Mátrixok

A P test fölötti mátrix egy {1, 2, …, n} × {1, 2, …, m} → P leképezés. A mátrixot általában nagybetűvel jelöljük: A = (…). És most magyarul.

Alapfogalmak

A mátrix tulajdonképpen egy n oszlopból és m sorból álló táblázat, bár az oszlopok és sorok jelölése nem mindig ugyanaz, erre figyelj. A táblázat minden cellájában valamilyen szám vagy más kifejezés áll. A mátrix nem feltétlenül csak számokból áll, bár az elején valószínűleg nem fogsz más mátrixokkal találkozni. Íme, hogyan nézhet ki egy mátrix:

$A = (\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 5 \\ 8 & 5 & 51 \end{array})$

Ennek a mátrixnak két sora és három oszlopa van. A mátrix elemeit indexekkel jelöljük, és nagy betű helyett kisbetűt használunk: a₁₁ = 0 vagy a₂₃ = 51. Az első index a sort, a második az oszlopot adja meg.

Különleges mátrixtípusok

A mátrixoknak különféle tulajdonságaik lehetnek, és néhány speciális mátrixnak saját neve is van.

Négyzetes mátrix az a mátrix, amelynek ugyanannyi sora van, mint oszlopa. Ha a mátrix nem négyzetes, akkor téglalap alakú. Példa négyzetes mátrixra:

$A = (\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 5 \\ 8 & 5 & 23 \\ 47 & 154 & 2 \end{array})$

Nullmátrix az a mátrix, amelynek minden helyén nulla áll. a_ij = 0.

$A = (\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array})$

Egységmátrix az a négyzetes mátrix, amelynek a főátlójában egyesek, mindenhol máshol nullák állnak. A főátló valamiféle „átló” balról jobbra. Egyszerűen azok a számok, amelyek abban a pozícióban vannak, ahol i = j.

$A = (\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array})$

Lépcsős mátrix az a mátrix, amelynek a nullsorai a végén vannak (vagy egyáltalán nincs nullsora), és minden nem nulla sor elején több nulla áll, mint az előző sor elején. Ezek mind lépcsős mátrixok:

$A_{1} = (\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & π \\ 0 & 0 & 1 \end{array}), A_{2} = (\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}), A_{3} = (\begin{array}{ccccc} 1 & 1 & 1 & 1 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 5 \end{array})$

Az A mátrix transzponált mátrixa az az A^T mátrix, amelyre $a_{i j} = a_{j i}^{T}$ , azaz az az elem, amely az i-edik sor j-edik oszlopában volt, a transzponált mátrixban a j-edik sorban és az i-edik oszlopban lesz. Egyszerűen felcseréled a mátrix sorait az oszlopaival.

$\begin{array}{rcl} {(\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 5 \\ 8 & 5 & 23 \\ 47 & 154 & 2 \end{array})}^{T} & = & (\begin{array}{ccc} 0 & 8 & 47 \\ 1 & 5 & 154 \\ 5 & 23 & 2 \end{array}) \\ {(\begin{array}{ccc} 3 & 4 & 5 \\ 6 & 7 & 8 \end{array})}^{T} & = & (\begin{array}{cc} 3 & 6 \\ 4 & 7 \\ 5 & 8 \end{array}) \end{array}$

Szimmetrikus mátrix az az A négyzetes mátrix, amelyre teljesül az A = A^T egyenlőség. Az átlóra szimmetrikusan elhelyezkedő elemek megegyeznek. Azt írhatjuk tehát, hogy a_ij = a_ji.

$A = (\begin{array}{ccc} 9 & 3 & 4 \\ 3 & 7 & 0 \\ 4 & 0 & 2 \end{array})$

Antiszimmetrikus mátrix majdnem ugyanaz, mint a szimmetrikus mátrix, csak a másik oldalon lévő elemek ellentétes előjelűek: A = −A^T. Emiatt a főátló elemeinek nullának kell lenniük, mert a = −a = 0.

$A = (\begin{array}{ccc} 0 & - 3 & - 4 \\ 3 & 0 & 5 \\ 4 & - 5 & 0 \end{array})$

Diagonális mátrix az a mátrix, amelyben a főátlón kívül mindenhol nulla áll. Pontosabban: mindenhol máshol nullának kell lennie, a főátlóban álló elemekről nincs megszabva semmi.

$A_{1} = (\begin{array}{ccc} 9 & 0 & 0 \\ 0 & 7 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{array}), A_{2} = (\begin{array}{ccc} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array})$

Alapműveletek mátrixokkal

Mátrixokat összeadhatunk, megszorozhatunk valamilyen számmal, és egymással is összeszorozhatjuk őket.

A mátrixok összeadása meglehetősen kézenfekvő. Ha a mátrixok azonos típusúak (= ugyanannyi oszlopuk és soruk van), az eredménymátrix azonos pozícióiban az előző mátrixok megfelelő pozícióiban álló számok összege lesz. Vagyis ha az A + B = C mátrixokat adjuk össze, akkor a_ij + b_ij = c_ij.

$(\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 5 \\ 8 & 5 & 23 \\ 47 & 154 & 2 \end{array}) + (\begin{array}{ccc} 5 & 4 & 3 \\ 10 & 20 & 30 \\ 7 & - 54 & - 12 \end{array}) = (\begin{array}{ccc} 5 & 5 & 8 \\ 18 & 25 & 53 \\ 54 & 100 & - 10 \end{array})$

A mátrixok összeadása nyilvánvalóan kommutatív és asszociatív. A + B = B + A és A + (B + C) = (A + B) + C.

A mátrix számmal való szorzása szintén kézenfekvő. Veszed a számot, és megszorzod vele a mátrix minden elemét, semmi több. k · A = k · a_ij.

$5 \cdot (\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 5 \\ 8 & 5 & 23 \\ 47 & 154 & 2 \end{array}) = (\begin{array}{ccc} 0 & 5 & 25 \\ 40 & 25 & 115 \\ 235 & 770 & 10 \end{array})$

Mátrixok szorzása

A mátrixok szorzása már egy kicsit nehezebb dolog, mert nem olyan kézenfekvő, mint amilyenre az ember számítana. Nem elég a megfelelő elemeket összeszorozni. Először is teljesülnie kell annak a feltételnek, hogy az első mátrix oszlopainak száma megegyezik a második mátrix sorainak számával. A többi tetszőleges lehet. Most már definiálhatjuk a szorzatot (n az első mátrix oszlopainak száma):

$(A \cdot B)_{i j} = \sum_{p = 1}^{n} a_{i p} \cdot b_{p j}$

Ettől nem lettél okosabb, igaz? Most megpróbálom megvilágítani azoknak is, akiknek lassabb a felfogásuk :-). Veszed az első mátrix első sorát és a második mátrix első oszlopát. Összeszorzod az első elemet az első elemmel, ehhez hozzáadod a második elem és a második elem szorzatát, és így tovább. Így megkapod az új C mátrix c₁₁ elemét. A legjobb lesz egy példa. Szorozzuk össze ezt a két mátrixot:

$A = (\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}), B = (\begin{array}{cc} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{array})$

Most válasszuk ki az első mátrix első sorát és a második mátrix első oszlopát:

$A = (\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}), B = (\begin{array}{cc} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{array})$

Az áttekinthetőség kedvéért az újonnan keletkező mátrixot jelöljük C-vel. Ha ennek a mátrixnak az első elemét akarjuk megkapni, ezt kell kiszámítanunk: c₁₁ = a₁₁ · b₁₁ + a₁₂ · b₂₁. Felhívom a figyelmet, hogy az index első helyén a sor áll, utána az oszlop. Behelyettesítés után: 1 · 5 + 2 · 7 = 19. Az első elem értéke 19:

$C = (\begin{array}{cc} 19 & ? \\ ? & ? \end{array})$

A következő c₁₂ elemet ugyanígy kapjuk, csak az első sort és a második oszlopot vesszük. Ezzel a hosszadalmas számítással mindig azt az elemet kapjuk meg, amely közös bennük. Az első sornak és az első oszlopnak a c₁₁ koordinátájú elem a közös eleme, az első sornak és a második oszlopnak pedig a c₁₂. Ezt szépen mutatja a következő ábra:

Mátrixok szorzata

Most már csak gyorsan kiszámolom a mátrix többi részét:

$\begin{array}{rcl} c_{12} & = & a_{11} \cdot b_{12} + a_{12} \cdot b_{22} = 1 \cdot 6 + 2 \cdot 8 = 22. \\ c_{21} & = & a_{21} \cdot b_{11} + a_{22} \cdot b_{21} = 3 \cdot 5 + 4 \cdot 7 = 43. \\ c_{22} & = & a_{21} \cdot b_{12} + a_{22} \cdot b_{22} = 3 \cdot 6 + 4 \cdot 8 = 50. \end{array}$

Ezeket a számokat már csak beírjuk a mátrixba:

$C = (\begin{array}{cc} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{array})$

Az eredmény helyességét ellenőrizhetjük például Excelben vagy az OpenOffice Calcban, amelyekben vannak mátrixokkal dolgozó függvények.

Most néhány általános tudnivaló a mátrixok szorzásáról. Mindenekelőtt a mátrixok szorzása nem kommutatív. Általában nem igaz, hogy A · B = B · A, bár persze előfordulhat ilyen eset. A mátrixok szorzása viszont asszociatív. Az összeadásra nézve még disztributív is: A (B + C) = AB + AC. Ha két mátrixot szorzunk, a_ix · b_xn, akkor az eredménymátrix i × n típusú lesz (annyi sora lesz, ahány sora az első mátrixnak van, és annyi oszlopa, ahány oszlopa a második mátrixnak van).

Példák

Adott ez a három mátrix:

$A = (\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}), B = (\begin{array}{ccc} 4 & 2 & 8 \\ 10 & 12 & 4 \\ 4 & 5 & 9 \end{array}), C = (\begin{array}{cc} 8 & 9 \\ - 5 & 4 \\ 10 & - 1 \end{array}) .$

Számítsd ki az A · B mátrixszorzatot.

$(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}) \cdot (\begin{array}{ccc} 4 & 2 & 8 \\ 10 & 12 & 4 \\ 4 & 5 & 9 \end{array}) = (\begin{array}{ccc} 36 & 41 & 43 \\ 90 & 98 & 106 \\ 144 & 155 & 169 \end{array})$

Számítsd ki a B · A mátrixszorzatot.

Figyelj arra, hogy a mátrixok szorzása nem kommutatív, ezért biztosan nem állíthatjuk, hogy az eredmény ugyanaz lesz, mint az előző esetben. Az egészet egyszerűen újra ki kell számolnunk:

$(\begin{array}{ccc} 4 & 2 & 8 \\ 10 & 12 & 4 \\ 4 & 5 & 9 \end{array}) \cdot (\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}) = (\begin{array}{ccc} 68 & 82 & 96 \\ 86 & 112 & 138 \\ 87 & 105 & 123 \end{array})$

Számítsd ki az A · C és a C · B mátrixszorzatot.

$(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}) \cdot (\begin{array}{cc} 8 & 9 \\ - 5 & 4 \\ 10 & - 1 \end{array}) = (\begin{array}{cc} 28 & 14 \\ 67 & 50 \\ 106 & 86 \end{array})$

A második példát nem tudjuk kiszámítani, mert az első mátrix oszlopainak száma különbözik a második mátrix sorainak számától.

Elemi mátrixátalakítások

Ahhoz, hogy hatékonyan dolgozhassunk a mátrixokkal, meg kell határoznunk néhány elemi mátrixátalakítást. Először is megszorozhatjuk a mátrix egy sorát/oszlopát valamilyen nullától különböző számmal. A szorzás ugyanúgy hat, mint a mátrix k-szorosa, csak éppen az adott sorban/oszlopban.

A második átalakítás az, hogy az i-edik sorhoz hozzáadjuk a j-edik sor k-szorosát. Ugyanez oszlopokra is. Kicsit ijesztően hangzik, de valójában egyszerű. Mutassuk meg k = 1 esetén. Legyen ez a mátrix:

$(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array})$

Most az első sorhoz hozzáadjuk a második sort. Vesszük tehát a második sort, és az egyező pozíciókban álló számokat hozzáadjuk az első sor számaihoz. A második sor számaival semmi sem történik, csak az első sor változik meg:

$(\begin{array}{ccc} 5 & 7 & 9 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array})$

Most folytathatjuk az átalakításokat. Próbáljuk meg hozzáadni az első sor kétszeresét a harmadik sorhoz. Az újonnan keletkezett mátrixból vesszük az első sort, megszorozzuk kettővel, így megkapjuk a (10; 14; 18) sort, és ezeket a számokat hozzáadjuk a harmadik sorhoz. Ismét – az első sor nem változik, csak a harmadik sor:

$(\begin{array}{ccc} 5 & 7 & 9 \\ 4 & 5 & 6 \\ 17 & 22 & 27 \end{array})$

Most a harmadik sorhoz hozzáadjuk az első és a második sor összegét. Ez lényegében nem újdonság, mert ha a harmadik sorhoz először hozzáadjuk a második sort, majd az elsőt, ugyanarra az eredményre kell jutnunk. Az első és a második sor összege: (5; 7; 9) + (4; 5; 6) = (9; 12; 15). Ennek a sornak és a harmadik sornak az összege pedig: (9; 12; 15) + (17; 22; 27) = (26; 34; 42).

