✖

Mátrix rangja

A mátrix rangja az a szám, amely a mátrix független sorainak vagy oszlopainak számát adja meg.

Definíció

A mátrix rangja a lineárisan független sorok/oszlopok maximális száma a mátrixban. A nullmátrix rangja nulla, minden más mátrix rangja legalább egy. Az m × n típusú mátrix rangja legfeljebb min(m, n) lehet. Tehát ha a mátrixnak kevesebb sora van, mint oszlopa, akkor a mátrix rangja legfeljebb a sorok számával egyenlő. Hasonlóan az oszlopokra.

A mátrix rangját általában a „rang” szóval jelöljük (angolul „rank”). Ekkor így írjuk: rang(A) = x.

Hogyan számítjuk ki a rangot

Lássuk, hogyan számítjuk ki a mátrix rangját. Elég egyszerű. A mátrixot olyan alakra kell hozni, amelyről már jól látszik, mely sorok lineárisan függetlenek. Ezt leggyakrabban úgy végezzük, hogy a mátrixot lépcsős alakra hozzuk (az átló alatt csupa nulla), és onnantól már látszik, hogyan áll a mátrix. Rajta, gyorsan egy példa – adott ez a mátrix:

(12111−1133)

És meg kell határoznunk a rangját. Most észre kell vennünk egy apróságot. Ha van két sorunk, amelyekben csupa nullától különböző szám áll, elvileg lehetnek lineárisan összefüggők. Ezt ki kellene számolnunk. Ha viszont az egyik sor valamelyik helyén nulla áll, a másik sor ugyanazon a helyén pedig nem, biztosan állíthatjuk, hogy nem összefüggők. Nem találunk ugyanis olyan számot, amellyel a nullát (és vele az egész sort) megszorozva ott ugyanazt a számot kapnánk, mint ami a másik sorban áll. Ezért mindig arra törekszünk, hogy a mátrixot lépcsős alakra hozzuk, hogy megkapjuk azokat a nullákat.

Az előző bekezdést így is leírhatjuk. Ha α1, α2 ≠ 0, akkor:

α1(123)+α2(023)≠(0ab)

Ezért igyekszünk a mátrixot hasonló alakra hozni, hogy könnyen lássuk az összefüggéseket. Nézd meg ezt a példát:

(4−51072003)

Ez egy lépcsős alakú mátrix, egyik sora sem lineárisan összefüggő. Az első két sorból nem tudod kifejezni a harmadikat, mert ha nem nulla alfa együtthatóid vannak, az első helyeken mindig marad valamilyen nem nulla szám.

Az eljárás általában ilyen: először nullákat állítunk elő az első oszlopban (az első sor kivételével). Majd az átalakításokat folytatjuk úgy, hogy a második oszlopban kapjunk nullákat, aztán a harmadikban és így tovább, és így tovább, míg végül lépcsős alakot kapunk. Megszámoljuk a nem nulla sorokat, és íme, megvan a mátrix rangja. A mátrix rangjának megváltoztatása nélkül ezeket az átalakításokat használhatjuk:

  • Két tetszőleges sor felcserélése.
  • Egy sor megszorzása tetszőleges nem nulla kifejezéssel.
  • Egy sor hozzáadása egy másikhoz.
  • Az összes előző átalakítás oszlopokra is alkalmazható.

Példa

Az előző mátrixunkban az átalakításokat így végezzük: megnézzük, milyen a kapcsolat az a11 és a21 elemek között. Látjuk, hogy megegyeznek, tehát hogy az a21 helyén nullát kapjunk, hozzá kell adnunk az első sor −1-szeresét. Adjuk hozzá az első sor −1-szeresét a második sorhoz (vagyis vonjuk ki a második sorból az elsőt):

(1210−1−2133)

Most ott van a nulla, ahol szerettük volna. Még nullát kell kapnunk az a31 helyén. Ott megint egyes áll, tehát egyszerűen kivonjuk az első sort:

(1210−1−2012)

Az első oszlopban már megvannak a nullák, így nekilátunk a második oszlopnak. Látjuk, hogy az a22 és a32 számok egymás ellentettjei, tehát elég összeadni a sorokat:

(1210−1−2000)

És kaptunk egy nullsort. Az átalakítások készen vannak, lépcsős alakra jutottunk. Most már csak összeszámoljuk a nem nulla sorokat, és megvan a rang. Ez rang(A) = 2. Ennek a mátrixnak a rangja tehát kettő.

