✖

Lineáris egyenletrendszerek

A lineáris egyenletrendszer m darab, n változós lineáris egyenlet halmaza. Az egyenletrendszer megoldásával olyan értékeket kapunk, amelyeket az n változó helyére behelyettesíthetünk úgy, hogy az összes egyenlet igaz legyen.

A lineáris egyenletrendszer definíciója

Biztosan találkoztál már valamilyen egyszerű

a11x+a12y=b1a21x+a22y=b2

típusú egyenletrendszerrel, ahol a11,…,a22, b1, b2 megadott valós számok, x és y pedig változók. Ennek az egyenletrendszernek különböző számú megoldása lehet – nincs megoldása, egy megoldása van, vagy végtelen sok, hasonlóan a klasszikus elsőfokú egyenlethez. Lineáris egyenletrendszer esetén a megoldások számának kérdése és a megoldások megtalálása bonyolultabb, mint egy egyszerű elsőfokú egyenlet esetén.

A lineáris egyenletrendszer definíciója:

a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮am1x1+am2x2+…+amnxn=bm

ahol a11, …, amn, b1, …, bm valós számok. Ezt az egyenletrendszert m lineáris egyenletből álló, n ismeretlenes rendszernek nevezzük, ahol az ismeretlenek x1, …, xn, az együtthatók pedig a11, …, amn. A lineáris egyenletrendszer egy konkrét példája lehet például ez:

3x1+−2x2+4x3+5x4=15x1+4x2+2x3+−10x4=211x1+8x2+10x3+20x4=4

Ha viszont valamelyik aij negatív, szokás a következő alakban felírni:

3x1−2x2+4x3+5x4=15x1+4x2+2x3−10x4=211x1+8x2+10x3+20x4=4

Ettől még továbbra is igaz, hogy a12 = −2 és a24 = −10.

Mátrixos felírás

Ezt az egyenletrendszert átírhatjuk mátrixos alakra. Összesen három mátrixot definiálunk: egyet az együtthatókra, egyet az egyenletek jobb oldalára és egyet magukra a változókra. A mátrixok így fognak kinézni:

A=(a11a12…a1na21a22…a2n⋮⋮⋱⋮am1am2…amn),b=(b1b2⋮bm),x=(x1x2⋮xn)

Az A mátrix az eredeti egyenletek együtthatóit tartalmazza, ezt „a rendszer mátrixának” nevezzük, a b mátrix az egyenletek jobb oldalát, az x mátrix pedig a változókat tartalmazza. Ekkor az egész egyenletrendszert felírhatjuk egyetlen egyenletként:

Ax=b

Ez az egyenlet értelmes, mert a bal oldalon két mátrix szorzata áll, a jobb oldalon pedig egy mátrix, és a méreteik összeillenek. Próbáljuk meg elvégezni a bal oldal szorzását. Egy m × n típusú mátrixot szorzunk egy n × 1 típusú mátrixszal, így az eredménymátrix m × 1 típusú lesz, vagyis m sora és egy oszlopa lesz. Egyelőre minden rendben.

Most elvégezzük a mátrixszorzás klasszikus algoritmusát: az A mátrix első sorával és az x mátrix első oszlopával kezdjük (más oszlop nincs is). Azt kapjuk, hogy:

a11x1+a12x2+…+a1nxn

Ezzel az összeggel megkaptuk az új mátrix első elemét, vagyis a b1 értéket. Ha ezt az egészet behelyettesítjük az egyenletbe, azt kapjuk, hogy:

a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1

Pontosan az egyenletrendszerünk első egyenletét kaptuk meg. A többi sorral ugyanígy folytatnánk. Definiáljuk még a rendszer kibővített mátrixát, ami a rendszer mátrixa kiegészítve a b mátrixszal, így:

B=(A|b)=(a11a12…a1nb1a21a22…a2nb2⋮⋮⋱⋮⋮am1am2…amnbm)

Ezután minket a rendszer kibővített mátrixának rangja fog érdekelni. Az eredeti, nem kibővített mátrix rangjának jele rang(A), a kibővítetté rang(A|b). Milyen kapcsolat van e két rang között? Ha az A mátrixhoz hozzáírjuk a b oszlopot, két eset állhat elő: ha ez az új oszlop az A mátrix oszlopainak lineáris kombinációja, a rang nem változik. Ha nem volt lineáris kombináció, akkor a rang eggyel nagyobb lesz.

Kronecker–Capelli-tétel

A kibővített mátrix rangja fontos lesz számunkra, mert érvényes egy fontos tétel, a Kronecker–Capelli-tétel: Az Ax = b egyenletrendszernek akkor és csak akkor van megoldása, ha a rendszer mátrixának rangja egyenlő a rendszer kibővített mátrixának rangjával: rang(A) = rang(A|b).

Megmutatjuk, hogy ez a tétel legalább az egyik irányban igaz – ha az x = β megoldása az Ax = b egyenletnek, akkor rang(A) = rang(A|b). Ha ez a két rang egyenlő, akkor a b oszlopnak az A mátrix oszlopainak lineáris kombinációjának kell lennie. Írjuk fel részletesen. A β mátrix alakja:

β=(β1β2⋮βn)

Mi pedig azt állítjuk, hogy ha x1 helyére a β1 értéket helyettesítjük stb., akkor az egyenletrendszer minden egyenlete igaz lesz:

a11β1+a12β2+…+a1nβn=b1a21β1+a22β2+…+a2nβn=b2⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮am1β1+am2β2+…+amnβn=bm

Most kicsit átírjuk az egyenleteket. Ha megnézzük az első oszlopot, látjuk, hogy mindig az a11, a21, …, am1 értékek állnak benne, amelyeket ugyanazzal a β1 értékkel szorzunk. Ha az oszlopot külön mátrixba írjuk, a β1 értéket kiemelhetjük a mátrix elé, így azt kapjuk, hogy:

(a11β1a21β1⋮am1β1)=β1(a11a21⋮am1)

Ily módon átírhatjuk az egész egyenletrendszert:

β1(a11a21⋮am1)+β2(a12a22⋮am2)+…+βn(a1na2n⋮amn)=(b1b2⋮bm)

Ahhoz, hogy ez az egyenlet teljesüljön, a jobb oldali mátrixnak a bal oldali oszlopmátrixok lineáris kombinációjának kell lennie, és a β1, …, βn értékeknek kell az együtthatóknak lenniük.

Ezzel beláttuk, hogy ha a β mátrix megoldása az egyenletrendszernek, akkor a rendszer jobb oldalának, a b mátrixnak a rendszer mátrixa oszlopainak lineáris kombinációjának kell lennie. Ha pedig a b mátrix oszlopa lineáris kombinációja az A mátrix oszlopainak, akkor az A mátrixnak ugyanakkora a rangja, mint az (A|b) mátrixnak.

Ugyanakkor igaz az is, hogy ha rang(A) = rang(A|b) = k, és k egyenlő az ismeretlenek számával, vagyis k = n, akkor az egyenletrendszernek pontosan egy megoldása van. Ha k < n, akkor az egyenletrendszernek végtelen sok megoldása van, és ezek felírásához n − k paraméterre lesz szükségünk.

Elemi sorműveletek

Az előző egyenletből az is látszik, hogy ha az (A|b) mátrixon elemi sorműveleteket végzünk, az egyenletrendszer megoldása nem változik. Ha a második sorhoz hozzáadnánk az első sort, ezt az egyenletet kapnánk:

β1(a11a21+a11⋮am1)+β2(a12a22+a12⋮am2)+…+βn(a1na2n+a1n⋮amn)=(b1b2+b1⋮bm)

Ha kiírjuk a második sort, azt kapjuk, hogy:

β1(a21+a11)+β2(a22+a12)+…+βn(a2n+a1n)=b1+b2

Felbontjuk a zárójeleket:

β1a21+β1a11+β2a22+β2a12+…+βna2n+βna1n=b1+b2

Most csak kicsit átrendezzük:

(β1a11+β2a12+…+βna1n)+(β1a21+β2a22+…+βna2n)=b1+b2

Az első zárójelben valójában az első sor áll, a másodikban pedig az eredeti második sor. Tudjuk, hogy az első sor egyenlő a b1 értékkel, a második sor pedig a b2 értékkel. Ezt az eredeti egyenletekből tudjuk. Így az első zárójel helyére írhatjuk, hogy b1, a második helyére pedig, hogy b2:

b1+b2=b1+b2.

Hasonlóan az egész sort megszorozhatjuk egy c ≠ 0 állandóval, és az egyenletrendszer érvényessége nem változik. Arra viszont vigyázz, hogy oszlopműveleteket nem végezhetünk.

Egyetlen megoldású egyenletrendszer

Egy példán megmutatjuk, hogyan oldjuk meg az olyan egyenletrendszert, amelynek pontosan egy megoldása van. Legyen adott a következő egyenletrendszer:

2x1+3x2+7x3=473x1+8x2+x3=503x2+3x3=27

Az A mátrix így fog kinézni:

A=(237381033)

Most kiszámítjuk ennek a mátrixnak a rangját:

(237381033)∼(69216162033)∼(692107−19033)∼(6921021−5702121)∼(6921021−570078)

Látjuk, hogy rang(A) = 3. Ebből az is következik, hogy rang(A|b) = 3, mert egy 3 × 4 típusú mátrix rangja legfeljebb három lehet. A rendszernek három ismeretlene van, így az egész egyenletrendszernek pontosan egy megoldása van. Hogyan találjuk meg?

Gauss-eliminációs módszer

A Gauss-elimináció lényege, hogy a rendszer kibővített mátrixát lépcsős alakra hozzuk. Ha a mátrixot lépcsős alakra hoztuk, meg tudjuk állapítani az egyik változó értékét. Miután megtaláltuk az egyik változó értékét, elkezdhetjük behelyettesíteni ezt az értéket a többi egyenletbe.

Az (A|b) mátrix alakja:

(A|b)=(237473815003327)

Lépcsős alakra hozzuk. Ugyanazokat az átalakításokat végezzük, mint az előző lépésben, csak ezúttal a negyedik oszlopra is alkalmazzuk őket:

(237473815003327)∼(6921141616210003327)∼(692114107−19−4103327)∼(6921141021−57−12302121189)∼(6921141021−57−1230078312)

Mivel elemi sorműveleteket végeztünk, ez a mátrix ekvivalens egyenletrendszert ír le – olyat, amelynek ugyanaz a megoldáshalmaza. Az egyenletrendszert átírjuk a mátrixos alakból a megszokott alakba, az utolsó mátrixunk együtthatóit használva:

6x1+9x2+21x3=14121x2−57x3=−12378x3=312

Most az utolsó egyenletből indulunk ki. Ez azt mondja, hogy 78x3 = 312. Mekkora legyen az x3 értéke? Ez egy egyszerű elsőfokú egyenlet, tehát

78x3=312x3=31278x3=4

Megvan az első változó, az x3 értéke. Ezt az értéket behelyettesítjük a második egyenletbe. Ezt az egyenletet kapjuk:

21x2−57x3=−12321x2−57⋅4=−12321x2=−123+22821x2=105x2=10521x2=5

Végül a két kiszámított értéket behelyettesítjük az első egyenletbe:

6x1+9x2+21x3=1416x1+9⋅5+21⋅4=1416x1+45+84=1416x1=12x1=2

Az x1 változó értéke kettő. Ezzel megvan a teljes megoldás. Felírhatjuk, hogy x = (x1; x2; x3) = (2; 5; 4). Mint látható, a Gauss-eliminációs módszer egyszerű, de hatékony módszer a lineáris egyenletrendszerek megoldására.

Végtelen sok megoldás

Ha rang(A) = rang(A|b) = k, és k kisebb az ismeretlenek számánál, k < n, akkor az egyenletrendszernek végtelen sok megoldása van. Nézzünk egy egyszerű példát:

4x1+x2=512x1+3x2=15

Látjuk, hogy a második egyenlet az első egyenlet háromszorosa. Ha az első egyenletet megszorozzuk mínusz hárommal, és hozzáadjuk a második sorhoz, azt kapjuk, hogy:

4x1+x2=50x1+0x2=0

Most tehát a változók száma kettő, n = 2, a rendszer mátrixának rangja egy, rang(A) = 1, és a kibővített mátrix rangja is egy, rang(A|b) = 1. Teljesül, hogy k < n, tehát a rendszernek végtelen sok megoldása van. Hogyan találjuk meg ezeket a megoldásokat?

Nézzük meg az egyenleteket. A második egyenlet minden x1, x2 esetén teljesül, ezért csak az első egyenlet érdekel minket. Valójában az első egyenletet kielégítő összes x1, x2 számpár alkotja az adott egyenletrendszer összes megoldásának halmazát. Tehát megoldjuk a 4x1 + x2 = 5 egyenletet. Az egyenletet átalakítjuk x2 = 5 − 4x1 alakra.

Ezután paraméter segítségével dolgozunk. Választunk egy t paramétert. Most az x1, x2 párt próbáljuk kifejezni a t paraméterrel úgy, hogy fel tudjuk írni például azt, hogy a (t; t + 2) alakú számpárok mind megoldásai a rendszernek. Tehát olyan párok, mint az (1; 3) vagy a (14; 16). A lényeg az, hogy az egyik változó értékét egy másik változóval fejezzük ki úgy, hogy tudjuk: ha az x1 értéke ennyi meg ennyi, akkor az x2 értéke például háromszor akkora lesz. Kiindulópontként az x1 változót választjuk.

Felírjuk a t = x1 egyenlőséget. Ha az x1 változó értéke t, mekkora lesz az x2 változó értéke? Ez az előző egyenletből látszik, az értéke x2 = 5 − 4x1 lesz. Tehát ha x1 = t, akkor x2 = 5 − 4t. Így felírhatjuk, hogy az egyenletrendszer megoldásai mind a (t; 5 − 4t) alakú számpárok.

Ellenőrizhetjük. Ha t helyére egyet helyettesítünk, akkor: x1 = 1 és x2 = 5 − 4 · 1 = 1. Behelyettesítjük ezeket az értékeket az egyenletbe: 4 · 1 + 1 = 5, az egyenlet teljesül.

Ha t helyére ötöt helyettesítünk, akkor: x1 = 5, x2 = 5 − 4 · 5 = −15. Az egyenletbe behelyettesítve: 4 · 5 − 15 = 5. Teljesül.

Általános és partikuláris megoldás

Az egyenletrendszer paraméterekkel felírt megoldását általános megoldásnak nevezzük. A konkrét megoldást, vagyis amikor a paraméterek helyére konkrét számokat helyettesítünk, partikuláris megoldásnak nevezzük.

Tehát az előző példából: (x1; x2) = (t; 5 − 4t) az egyenletrendszer általános megoldása, az (1; 1) és az (5; −15) pedig partikuláris megoldások.

Ha adott a rendszer A mátrixa és a rendszer kibővített (A|b) mátrixa, és a rangjuk egyenlő, rang(A) = rang(A|b) = k, akkor az általános megoldás kifejezéséhez n − k paraméterre van szükségünk. Figyeld meg, hogy ha n = k, akkor nulla paraméterre van szükségünk. Ez az az eset, amikor az egyenletrendszernek pontosan egy megoldása van – akkor nincs szükség paraméterre.

Példa

Oldd meg a következő lineáris egyenletrendszert:

3x1−2x2+4x3+5x4=15x1−4x2+2x3+10x4=211x1−8x2+10x3+20x4=4

Először kiszámítjuk az A és az (A|b) mátrix rangját. A kibővített mátrixot lépcsős alakra hozzuk, amiből mindkét mátrix rangját megállapíthatjuk. Lássuk az átalakításokat. (Az első sort megszorozzuk kettővel, majd összeadjuk az első és a második sort, és ezt az eredményt kivonjuk a harmadik sorból. Ezután a második sorból kivonjuk az első sort, végül az első sort visszaosztjuk kettővel.)

(A|b)=(3−24515−4210211−810204)∼(6−481025−4210211−810204)∼(6−481025−4210200000)∼(6−48102−10−60000000)∼(3−2451−10−60000000)

Ebből az utolsó mátrixból már látjuk, hogy rang(A) = rang(A|b) = k = 2. Az ismeretlenek száma ugyanakkor n = 4, tehát n − k = 2 paraméterre lesz szükségünk. Az utolsó mátrix alapján felírjuk az egyenleteket:

3x1−2x2+4x3+5x4=1−x1−6x3=0

A második egyenletből azt kapjuk, hogy

−x1−6x3=0−x1=6x3x1=−6x3

Az első paraméter legyen t = x3. Ekkor felírhatjuk, hogy x1 = −6t. Ezt behelyettesíthetjük az első egyenletbe:

3(−6t)−2x2+4t+5x4=1−18t−2x2+4t+5x4=1−14t−2x2+5x4=1−2x2=1+14t−5x4x2=−12−7t+52x4

Bevonjuk a játékba a második paramétert, s = x4. Ekkor felírhatjuk, hogy

x2=−12−7t+52s

Ezzel megkaptuk az egyenletrendszer általános megoldását:

(x1;x2;x3;x4)=(−6t;−12−7t+52s;t;s)

Kipróbálhatunk néhány partikuláris megoldást. Például s = t = 0. Ekkor azt kapjuk, hogy: (x1;x2;x3;x4)=(0;−12;0;0). Az eredeti egyenletekbe behelyettesítve:

3x1−2x2+4x3+5x4=15x1−4x2+2x3+10x4=211x1−8x2+10x3+20x4=4

a következő egyenleteket kapjuk:

0−2⋅(−12)+0+0=10−4⋅(−12)+0+0=20−8⋅(−12)+0+0=4

A nulla elemek elhagyása és a törtek összeszorzása után azt kapjuk, hogy:

1=12=24=4

Próbáljunk ki egy másik partikuláris megoldást: s = 2, t = 1. Ekkor azt kapjuk, hogy:

x1=−6x2=−12−7+5=−52x3=1x4=2

Behelyettesítjük az egyenletekbe:

−18−2(−52)+4+10=1−30−4(−52)+2+20=2−66−8(−52)+10+40=4

Átalakítjuk:

−4+5=1−8+10=2−16+20=4

És végül azt kapjuk, hogy:

1=12=24=4

Úgy tűnik, hogy a kapott általános megoldás helyes.

Fejezetek: Lineáris egyenletrendszerek, Cramer-szabály, Homogén lineáris egyenletrendszerek