Testek

A következő magyarázat megértéséhez nincs szükséged különleges matematikai készségekre vagy tudásra. Elég, ha érted a középiskolai matematika legalapvetőbb részeit, és van kedved valami újat megtanulni.

Az ijesztgető algebrai test

Ha már az algebrai test elnevezés is megrémít, tudd, hogy tényleg nincs mitől félni. Egy ilyen test valójában nagyon egyszerű dolog, ha a megfelelő szemszögből nézzük.

Algebrai testnek nevezünk egy tetszőleges halmazt két kétváltozós művelettel, amelyek bizonyos feltételeket teljesítenek. Ez az egész. Se több, se kevesebb. Mint látod, egyáltalán nem veszélyes vagy félelmetes. Ha ezt tudjuk, már félelem nélkül megnézhetjük közelebbről is.

A test elemeinek halmaza

A tetszőleges halmazunkat jelöljük T-vel, az elemeit pedig nevezzük a test elemeinek. Higgy nekem, barátom, a test elemeinek halmaza teljesen tetszőleges lehet. Lehet az összes páros szám halmaza, az összes olyan zokni halmaza, amelyiknek nincs meg a párja, vagy akár a plüsselefánt-gyűjteményed. Talán az egyetlen feltétel az, hogy a T halmaz nem lehet üres. Különben nem sok örömünk telne benne.

Kétváltozós művelet

Ha nem rögtön világos, hogy mi is az a kétváltozós művelet, képzeld el egy kis darálónak. Beleteszel két (innen a „két” a névben) elemet valamelyik halmazból, finoman megforgatod a forgatókart, és kipottyan belőle egy újabb elem ugyanabból a halmazból. Ilyen szép kétváltozós művelet például az osztás. Kíváncsi vagy, mennyi 10 / 5? Vedd az osztás műveletét (a darálót), ahol a halmazunk a valós számok halmaza. Először öntsd bele a tízest, aztán az ötöst, forgasd meg a kart, és láss csodát, kipottyan a kettes.

A két műveletünket nevezzük összeadásnak és szorzásnak, és jelölésük: ⊕ és ⊗. Ne tévesszen meg a nevük. Az általában használt összeadáshoz és szorzáshoz nem kell sok közük lenni, éppen azért, mert a test elemei bármilyen objektumok lehetnek. A plüsselefántokra vagy a zoknikra a „mi” összeadásunk és szorzásunk nem alkalmazható.

A test műveletei

Az ⊕ és ⊗ műveleteknek teljesíteniük kell bizonyos feltételeket. Nem vezethetjük be őket teljesen szabadon. A műveletek bevezetésének értelme ugyanis a számokra használt közönséges összeadás és szorzás általánosítása. Azt szeretnénk, hogy a műveleteket a test elemeire is használhassuk, amelyek, ahogy már tudjuk, teljesen tetszőleges objektumok lehetnek, nem csak számok. Mégis azt akarjuk, hogy az ⊕ és ⊗ megőrizzen valamit az összeadás és a szorzás alapvető értelméből. Ezt úgy érjük el, hogy bevezetünk tíz feltételt, amelyeket e műveleteknek teljesíteniük kell ahhoz, hogy a struktúránk test legyen. Ezeket a feltételeket a test axiómáinak nevezzük. Íme:

1. Az összeadás kommutativitása – A test bármely két a, b elemére teljesülnie kell: a ⊕ b = b ⊕ a.

• Az összeadás asszociativitása – A test bármely három a, b, c elemére teljesülnie kell: (a ⊕ b) ⊕ c = a ⊕ (b ⊕ c).
• A nullelem létezése – Léteznie kell a testnek egy elemének, jelöljük 0-val (vigyázat, ne keverd össze a 0 számmal), amelyre igaz, hogy a test bármely a elemére a ⊕ 0 = a.
• Az ellentett elem létezése – A test minden a eleméhez léteznie kell a testnek egy elemének, jelöljük -a-val, amelyre igaz, hogy a ⊕ −a = 0.
• A szorzás kommutativitása – A test bármely két a, b elemére teljesülnie kell: a ⊗ b = b ⊗ a.
• A szorzás asszociativitása – A test bármely három a, b, c elemére teljesülnie kell: (a ⊗ b) ⊗ c = a ⊗ (b ⊗ c).
• Az egységelem létezése – Léteznie kell a testnek egy elemének, jelöljük 1-gyel (vigyázat, ne keverd össze az 1 számmal), amelyre igaz, hogy a test bármely a elemére a ⊗ 1 = a.
• Az inverz elem létezése – A test minden 0-tól különböző a eleméhez léteznie kell a testnek egy olyan elemének (jelöljük így: a⁻¹), amelyre igaz, hogy a ⊗ a⁻¹ = 1.
• Disztributivitás – A test bármely három a, b, c elemére teljesülnie kell: a ⊗ ( b ⊕ c ) = ( a ⊗ b) ⊕ (a ⊗ c).
• Nemtrivialitás – A nullelem és az egységelem nem lehet ugyanaz. Vagyis 0 ≠ 1

Annak, aki szeretne gyakorolni a matematikai formalizmust, leírtam a test axiómáit úgy is, ahogyan a matematikai szaknyelven szokás.