Második példa

Most próbáljuk meg kiszámítani egy kicsit nagyobb mátrix rangját:

(7251135−74−5102810−9)

A mátrix rangja a lineárisan független sorok maximális száma, ezért megengedhetjük magunknak, hogy a mátrix sorait tetszés szerint összekeverjük. Itt például jó lenne, ha a legfelső sor elején egyes állna, hogy könnyebben számoljunk. Nyugodtan felcserélhetjük tehát az első és a második sort:

(135−772514−5102810−9)

Most ugyanúgy járunk el, mint az előző példában. Az első oszlopban csupa nullának kell lennie (az első sor kivételével), ezért a második sorhoz hozzáadjuk az első sor −7-szeresét, a harmadikhoz a −4-szeresét, az utolsóhoz pedig a −2-szeresét. Az első sor változatlan marad:

(135−70−19−30500−17−19280205)

Megint felcseréljük a sorokat, most az utolsó sort kell a második helyére hoznunk a második helyen álló kettes miatt. Cseréljük fel a második és a negyedik sort:

(135−702050−17−19280−19−3050)

De látjuk, hogy a kettes alatt a −17 és −19 számok állnak. Egyik sem osztható kettővel, ami kényelmetlen, sőt kifejezetten kellemetlen. Ezért most a harmadik és a negyedik sort megszorozzuk kettővel:

(135−702050−34−38560−38−60100)

Most folytathatjuk az átalakításokat, hogy kinullázzuk a második oszlopot. A harmadik sorhoz hozzáadjuk a második sor 17-szeresét, a negyedikhez pedig a 19-szeresét:

(135−7020500−3814100−60195)

Nos, most elég – a további átalakításhoz – kényelmetlen számokat kaptunk, de valahogy megbirkózunk velük. Elosztjuk a harmadik sort −38-cal:

(135−70205001−141/3800−60195)

Most pedig megszorozzuk a harmadik sort 60-nal, és hozzáadjuk a negyedik sorhoz:

(135−70205001−141/38000195−60⋅14138)∼(135−70205001−141/38000−52519)

Bár nem szép, de nem nulla számot kaptunk. A mátrix rangja tehát négy, nem tartalmaz lineárisan összefüggő sort.

Példa paraméterrel

Mekkora az A mátrix rangja a q paraméter függvényében?

A=(1817q58413)

Ez egy kicsit bonyolultabb feladat, mert szerepel benne a q paraméter. Meg kell állapítanunk, hogy a q mely értékeinél maximális a mátrix rangja, ha egyáltalán, és mely értékeinél kisebb. Szokásosan járunk el, csak néha konkrét értékek helyett az elvont q-val számolunk. Első lépésben a q paramétert valamilyen szebb helyre visszük, konkrétan egészen jobbra lent. Felcseréljük tehát a második sort a harmadikkal, majd az első oszlopot az utolsóval:

(1817q58413)∼(1817413q58)∼(178131485q)

Most a paramétert olyan helyre vittük, ahol nem fog sokat zavarni. Az első oszlopban viszont elég kényelmetlen számok vannak, de pont középen van egy egyes: áthelyezzük balra fel, vagyis felcseréljük az első és második sort, valamint az első és második oszlopot:

(178131485q)∼(314178185q)∼(134817158q)

Ebből most már szép mátrix lett. Megszorozzuk az első sort −8-cal, és hozzáadjuk a második sorhoz:

(134817158q)∼(1340−7−3158q)

Megszorozzuk az első sort −5-tel, és hozzáadjuk a harmadik sorhoz:

(1340−7−3158q)∼(1340−7−310−7q−20)

Rendben, az első oszlop olyan, amilyennek kell. Most hozzáadjuk a második sor −1-szeresét a harmadik sorhoz:

(1340−7−310−7q−20)∼(1340−7−3100q+11)

És ezzel végeztünk a mátrix átalakításaival. Látjuk, hogy az első és a második sor biztosan lineárisan független. A harmadik sor viszont lehet lineárisan összefüggő. A sor akkor lesz lineárisan összefüggő, ha csupa nulla, vagyis ha a q paramétert úgy választjuk meg, hogy a q + 11 kifejezés nulla legyen. Nyilván ha q = −11, akkor a sor nullsor, és így lineárisan összefüggő.

Végső ítélet tehát: q = −11 esetén a mátrix rangja kettő, különben három.