Relációk

A reláció a hétköznapi „kapcsolat” fogalmának matematikai megfelelője. A mindennapi életben például Mónika kapcsolatban áll Judittal, mégpedig az „anya – lánya” kapcsolatban. Másik ilyen kapcsolat lehet az „állam – az állam fővárosa”. Példaként vehetjük az Egyiptom – Kairó párost.

További példák relációkra

Vegyünk segítségül további példákat. A bevezetőben megemlítettük az „anyja lenni a lányának” és az „egy állam fővárosának lenni” relációkat (kapcsolatokat). Nézzünk meg másikat: „páros számnak lenni”. Ebben a relációban benne vannak a 2, 4, 8, 18, 58, 66 számok és még sok más. Az 1, 3, −7, 19 számok nincsenek a „páros számnak lenni” relációban. A hétköznapi világból vett reláció lehet a „férfinak lenni”. Ádám, Gábor, Lukács vagy Márton benne van a „férfinak lenni” relációban.

Másik példa lehet a „kisebb, mint” reláció. Például a három „kisebb, mint” az öt. Matematikailag ezt így írhatjuk: 3<5. Vagy az egyenlőség relációja: a három „egyenlő” a hárommal, matematikailag: 3 = 3.

Lehetnek bonyolultabb példáink is: „az apa és az anya a gyermek szülei”. Ebben a relációban egy személyhármas lesz: Dániel apa, Mária anya és Katalin, a gyermek. A matematikában háromelemű relációt például így találhatunk ki: az első két szám összege egyenlő a harmadik számmal. Például ezek a számok ebben a sorrendben benne vannak ebben a relációban: 3, 4, 7, mert 3 + 4 = 7. Ezek a számok nincsenek benne a relációban: 3, 5, 12, mert 3 + 5 ≠ 12.

A reláció aritása

Az aritás furcsán hangzó kifejezés, de csak azt fejezi ki, hány elem van a relációban. Az előző példákban különböző számú elemmel dolgoztunk. A „férfinak lenni” relációhoz elég volt egy elem, mondhatjuk: „János férfi”. Elég egy név, egy elem. Az ilyen relációt unárisnak nevezzük.

A következő példában a „kisebb, mint” reláció szerepelt. Az két számmal, két elemmel dolgozott. Azt mondtuk, hogy a három kisebb, mint az öt. Két elemet használtunk, a reláció tehát bináris.

Az utolsó példában összesen három elemet használtunk: két szám összegének kellett egyenlőnek lennie a harmadikkal. Így volt három számunk, a, b, c, és teljesülnie kellett, hogy a + b = c. Ez a reláció ternáris lenne.

Magasabb aritásokra használhatjuk az n-áris reláció jelölést. De használhatjuk alacsonyabb aritásokra is, a bináris relációt felírhatjuk 2-áris relációként is. A reláció elemeit ekkor rendezett n-esekként írjuk fel. Ha bináris relációnk van, párokként írjuk fel őket, általában vagy kerek zárójellel, vagy hegyes zárójellel. Tehát ha azt akarjuk felírni, hogy a három és az öt benne van a „kisebb, mint” relációban, a számokat párként kell felírnunk: (3; 5), illetve [3; 5]. Vigyázat, figyelnünk kell a sorrendre, fordítva nem lenne igaz: (3; 5) ≠ (5; 3) – az öt nem kisebb, mint a három.

Családi példa

Mielőtt belevágunk a matematikai definíciókba, próbáljunk ki még egy tipikus példát egy családdal. Legyenek egy család tagjai a következők:

• Miklós: apai nagyapa;
• József: apa;
• Dorottya: anya;
• Szandra: lány;
• Máté: fiú.

Először keressük meg a család összes olyan tagját, aki megfelel a „férfinak lenni” relációnak. Ez egy 1-áris, vagyis unáris reláció. A relációban tehát mindig csak egy elem lesz, a család egy tagja. Most fel kell sorolnunk a család összes férfitagját. Itt a sorrend nem számít. A „férfinak lenni” reláció tehát a következő elemeket tartalmazza: {(Miklós), (József), (Máté)}. Figyeld meg, hogy bár unáris relációról van szó, kerek zárójelet használtunk. Ez nem feltétlenül szükséges, nélkülük is olvasható lenne a jelölés, de a következetesség kedvéért meghagytam a zárójeleket. A reláció összes elemének együttese pedig egy egyszerű halmaz, ezért a kapcsos zárójelek.

