✖

Természetes számok

A természetes számok a leggyakoribb számok, amelyekkel a mindennapi életben találkozunk. Ezek a nemnegatív egész számok, vagyis a 0, 1, 2, 3, 4, … számok.

Jelölés

A természetes számok halmazt alkotnak, amely a 0, 1, 2, 3, 4, … egész számokat tartalmazza. Ezt a halmazt általában az N betűvel jelöljük, amelynek az első szára kettős: ℕ. Az angol „naturals” szóból ered.

Néha feltételezzük, hogy a természetes számok halmaza nem tartalmazza a nullát. Ha ezt meg kell különböztetnünk, a nullát is tartalmazó halmazra a szokásos ℕ jelölést használjuk, a nulla nélküli halmazt pedig ℕ+ jelöli.

A természetes számokat elsősorban valaminek a mennyiségére („otthon három székünk van”, „a parkban harminc pad van”, …) és a sorrend megadására használjuk („az első ember a Holdon”, „Kanada a világ második legnagyobb országa”, …).

Tulajdonságok

A természetes számoknak van néhány érdekes tulajdonsága:

  1. A természetes számok halmaza végtelen, de megszámlálható, mindet sorozatba rendezhetjük.
  • A természetes számok zártak az összeadásra és a szorzásra. Ez azt jelenti, hogy ha összeadunk vagy összeszorzunk bármely két természetes számot, megint természetes számot kapunk.
  • Nem zártak a kivonásra, mert ha egy nagyobb számot vonunk ki egy kisebbikből, negatív számot kapunk.
  • Hasonlóan nem zártak az osztásra sem, például a 7-nek és a 2-nek a hányadosa, 7/2, nem természetes szám.

Maradékos osztás

Az előző fejezetben megállapítottuk, hogy a természetes számok nem zártak az osztásra. Értelmezhetjük viszont a maradékos osztás műveletét, amelyet biztosan mindenki ismer. Ha a 7-et elosztjuk 2-vel, 3,5-et kapunk. Ha maradékos osztást használunk, az eredmény 3, a maradék pedig 1. Tehát ha összeszorozzuk a 3-at és a 2-t, majd hozzáadjuk a maradékot, visszakapjuk a 7-et: 3 · 2 + 1 = 7.

Ha a nullát nem soroljuk a természetes számok közé (ℕ+), akkor a halmaz nem zárt erre a műveletre, de a nullával együtt (ℕ) már igen. Tehát mind az eredmény, mind a maradék eleme lesz az ℕ halmaznak.

A maradékos osztás definíciója így néz ki:

a=bq+r;a,q,r∈N,b∈N+,r<b

A definícióban a:b osztást végeztünk, az r számot az osztás maradékának, a q számot pedig az osztás eredményének (hányadosának) nevezzük. Mit jelentenek a feltételek? Feltételezzük, hogy a természetes számok között mozgunk, a nullát is beleértve, de mivel nullával nem oszthatunk, a b számot a nulla nélküli halmazból választjuk.

Nézzünk egy példát: a 19 : 5 osztásnál a = 19 és b = 5. A felbontás így nézne ki:

19=5⋅3+4

Tehát q = 3, ez az osztás eredménye, és r = 4, ez a maradék.

Hivatkozások