Vektorterek

A vektortér, más néven lineáris tér, olyan elemek halmaza, amelyeknek teljesíteniük kell bizonyos tulajdonságokat, aminek köszönhetően a halmaz elemei, amelyeket vektoroknak nevezünk, „szépen” viselkednek.

Példa vektortérre

Mielőtt definiálnánk a vektorteret, mutatunk egy példát, amelyet már a középiskolából ismerned kellene, csak azt nem tudod, hogy ez vektortér. Ezek a síkbeli, megszokott vektorok.

Síkbeli vektoron egy (a; b) rendezett számpárt értünk, ahol a, b ∈ ℝ. Ezek az ℝ² tér tetszőleges koordinátái (ez az ℝ × ℝ Descartes-szorzatot jelenti). Egy ilyen vektort ábrázolhatunk nyílként, amely a (0; 0) pontból az (a; b) pontba mutat. A (2; 3) vektor így nézne ki:

Tudjuk, hogy a vektorokat az (a; b) + (c; d) = (a + c; b + d) szabály szerint adhatjuk össze. A (2; 3) + (4; 1) vektorok összege a (2 + 4; 3 + 1) = (6; 4) vektor lenne. Grafikusan így ábrázolnánk:

Ugyanakkor kiszámíthatjuk egy vektor k-szorosát is, ahol k egy valós szám. A k-szorost így írjuk: k · (a; b). Az eredmény egy új vektor, amelyet így definiálunk: k · (a; b) = (k · a; k · b). Grafikusan ez úgy jelenik meg, hogy a vektor „megnyúlik”, „megrövidül”, vagy irányt vált. Ha adott az u = (2; 3) vektor, akkor a 2 · u, $\frac{1}{2}u$ és −1 · u vektorok így néznek ki:

Hogy az összes ℝ²-beli vektor halmaza az így definiált műveletekkel vektorteret alkot, azt később bizonyítjuk be. Először definiáljuk a vektorteret, és ezen az ℝ² vektortéren megmutatjuk az egyes tulajdonságokat.

A vektortér definíciója

A vektortér (más néven lineáris tér) egy nem üres V halmaz, amelynek elemeit vektoroknak nevezzük. A halmazon ezenkívül két műveletnek kell léteznie: a vektorok összeadásának, vagyis a V × V ⟶ V leképezésnek, és a vektor valós számmal való szorzásának, vagyis az ℝ × V ⟶ V leképezésnek. (Általánosabban a valós számok halmaza helyett használhatunk bármilyen testet, de erről a későbbi cikkekben lesz szó.) A vektorok összeadását a + jellel, a szorzást a · jellel jelöljük. Ennek a két műveletnek teljesítenie kell a következő feltételeket. Vagyis minden x, y, z ∈ V vektorra és minden a, b ∈ ℝ számra teljesülnie kell (vedd észre, hogy az x, y, z vektorok vastagon vannak szedve, az a, b számok pedig normál betűvel):

1. x + y = y + x: a vektorok összeadása kommutatív. Ha visszatérünk az ℝ²-beli vektorok példájához, akkor mindegy, hogy a vektorokat így adjuk össze: (2; 3) + (4; 1), vagy fordítva: (4; 1) + (2; 3).

• (x + y) + z = x + (y + z): a vektorok összeadása asszociatív. Itt is behelyettesíthetünk néhány vektort az ℝ²-ből, és látni fogjuk, hogy kijön.
• a · (b · x) = (a · b) · x: a szorzás asszociatív törvénye. A mi vektorainkra igaz, hogy a 4 · (5 · (6; 7)) ugyanaz, mint a (4 · 5) · (6; 7). Mindkét példa a (20 · 6; 20 · 7) vektorhoz vezet.
• a · (x + y) = a · x + a · y: disztributív törvény a V-beli vektorokra. Ismét látjuk, hogy a 2 · ((2; 3) + (4; 5)) ugyanaz, mint a 2 · (2; 3) + 2 · (4; 5). Mindkét kifejezés a (2 · 6; 2 · 8) vektorhoz vezet.
• (a + b) · x = a · x + b · x: a számok összeadásának disztributivitása.
• 1 · x = x: ha egy tetszőleges vektort megszorzunk az 1 valós számmal, a vektor értéke nem változik. Esetünkben igaz, hogy 1 · (5; 8) = (5; 8).
• Létezik olyan 0 ∈ V elem, hogy 0 · x = 0. A vastag nulla, vagyis a 0, az ún. nullvektor, a nem vastag 0 pedig egyszerűen a nulla szám. Ez a pont azt mondja, hogy V-ben léteznie kell olyan vektornak, amelyet úgy kapunk, hogy egy tetszőleges x ∈ V vektort megszorzunk a nullával. Az ℝ² terünkben ez a (0; 0) vektor, mert minden (a; b) ∈ ℝ² vektorra igaz, hogy 0 · (a; b) = (0; 0).

Ez az összes tulajdonság, amelyet egy V vektortérnek (lineáris térnek) teljesítenie kell. Ha egy vektort valamilyen a valós számmal szorzunk, akkor ezt az a számot skalárnak nevezzük. Gyakran beszélünk ezért skalárral való szorzásról, és ezen az a · x alakú kifejezést értjük, ahol a valós szám és x vektor.

A plusz jel + kettős jelentése

Vigyázz, mert egyes kifejezésekben a plusz jel + kettős jelentésű lehet. Például a számok összeadásának disztributivitásánál ez az egyenletünk: (a + b) · x = a · x + b · x. Az egyenlet bal oldalán a + jel valós számokat ad össze, mert a és b is valós szám, a jobb oldalon viszont vektorokat, mert az a · x szorzat eredménye vektor.

Ez az automatikus felismerés a matematikában gyakori – a szövegkörnyezetből mindig kiderül, melyik összeadásról van szó. Ha az x + y kifejezésben x, y vektorok, vektorösszeadást használunk. Ha x, y számok lennének, a szokásos összeadást használnánk. Ha mátrixok lennének, mátrixösszeadást használnánk, és így tovább.

A vektorok összeadására használhatnánk másik jelet is, például a ⊕ jelet. Ekkor a számok összeadásának disztributivitását így írhatnánk: (a + b) · x = a · x ⊕ b · x. A hagyományos + itt az a, b valós számok összeadását jelöli, a ⊕ jel pedig a vektorok összeadását. Többnyire azonban az összeadás mindkét változatára ugyanazt a + jelet használjuk, és a jelentése a szövegkörnyezetből derül ki. Ugyanez igaz a · jelre is.

Az R² vektortér

Az első részben definiáltuk a V = ℝ² vektorteret, most bebizonyítjuk, hogy valóban vektortérről van szó. Először azt kell ellenőriznünk, hogy az összeadás és a szorzás műveletét jól definiáltuk-e. Az összeadásnak két vektort kell összeadnia, és az eredménynek új vektornak kell lennie. Ez teljesül, mert (a; b) + (c; d) = (a + c; b + d). Két ℝ²-beli vektor összegeként új ℝ²-beli vektor keletkezik.

Ha például a vektorok összeadását a nagyságuk összegeként definiálnánk, az nem lenne érvényes összeadási művelet egy vektortérben. Az (a; b) vektor nagyságát $\sqrt{a^2+b^2}$-ként számítanánk ki. A (3; 4) + (5; 12) összeg eredménye így a $\sqrt{3^2+4^2}+\sqrt{5^2+{12}^2}=5+13=18$ szám lenne, ami nem vektora az ℝ² térnek.

Ezután azt kell ellenőriznünk, hogy a szorzást jól definiáltuk-e. A szorzás egy valós számot szoroz meg egy ℝ²-beli vektorral, és az eredménynek új ℝ²-beli vektornak kell lennie. Ez ismét teljesül, mert a skalárral való szorzást a k · (a; b) = (k · a; k · b) módon definiáltuk.

Sorban ellenőrizzük mind a 7 tulajdonságot, amelyet a vektortérnek teljesítenie kell. Az egyes x, y vektorok helyére a saját (a; b), (c; d), … vektorainkat helyettesítjük, ahogy éppen jól jön, ettől ne ijedj meg.

1. x + y = y + x, a vektorok összeadásának kommutativitása. Az általunk definiált vektorösszeadás kommutatív? Igen, az, mert így definiáltuk: (a; b) + (c; d) = (a + c; b + d). Ha a bal oldalon felcseréljük a vektorokat, ezt kapjuk: (c; d) + (a; b) = (c + a; d + b). Mivel c + a két valós szám összege, a valós számok összeadása pedig kommutatív művelet, igaz, hogy c + a = a + c, és ugyanez a második párra: d + b = b + d. Tehát igaz, hogy (a + c; b + d) = (c + a; d + b).

• (x + y) + z = x + (y + z). Ez egy kis játék lesz a zárójelekkel. Lényegében egyszerű átalakításokról van szó, csak áttekinthetetlenek lesznek, mert egyszerűen túl sok zárójel lesz bennük. Próbáljuk meg kiszámítani a vektorok ezen összegét:

$$((a;b)+(c;d))+(e;f)=(a+c;b+d)+(e;f)=((a+c)+e;(b+d)+f)$$

Mivel a, c, e valós számok, az összeadás pedig asszociatív a valós számokon, igaz, hogy (a + c) + e = a + c + e. Ugyanez a második koordinátára. Felírhatjuk tehát, hogy

$$((a;b)+(c;d))+(e;f)=(a+c+e;b+d+f)$$

Most ugyanezeket a vektorokat adjuk össze másképp elhelyezett zárójelekkel:

$$(a;b)+((c;d)+(e;f))=(a;b)+(c+e;d+f)=(a+(c+e);b+(d+f))$$

Ismét igaz, hogy a + (c + e) = a + c + e, ezért felírhatjuk, hogy

$$(a;b)+((c;d)+(e;f))=(a+c+e;b+d+f)$$

Látjuk tehát, hogy akárhogyan zárójelezzük három vektor összegét, mindig ugyanahhoz az (a + c + e; b + d + f) vektorhoz jutunk. Az ℝ²-beli összeadás tehát asszociatív, és teljesíti a vektorterek második tulajdonságát is.

Megpróbálhatod az a, …, f változók helyére konkrét számokat írni, és látni fogod, hogy kijön.

• a · (b · x) = (a · b) · x. Ismét előbb kifejtjük az egyenlet bal oldalát, az x helyére a (c; d) vektort helyettesítve:

$$a\cdot (b\cdot (c;d))=a\cdot (b\cdot c;b\cdot d)=(a\cdot (b\cdot c);a\cdot (b\cdot d))$$

Mivel a valós számok szorzása asszociatív, kapjuk az a · (b · c) = a · b · c egyenlőséget. Felírhatjuk tehát:

$$a\cdot (b\cdot (c;d))=(a\cdot b\cdot c;a\cdot b\cdot d)$$

Most fejtsük ki az egyenlet jobb oldalát, vagyis az (a · b) · x oldalt:

$$(a\cdot b)\cdot (c;d)=((a\cdot b)\cdot c;(a\cdot b)\cdot d)$$

Ismét igaz, hogy (a · b) · c = a · b · c, tehát:

$$(a\cdot b)\cdot (c;d)=(a\cdot b\cdot c;a\cdot b\cdot d)$$

Látjuk, hogy az egyenlet mindkét oldala ugyanahhoz az (a · b · c; a · b · d) vektorhoz vezet, tehát az egyenlet igaz.

