitív egész számok halmaza, a grafikonjukat izolált pontok alkotják.

Számtani sorozat

A számtani sorozat egyszerű sorozat, amelyben a tagok között állandó a különbség. Minden következő elem például hárommal nagyobb, vagy mondjuk tizenhéttel kisebb. Azt a különbséget, amellyel a sorozat tagjai eltérnek egymástól, differenciának nevezzük (jele d). Az első esetben a differencia három, a másodikban mínusz tizenhét, a páros számok sorozatánál pedig kettő. Képlettel tehát a számtani sorozatot így írhatjuk fel:

$$a_{n+1}=a_n+d$$

A számtani sorozat n-edik tagjának kiszámítására szolgáló általános képlet pedig

$$a_n=a_1+(n-1)d.$$

Példaként vegyük ismét a páros számokat, ahol a differencia kettő, és az első páros szám is kettő. A második páros számot úgy kapjuk, hogy az elsőhöz hozzáadunk kettőt. Ha még egyszer hozzáadunk kettőt, megkapjuk a harmadik páros számot.

$$\begin{array}{rcl}{a}_1& =& 2\\ a_2& =& a_1+2(=4)\\ a_3& =& a_2+2(=6)\\ a_4& =& a_3+2(=8)\\ & \dots & \end{array}$$

Ha például a hetedik páros számot akarjuk kiszámolni, az általános képletbe így helyettesítünk:

$$a_n=a_1+(n-1)d\to a_7=2+(7-1)\cdot 2=2+12=14$$

Hogyan derítjük ki, hogy egy sorozat számtani-e? Az (n + 1)-edik tag képletéből kivonjuk az n-edik tag képletét, és ha differenciát kapunk, számtani sorozatról van szó. Legyen például a sorozat

$$a_n=2n+7.$$

Számtani sorozat ez? Először felírjuk az (n + 1)-edik tagot:

$$a_{n+1}=2(n+1)+7.$$

Most ezt a két kifejezést kivonjuk egymásból:

$$\begin{array}{rcl}d& =& (2(n+1)+7)-(2n+7)\\ d& =& 2n+2+7-2n-7\\ d& =& 2n-2n+7-7+2\\ d& =& 2\end{array}$$

Látjuk, hogy a kivonás után d = 2-t kaptunk, tehát számtani sorozatról van szó, amelynek a differenciája kettő.

A számtani sorozat tagjainak összege

Gyakran szükségünk van egy számtani sorozat első néhány tagjának összegére. Hogyan csináljuk? Intuitíven valahogy így. Maradjunk a páros számoknál. Mennyi az első három páros szám összege? Vagyis a 2, 4 és 6 számoké. Persze összeadhatjuk őket egyenként, de nem ezt akarjuk, mi képletet szeretnénk.

Alakítsuk át a sorozatot így: az első elemhez hozzáadunk kettőt, az utolsóból pedig kettőt kivonunk. 4, 4, 4-et kapunk. Látjuk, hogy három egyforma számunk van, így elég a négyet megszorozni a tagok számával, vagyis hárommal. Tehát 4 · 3 = 12.

Öt elemnél ez így nézne ki: 2, 4, 6, 8, 10. A szélső elemekhez hozzáadunk, illetve belőlük kivonunk négyet, a szélsők melletti elemekhez pedig kettőt.

$$\begin{array}{rcl}{a}_i& =& (2+4),(4+2),6,(8-2),(10-4)\\ a_i& =& 6,6,6,6,6\end{array}$$

Ismét elég csak szorozni: 6 · 5 = 30. Mit látunk? Mindig a sorozat tagjainak számát szorozzuk a sorozat középső tagjával. A 2, 4, 6 sorozatban középen a négy állt, a 2, 4, 6, 8, 10 sorozatban pedig a 6. Hogyan számoljuk ki általánosan a középső elemet (jelöljük p-vel)? A sorozat első és utolsó tagjának átlagaként, vagyis

$$p=\frac{a_1+a_n}{2}$$

Például a második sorozatnál

$$p=\frac{2+10}{2}=6.$$

Az a_n sorozat első n tagjának összegére vonatkozó végső képlet tehát így nézne ki:

$$S_n=n\cdot \frac{a_1+a_n}{2}$$

A képlet páros számú elemre is érvényes, bár a levezetésben csak páratlan számú elemet használtunk.

Hogyan számoljuk ki a differenciát

Hogyan számoljuk ki a differenciát, ha ismerjük a sorozat két tagját? Maradjunk a páros számoknál. Tegyük fel, hogy a sorozat két tagját ismerjük:

$$a_3=6,a_7=14.$$

Hogyan számoljuk ki a differenciát? Először kiszámoljuk a két elem különbségét:

$$a_7-a_3=14-6=8$$

Most már csak el kell osztanunk ezt az eredményt a két ismert elem közötti lépések számával, vagyis az indexeik különbségével:

$$\frac{a_7-a_3}{7-3}=\frac{8}{4}=2.$$

A differencia kettő. A d differencia kiszámítására szolgáló végső képlet, ha ismerjük a sorozat a_k és a_l elemét:

$$d=\frac{a_l-a_k}{l-k}$$

A számtani sorozat grafikonja állandó növekedést vagy állandó csökkenést mutat – a grafikon izolált pontjai egy egyenesen fekszenek.

Mértani sorozat

A mértani sorozat abban különbözik az előző számtani sorozattól, hogy két szomszédos tagja között nem a különbség, hanem a hányados állandó. Ezt a hányadost nem differenciának nevezzük, mint a számtani sorozatnál, hanem hányadosnak (jelöljük q-val). Lehetne például olyan sorozatunk, amelyben q = 10, az első elem pedig 5:

$$\begin{array}{rcl}{a}_1& =& 5\\ a_2& =& a_1\cdot 10(=50)\\ a_3& =& a_2\cdot 10(=500)\\ a_4& =& a_3\cdot 10(=5000)\end{array}$$

Általánosan tehát ez a képlet érvényes:

$$a_{n+1}=a_n\cdot q$$

A mértani sorozat általános tagjának képlete így nézne ki:

$$a_n=a_1\cdot q^{n-1}$$

Például az előző sorozat harmadik elemét így számolnánk ki:

$$\begin{array}{rcl}{a}_3& =& a_1\cdot q^{3-1}\\ a_3& =& 5\cdot q^2\\ a_3& =& 5\cdot {10}^2\\ a_3& =& 500\end{array}$$

A mértani sorozatokat még két csoportra oszthatjuk aszerint, mekkora a hányadosuk. Ha ugyanis a hányados abszolút értéke kisebb egynél, az egész sorozat nullához tart. Az ilyen sorozatot konvergensnek nevezzük. Ha viszont a hányados abszolút értéke legalább egy, a sorozat nem tart nullához, és divergens sorozatnak hívjuk. A konvergens sorozatra egyszerű képlet érvényes a teljes sor összegére (csak a konvergensre igaz, mert a divergensnek nincs véges összege):

$$S_a=\frac{a_1}{1-q}.$$

A mértani sorozat első i elemének összegét ez a képlet adja meg az a_n sorozatra:

$$S_i=a_1\cdot \frac{q^i-1}{q-1}$$

A képlet levezetését elolvashatod a Wikipédián.

A mértani sorozat grafikonja – kivéve, ha a hányados egy vagy nulla – izolált pontok halmaza, amely nem fekszik egy egyenesen. A mértani sorozat tipikus grafikonja így néz ki:

Ha a hányados negatív, a grafikonnak két ága lesz: