Inverz mátrix

Az inverz mátrix a négyzetes reguláris mátrixokon értelmezett mátrix. Ha egy mátrixot és az inverzét összeszorozzuk, egységmátrixot kapunk.

Definíció

Inverz mátrixot csak négyzetes mátrixhoz lehet számítani, téglalap alakú mátrixon az inverz mátrix nincs értelmezve. Az A mátrix inverze (jelölése A⁻¹) továbbá csak akkor létezik, ha a mátrix reguláris (nincsenek lineárisan összefüggő sorai). Ez a mátrix ekkor egyértelműen meghatározott. Az inverz mátrix két fő tulajdonsága:

$$(A^{-1}{)}^{-1}=A$$

És a legfontosabb tulajdonság (amely egyben az inverz mátrix definíciója is):

$$A\cdot A^{-1}=E$$

E az egységmátrix.

Hogyan számítjuk ki az inverz mátrixot

És most az inverz mátrix kiszámításának módszeréről. A legegyszerűbb algoritmus a Gauss-elimináció, amely abból áll, hogy az A mátrixot egységmátrix alakra hozod, mellé felírsz egy egységmátrixot, és ezen a mátrixon ugyanazokat az átalakításokat végzed, mint az A mátrixon. A számítás végén bal oldalon az egységmátrixra átalakított A mátrix, jobb oldalon pedig az inverz mátrix áll. Próbáljuk ki egy egyszerű példán:

$$\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)$$

Futó pillantásra látjuk, hogy a mátrix reguláris, tehát van értelme inverz mátrixot számolni. Az inverz mátrix számításakor ezt általában így írjuk fel:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 0\\ 3& 4& 0& 1\end{array}\right)$$

Most a bal oldali mátrixot egységmátrixra alakítjuk, és ugyanezeket az átalakításokat végezzük a jobb oldali mátrixon. Hozzáadjuk az első sor −3-szorosát a másodikhoz. Először a bal oldali mátrix:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 0\\ 0& -2& 0& 1\end{array}\right)$$

Most hozzáadjuk a jobb oldali mátrix első sorának −3-szorosát a jobb oldali mátrix második sorához:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 0\\ 0& -2& -3& 1\end{array}\right)$$

Most nullát kell kapnunk az a₁₂ helyén. Elég, ha az első sorhoz hozzáadjuk a második sort. Most már mindkét átalakítást egy lépésben végzem el:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 0& -2& 1\\ 0& -2& -3& 1\end{array}\right)$$

És most megszabadulunk a mínusz kettestől úgy, hogy az egész sort elosztjuk mínusz kettővel:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 0& -2& 1\\ 0& 1& \frac{3}{2}& -\frac{1}{2}\end{array}\right)$$

Az eredményül kapott inverz mátrix:

$$\left(\begin{array}{cc}-2& 1\\ \frac{3}{2}& -\frac{1}{2}\end{array}\right)$$

Ha ellenőrizni szeretnéd, hogy a kiszámított inverz mátrix helyes-e, szorozd meg az eredeti mátrixszal:

$$\left(\begin{array}{cc}-2& 1\\ \frac{3}{2}& -\frac{1}{2}\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$$

Ellenőrzésként megnézheted a WolframAlpha oldalán.

Kiszámítás determinánssal

Az inverz mátrixot determinánssal is kiszámíthatjuk. Ha adott az A reguláris mátrix, akkor az A⁻¹ inverz mátrix $a_{ij}^{-1}$ elemei:

$$a_{ij}^{-1}=\frac{(-1{)}^{i+j}\cdot \left|A_{j,i}\right|}{\left|A\right|}$$

A bal oldalon i,j áll, a számlálóban viszont j,i, erre figyelj, nem hiba, hogy fel van cserélve. A számlálóban az A_j,i mátrix áll, ez az A mátrix részmátrixa, amelyet úgy kapunk, hogy az A mátrixból elhagyjuk a j-edik sort és az i-edik oszlopot. Tehát ha

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\end{array}\right),$$

akkor:

$$A_{1,1}=\left(\begin{array}{ccc}\text{⧸}1& \text{⧸}2& \text{⧸}3\\ \text{⧸}4& 5& 6\\ \text{⧸}7& 8& 9\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}5& 6\\ 8& 9\end{array}\right),A_{1,3}=\left(\begin{array}{cc}4& 5\\ 7& 8\end{array}\right),A_{2,2}=\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 7& 9\end{array}\right)$$

Ha nem tetszik, hogy az indexek fordítva vannak, felírhatjuk így is:

$$(a_{ij}^{-1}{)}^T=\frac{(-1{)}^{i+j}\cdot \left|A_{i,j}\right|}{\left|A\right|}$$

Vagyis ha nem cseréled fel az indexeket, a transzponált inverz mátrixot számítod ki. Ha ezt a transzponált mátrixot újra transzponálod, megkapod az inverz mátrixot.

Ezzel a módszerrel számolni általában hosszadalmas, főleg gépi feldolgozásra alkalmas, mert nagyon egyszerű a menete. A példában csak két számot próbálunk kiszámítani. Legyen tehát ez a mátrix:

$$A=\left(\begin{array}{ccc}3& -4& 5\\ 2& -3& 1\\ 3& -5& -1\end{array}\right)$$

Először kiszámítjuk ennek az egész mátrixnak a determinánsát, ezt használjuk a tört nevezőjében:

$$det(A)=-1$$

Most kiszámítjuk az inverz mátrix első elemét. Jelöljük így: $a_{11}^{-1}$. Ez egyenlő lesz:

$$a_{11}^{-1}=\frac{(-1{)}^{1+1}\cdot \left|A_{1,1}\right|}{\left|A\right|}$$

Szükségünk lesz az A_1,1 részmátrixra. Az első sor és az első oszlop elhagyásával kapjuk:

$$A_{1,1}=\left(\begin{array}{cc}-3& 1\\ -5& -1\end{array}\right)$$

Most ennek a mátrixnak kell kiszámítanunk a determinánsát:

$$det(A_{1,1})=8$$

És most már behelyettesíthetünk a képletbe:

$$a_{11}^{-1}=\frac{(-1{)}^2\cdot 8}{-1}=\frac{1\cdot 8}{-1}=-8$$

És megvan az inverz mátrix első eredménye.

$$A^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}-8& ?& ?\\ ?& ?& ?\\ ?& ?& ?\end{array}\right)$$

A második számot így kapjuk:

$$a_{12}^{-1}=\frac{(-1{)}^{1+2}\cdot \left|A_{2,1}\right|}{\left|A\right|}$$

A részmátrix determinánsa:

$$det(A_{2,1})=\left|\begin{array}{cc}-4& 5\\ -5& -1\end{array}\right|=29$$

Az egészet behelyettesítve:

$$a_{12}^{-1}=\frac{(-1{)}^3\cdot 29}{-1}=\frac{-1\cdot 29}{-1}=\frac{-29}{-1}=29$$

Újabb darab a kirakósból:

$$A^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}-8& 29& ?\\ ?& ?& ?\\ ?& ?& ?\end{array}\right)$$

És így tovább, és így tovább.