Most keressük meg az „apa – fia” relációt. Ez már első pillantásra bináris reláció, az eredményben rendezett elempárok fognak szerepelni. Az eredményhalmaz így néz ki: {(József; Máté), (Miklós; József)}. József apa a fiának, Máténak az apja, Miklós nagyapa pedig József apa apja. Figyeld meg, hogy valóban számít a sorrend: József kétszer szerepel, de egyszer az első helyen az apa pozíciójában, másodszor a második helyen a fiú pozíciójában.

Próbáljunk ki még egy relációt: „szülő – gyermek”. Itt már több elem lesz, mert az első helyen állhat bármelyik szülő, az apa is, az anya is, a második helyen pedig bármelyik gyermek, a fiú is, a lány is. Azt is figyelembe kell vennünk, hogy Miklós nagyapa József szülője, de Dorottyának már nem szülője. József és Dorottya viszont mindketten szülei Szandrának és Mátének. Szandra és Máté senkinek sem szülei, mert még csak tizenkilenc, illetve tizenhárom évesek. Az eredményben ezek a rendezett párok lesznek: {(Miklós; József), (József; Szandra), (József; Máté), (Dorottya; Szandra), (Dorottya; Máté)}. Figyeld meg, hogy József és Dorottya is kétszer szerepel – egyszer Szandra lány szüleként, másodszor Máté szüleként.

Az utolsó csemege a bináris relációkból. Legyen ez a reláció: „testvér – testvér”. Itt észben kell tartanunk, hogy a relációknál számít a sorrend, tehát ha az eredményben csak azt írnánk, hogy „Szandra – Máté”, az hibás lenne, mert ez egészen más rendezett pár, mint a „Máté – Szandra”. Ezért a helyes eredmény: {(Szandra; Máté), (Máté; Szandra)}.

És még egy rövid példa a ternáris relációra: Írd fel ennek a relációnak az összes rendezett hármasát: „nagyapa – apa – gyermek”. A feladatban csak egy nagyapánk és egy apánk van, de két leszármazottunk. Nem elég csak a Szandrával vagy csak a Mátéval felírni a változatot, mindkettőt fel kell írnunk. Más lenne a helyzet, ha a végén a „gyermek” helyett „fiú” állna. A helyes eredmény: {(Miklós; József; Szandra), (Miklós; József; Máté)}.

Az unáris reláció definíciója

Vizsgáljuk meg a legegyszerűbb relációkat, az unárisakat. Unáris reláción elemek valamilyen halmazát értjük. A {2, 3} halmaz képviselhet valamilyen relációt. Például az „ötnél kisebb prímszámnak lenni” relációt vagy a „hat nemtriviális osztójának lenni” relációt, ez az értelmezésünktől függ.

A figyelmesebb olvasók észrevették, hogy a második reláció kissé furcsán van megadva. Azt mondja, hogy a relációnak a hat nemtriviális osztóit kell tartalmaznia, és az eredményhalmazban a 2 és 3 számok vannak. Nem hiányzik valami? Az 1 és a 6 triviális osztók, azok nem érdekelnek minket. De ott kellene lennie a negatív számoknak is, vagyis a −2-nek és a −3-nak. A 6 összes nemtriviális osztójának halmaza így néz ki: {−3, −2, 2, 3}.

Hasonlóan ahhoz, ahogyan a függvényeknél megadjuk az értelmezési tartományt, a relációnál alaphalmazt adunk meg – azt a halmazt, amelyből a reláció elemeit választjuk. Az előző példákban például a családot adtuk meg, amelyben Miklós nagyapa stb. szerepelt. Nem a világ összes családjából választottuk az apákat és a gyerekeket. Ha alaphalmaznak a természetes számok halmazát adjuk meg, akkor a relációnk rendben lesz.