$(\begin{array}{ccc} 5 & 7 & 9 \\ 4 & 5 & 6 \\ 26 & 34 & 42 \end{array})$

És még egy oszlopátalakítás (ezeket általában nem használjuk olyan gyakran, mert kevésbé áttekinthetők). Az első oszlopot hozzáadjuk a második oszlophoz:

$(\begin{array}{ccc} 5 & 12 & 9 \\ 4 & 9 & 6 \\ 26 & 60 & 42 \end{array})$

És legvégül a második sort megszorozzuk kettővel:

$(\begin{array}{ccc} 5 & 12 & 9 \\ 8 & 18 & 12 \\ 26 & 60 & 42 \end{array})$

Lineáris összefüggőség

Most még elmagyarázzuk, mik azok az összefüggő sorok/oszlopok. Egy sor lineárisan összefüggő, ha ez a sor kifejezhető a mátrix többi sorának lineáris kombinációjaként. Egyszerűen: ha a sorokat tudod úgy különbözőképpen összeadni, hogy végül kijöjjön a keresett sor, akkor ez a sor lineárisan összefüggő. Példa:

$(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 6 & 9 & 12 \end{array})$

Ha az első sor kétszeresét és a második sort vesszük, megkapjuk a harmadik sort. Ha a harmadik sorból kivonjuk ezt a kombinációt, nullsort kapunk (olyan sort, amely csupa nullát tartalmaz). Ez a sor tehát összefüggő. Az átalakításokat így végezzük (az első sort megszorozzuk kettővel, hozzáadjuk a második sorhoz, kivonjuk a harmadik sorból):

$(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 6 & 9 & 12 \end{array}) \sim (\begin{matrix} 2 & 4 & 6 \\ 4 & 5 & 6 \\ 6 & 9 & 12 \end{matrix}) \sim (\begin{matrix} 2 & 4 & 6 \\ 6 & 9 & 12 \\ 6 & 9 & 12 \end{matrix}) \sim (\begin{matrix} 2 & 4 & 6 \\ 6 & 9 & 12 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix})$

Ha van egy A mátrixunk, amelynek n sora van, és A_i jelöli az i-edik sort, akkor azt mondjuk, hogy a mátrix nem tartalmaz lineárisan összefüggő sort, ha:

$α_{1} A_{1} + α_{2} A_{2} + \dots + α_{n} A_{n} = 0$

akkor és csak akkor, ha α₁, α₂, …, α_n = 0. Az egyenlet jobb oldalán álló nulla a nullsort jelenti. Vagyis ha ennek az egyenletnek az egyetlen megoldása a csupa nulla megoldás. Ha találunk más megoldást, akkor a mátrix tartalmaz lineárisan összefüggő sort. Az oszlopokra hasonlóan. Az előző mátrixra ez teljesülne:

$\begin{array}{rcl} 2 (\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \end{array}) + 1 (\begin{array}{c} 4 & 5 & 6 \end{array}) - 1 (\begin{array}{c} 6 & 9 & 12 \end{array}) = \\ = (\begin{array}{c} 6 & 9 & 12 \end{array}) - (\begin{array}{c} 6 & 9 & 12 \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \end{array}) \end{array}$

Az alfa értékei tehát α₁ = 2, α₂ = 1, α₃ = −1.

A független sorok vagy oszlopok számát a mátrix rangja adja meg.

Reguláris és szinguláris mátrixok

Egy mátrixot regulárisnak nevezünk, ha maximális a rangja (azaz ha nincs benne lineárisan összefüggő sor), és ha négyzetes mátrix. Egy négyzetes mátrixot szingulárisnak nevezünk, ha nem reguláris (azaz ha a mátrix tartalmaz legalább egy lineárisan összefüggő sort). Ez a két fogalom elég fontos, illetve gyakran rájuk épülnek más definíciók. Sok minden csak akkor van definiálva, ha a mátrix reguláris.

Kapcsolódó cikkek

« Előző: Hálók

Következő: Mátrix rangja »