1. ∀a,b ∈ T   a ⊕ b = b ⊕ a

• ∀a,b,c ∈ T   (a ⊕ b) ⊕ c = a ⊕ (b ⊕ c)
• ∃0 ∈ T   ∀a ∈ T   a ⊕ 0 = a
• ∀a ∈ T   ∃−a ∈ T   a ⊕ −a = 0
• ∀a,b ∈ T   a ⊗ b = b ⊗ a
• ∀a,b,c ∈ T   (a ⊗ b) ⊗ c = a ⊗ (b ⊗ c)
• ∃1 ∈ T   ∀a ∈ T   a ⊗ 1 = a
• ∀a ∈ T   ∃a⁻¹ ∈ T, a ≠ 0   a ⊗ a⁻¹ = 1
• ∀a,b,c ∈ T   a ⊗ ( b ⊕ c ) = ( a ⊗ b) ⊕ (a ⊗ c)
• 0 ≠ 1

Most talán azt gondolod, hogy rettentően sok az axióma. De mindegyik könnyen érthető, ha belegondolunk, mit jelent. Az első négy az összeadás szokásos tulajdonságait írja le, a következő négy a szorzás szokásos tulajdonságait, amelyek ráadásul nagyon hasonlítanak az első négyhez. A kilencedik axióma azt mondja meg, hogyan függ össze egymással az összeadás és a szorzás. Csak a tizedik inkább technikai jellegű, azt biztosítja, hogy a testnek ne lehessenek valami furcsa tulajdonságai.

Figyeld meg, milyen szépen elkerültük a kivonás és az osztás bevezetését. Ezeket a műveleteket az ellentett elem hozzáadásával és az inverz elemmel való szorzással értelmezzük. Tehát például 4 − 2 csak rövidített írásmódja ennek: 4 + (−2), és 4 / 2 csak rövidített írásmódja ennek: 4 · 2⁻¹.

Testek seregszemléje

Most már formálisan bevezettük az algebrai test fogalmát. Ha intuitíven akarnánk megfogalmazni, hogy mi is az a test, azt mondhatnánk, hogy olyan struktúra, amely lehetővé teszi, hogy összeadjunk, kivonjunk, szorozzunk és osszunk tetszőleges objektumokat, amelyeken ezeket a műveleteket értelmezni tudjuk, mégpedig hasonló módon, ahogyan az elemi aritmetikában végezzük őket.

Az első testünk

Ha már ilyen szépen kitaláltuk és leírtuk a testeket, építsünk is egy igazi testet. Először válasszuk ki a test elemeinek halmazát. Egyelőre nem kísérletezünk túl sokat plüsselefántokkal vagy zoknikkal, a test elemeinek a természetes számokat választjuk. Hogy az egész tényleg egyszerű legyen, csak a 0, 1, 2, 3, 4 számokat vesszük. A T halmazunk tehát így fog kinézni:

$$T=\{0,1,2,3,4\}$$

Most már csak valahogy ügyesen meg kell határoznunk az ⊕ és ⊗ műveleteket. Ehhez az aritmetikából már ismert összeadás és szorzás segít. Egy kicsit azonban módosítjuk őket, hogy a mi testünkben is működjenek.

• Az ⊕ művelet Két elem összegét (a ⊕ b) úgy képezzük, hogy kiszámítjuk az a + b összeg öttel való osztásának maradékát. Az összeadás a mi testünkben tehát így néz ki: 1 ⊕ 1 = 2    1 ⊕ 3 = 4    2 ⊕ 3 = 0    4 ⊕ 2 = 1 és így tovább.
• A ⊗ művelet Két elem szorzatát (a ⊗ b) úgy képezzük, hogy kiszámítjuk az ab szorzat öttel való osztásának maradékát. A szorzás a mi testünkben tehát így néz ki: 1 ⊗ 1 = 1    2 ⊗ 2 = 4    2 ⊗ 3 = 1    4 ⊗ 2 = 3    és így tovább.

Ennyi az egész. Most már van egy teljes értékű testünk. Még le kellene ellenőrizni az összes axióma teljesülését, hogy biztosak lehessünk benne, hogy tényleg testet készítettünk, nem pedig valami torzszülöttet.

• Az összeadás és a szorzás kommutativitását és asszociativitását, valamint a disztributivitást biztosan magad is képes vagy ellenőrizni.
• Abból, ahogyan az összeadást és a szorzást definiáltuk, az is következik, hogy létezik nullelem (esetünkben véletlenül éppen a 0 szám) és egységelem (esetünkben az 1), és ezek különböznek egymástól.
• Most már csak az ellentett és az inverz elem létezését kell ellenőriznünk. Biztosan mindannyian látjuk, hogy a {0, 1, 2, 3, 4} halmaz minden számához létezik ugyanebből a halmazból olyan szám, hogy az összegük nulla vagy öt (vagyis a mi testünkben 0).
• Hasonlóan igaz ez a szorzásra is: ennek a halmaznak minden nullától különböző számához létezik olyan szám, hogy a szorzatuk öttel osztva 1 maradékot ad (vagyis a mi testünkben 1-et). Például a 4 inverz eleme a 4, mert 4 · 4 = 16, és öttel osztva a maradék 1. Próbáld meg megkeresni a többi inverz elemet is!

További példák testekre

Az imént készítettünk egy testet, amelynek öt eleme van. Kiderül, hogy ugyanígy készíthetők más testek is, amelyekben az elemek száma prímszám. Az ilyen testeket maradékosztály-testeknek nevezzük, jelölésük Z_p, ahol p a test elemeinek száma, és nagyon gyakran használjuk őket a matematikában és az informatikában, természetesen a különféle dolgozatfeladatokban is.

Készíthetők-e nem prím elemszámú testek? Igen, de már nem úgy, ahogyan az előbb megmutattam. Miért? Képzelj el egy olyan testet, amelyet a fent leírt módon készítettünk, és csak négy eleme van. Egy ilyen testben 2 ⊗ 2 = 0. Tehát két nullától különböző szám szorzata nulla. Ez egy testben nem fordulhat elő. Bár a test axiómái közvetlenül nem tiltják, elég könnyen levezethető belőlük. Kiderül azonban, hogy ha a test elemei számok helyett polinomok, akkor olyan testek is készíthetők, amelyek elemszáma egy prímszám hatványa. Tehát létezik négyelemű test, mert a négy a kettő hatványa.

Természetesen léteznek végtelen sok elemű testek is. Például a valós számok halmaza a szokásos összeadással és szorzással szintén testet alkot. Ez természetesen nemcsak a valós számokra igaz, hanem a racionális és a komplex számokra is. A természetes számok és az egész számok nem alkotnak testet, mert hiányoznak belőlük az ellentett, illetve az inverz elemek.

És a legjobb a végére. Természetesen senki sem írja elő, hogy a testeket számoknak, polinomoknak vagy egyáltalán valamilyen matematikai objektumoknak kellene alkotniuk. Ahogy már mondtam, készíthetsz zoknikból, plüsselefántokból stb. álló testet. Az egyetlen gond talán az lesz, hogyan definiáljuk az összeadást és a szorzást az elefántokon. Érdekes dolog, hogy soha nem sikerülhet olyan testet készíteni, amelyben hat zokni van. Mert a hat nem prímszám, és nem is prímszám hatványa. De nyugodtan készíthetsz olyan testet, amely tizenhét zoknit számlál, mindegyiket megszámozod (a fehér zokni lesz a 0, a fekete az 1, a zöld a 2 és így tovább), és aztán úgy adod össze őket, ahogyan mi összeadtunk a maradékosztály-testben.

És mire jó ez az egész?

Ha idáig elolvastad, talán azt kérdezed magadban, minek nekünk egy ilyen őrült struktúra, mint az algebrai test. Hát, a testek nagyon fontosak, egyrészt elméleti szempontból, mert leírják és főleg általánosítják azt, amit számolásnak, vagyis aritmetikának lehetne nevezni, másrészt gyakorlati szempontból, mert sok matematikai vagy informatikai probléma könnyebben megoldható, ha úgy képzeljük el, mint számolást testekben. A véges testeknek például nagy jelentősége van a CD- és DVD-lemezek kódjaiban. Ami magát a lineáris algebrát illeti, a testek alapkövei további, bonyolultabb és ezáltal sokkal hasznosabb és érdekesebb struktúráknak, például a vektortereknek. Azok ugyanis a teljes lineáris algebra egyfajta alapját alkotják.

Tetszett ez a cikk? Segített a tanulásban? Vagy éppen kifogásaid vannak ellene, esetleg ötleteid a javítására?

A cikk szerzője: Lishaak.