Most már belefoghatunk a reláció definíciójába. Ha az alaphalmazunk a természetes számok halmaza, milyen elemeket tartalmazhat az unáris relációnk? Megint csak természetes számokat. Vagy az összeset, vagy csak egy részüket. Mondhatjuk tehát, hogy az adott reláció a természetes számok halmazának részhalmaza. Általánosabban, ha van egy R unáris relációnk és egy M alaphalmazunk, akkor érvényes, hogy R ⊆ M, vagyis az R reláció az M halmaz részhalmaza.

A bináris reláció definíciója

Hogyan néz ki ez a bináris relációnál? A bináris relációnál az R reláció elemei rendezett párok. A pár minden eleme származhat más halmazból. Lehet például „szülő – gyermekek száma” relációnk. A szülőt az emberek halmazából választjuk, mondjuk Európában, a gyermekek számát pedig a természetes számok halmazából.

Hogyan kapjuk meg két halmazból az összes lehetséges pár halmazát? A Descartes-szorzattal. Ha adottak az A = {a, b, c}, B = {1, 2} halmazok, akkor a Descartes-szorzattal ezt kapjuk:

$$A\times B=\{(a;1),(a;2),(b;1),(b;2),(c;1),(c;2)\}$$

Ez az összes lehetséges pár halmaza, amelyet úgy kaphatunk, hogy az első helyen az A halmaz egy eleme, a második helyen a B halmaz egy eleme áll. Tehát ha van egy R bináris relációnk az A és B halmazok között, akkor ezt a relációt definiálhatjuk úgy, hogy R ⊆ A × B.

Ha megtartanánk az előző A és B halmazokat, és az R relációt köztük így definiálnánk: „betű – a betű helye az ábécében”, akkor ez a reláció így nézne ki: R = {(a; 1), (b; 2)}. A c betű már nem lesz benne, mert az A × B Descartes-szorzatban nincs benne a (c; 3) pár.

Az n-áris reláció definíciója

Végül definiáljuk az általános n-áris R relációt az M₁, M₂, …, M_n halmazok között:

$$R\subseteq M_1\times M_2\times \dots \times M_n$$

A reláció tehát rendezett n-esek halmazának részhalmaza. A bináris reláció példája lehet a „kisebb, mint” reláció, vagyis a <. Ezt definiálhatjuk valamilyen számhalmazok között, például a pozitív egész számok között. Ekkor a reláció így néz ki:

$$<\subseteq {\mathbb{N}}^{+}\times {\mathbb{N}}^{+}$$

(Ne ijedj meg attól, hogy a < jel ilyen furcsán áll a bal oldalon. Ez csak a reláció neve. Lehetne ott megint R, ahol az R a „kisebb, mint” relációt jelölné.)

Konkrétan a reláció így nézne ki:

$$\begin{array}{rcl}<=& & (1;2),(1;3),(1;4),(1;5),\dots \\ & & (2;3),(2;4),(2;5),(2;6),\dots \\ & & (3;4),(3;5),(3;6),(3;7),\dots \\ & & (4;5),(4;6),(4;7),(4;8),\dots \\ & & \dots \\ & & \end{array}$$

Ez olyan rendezett párok halmaza, amelyekben az első helyen álló pozitív egész szám kisebb, mint a második helyen álló pozitív egész szám.

A relációk jelölése

A relációkat általában R, S stb. nagybetűkkel nevezzük el, vagy a megszokott jelekkel: <, ⊆, = stb. Az előző definíciókból látszik, hogy a reláció valójában halmaz. Elvégre a matematikában szinte minden halmaz :-). Ezért ha azt akarjuk mondani, hogy az r elem az R relációhoz tartozik, felírhatjuk így: r ∈ R.

Például felírhatjuk, hogy (1; 3) ∈ <, és ez azt jelenti, hogy az egyből és a háromból álló számpár beletartozik a „kisebb, mint” relációba. A bináris relációknál gyakran találkozunk kényelmesebb jelöléssel, amelyet már az általános iskolából ismersz. Ahelyett, hogy az ∈ elemséget kifejező jelet használnánk, egyszerűen azt írjuk, hogy 1 < 3. Hasonlóan általában nem azt írjuk, hogy (5; 5) ∈ =, hanem azt, hogy 5 = 5.