• a · (x + y) = a · x + a · y. Az eljárás ugyanaz lesz, kifejtjük az egyenlet bal oldalát:

$$a\cdot ((c;d)+(e;f))=a\cdot \left((c+e;d+f)\right)=(a\cdot (c+e);a\cdot (d+f))$$

Mivel a, c, e valós számok, amelyekre a disztributív törvény igaz, kapjuk az a · (c + e) = ac + ae egyenlőséget. Felírhatjuk tehát:

$$a\cdot ((c;d)+(e;f))=(ac+ae;ad+af)$$

Az egyenlet jobb oldala:

$$a\cdot (c;d)+a\cdot (e;f)=(ac;ad)+(ae;af)=(ac+ae;ad+af)$$

Látjuk, hogy az átalakítások után az egyenlet bal és jobb oldala egyenlő.

• (a + b) · x = a · x + b · x: Nagyon hasonlóan járunk el, mint az előző lépésben. Az egyenlet bal oldalának átalakítása:

$$(a+b)\cdot (c;d)=((a+b)\cdot c;(a+b)\cdot d)=(ac+bc;ad+bd)$$

A jobb oldal:

$$a\cdot (c;d)+b\cdot (c;d)=(ac;ad)+(bc;bd)=(ac+bc;ad+bd)$$

• 1 · x = x: Bár nem hiszem, hogy bárki idáig eljutott az olvasásban, mindegy, megyünk tovább :-). Ez a pont legalább egyszerű. Ellenőriznünk kell, hogy 1 · (a; b) = (a; b). Ez biztosan igaz, mert

$$1\cdot (a;b)=(1\cdot a;1\cdot b)=(a;b)$$

• Létezik olyan 0 ∈ ℝ² elem, hogy 0 · x = 0: ez a (0; 0) vektor. Rá igaz, hogy 0 · (a; b) = (0; 0), mert

$$0\cdot (a;b)=(0\cdot a;0\cdot b)=(0;0)$$

A vektorterek mérete

Mi a legkisebb vektortér? A definícióból tudjuk, hogy a vektortér nem üres V halmaz, a legkisebb elképzelhető méret tehát az egyetlen vektorból álló halmaz. A definíció hetedik pontjából tudjuk, hogy a térnek tartalmaznia kell a nullvektort. A V = {0} halmaz tehát a legkisebb vektortér jelöltje.

Az összeadást definiálhatjuk úgy, hogy 0 + 0 = 0, a szorzást pedig úgy, hogy a · 0 = 0. Akármit csinálunk, mindig a nullvektort kapjuk. Ez az egyelemű halmaz nyilvánvalóan teljesíti mind a hét előírt tulajdonságot.

Már tudjuk, hogy létezik egyelemű vektortér. Létezik-e olyan vektortér, amelynek két eleme van? Definiálhatunk-e a V = {x, 0} halmazon összeadást és szorzást úgy, hogy vektortér legyen belőle?

A válasz az, hogy nem, kételemű vektortér nem létezik. És a már említett egyelemű vektortéren kívül nincs más véges vektortér sem. Az összes többi vektortér végtelen. Ha viszont, ahogy jeleztük, a valós számok halmaza helyett valamilyen másik, véges testet használnánk, más véges vektorteret is kaphatnánk.

Összefoglalás

A vektorterek definíciója nem egészen egyszerű, a vektoroknak és a műveleteknek összesen 7 feltételt kell teljesíteniük, ami nem kevés. Másrészt viszont ezek a feltételek eléggé triviálisak és érthetők – arra irányulnak, hogy a vektorokkal jól lehessen dolgozni. A definiált feltételeknek köszönhetően a vektortér vektorait úgy adhatjuk össze, hogy nem kell ellenőriznünk, hogy az összeadás eredménye nem valamilyen másik vektortér vektora-e. Ugyanígy megszorozhatunk egy vektort valós számmal, és mindig ugyanabból a térből kapunk vektort. Az is eléggé természetes, hogy a vektorok és műveleteik betartják a kommutatív, az asszociatív és a disztributív törvényt.

A vektorteret általánosabban is definiálhatnánk. A valós számok halmaza helyett vehetünk bármilyen testet. Erről azonban a későbbi cikkekben lesz szó.