Ítéletlogika

Az ítéletlogika (matematikai logika) a matematika egyik kifejezőeszköze, amellyel különböző elnevezésekkel és a legkülönfélébb matematikai tételekben találkozhatsz.

Mire jó a logika

A logika olyan tudomány, amely a következtetéssel, az igazsággal, a bizonyíthatósággal és a megcáfolhatósággal foglalkozik. Mindeközben a logikát csak a közlés formája érdekli, az nem, hogy konkrétan mit közlünk, ahogy a különféle pszichológiai értelmezések és hasonló dolgok sem.

Ha például van egy mondatunk: „a 2 szám páros, és egyben páratlan is”, arra a következtetésre juthatunk, hogy az egész mondat nem igaz, mert a 2 nem páratlan. Az ilyen dolgokat vizsgálja általában a logika.

Állítás

Az ítéletlogika alapja természetesen az állítás. Állítás minden olyan kijelentő mondat, amelynek meg tudjuk határozni a logikai értékét. Példák egyszerű állításokra:

• Budapest Magyarország fővárosa.
• Az öt páratlan szám.
• A HTML programozási nyelv.
• Kettő meg három az hat.

Ezek mind állítások. Akár igazak (az első kettő), akár hamisak (az utolsó kettő). Nem állítás például a kérdő mondat, vagy az a mondat, amelynek a logikai értékét nem tudjuk egyértelműen megállapítani. Megint példák:

• Jövőre is Budapest lesz Magyarország fővárosa?
• A zöld a legszebb szín.

Az első mondat nem lehet állítás, mert kérdő mondat, a másodikról pedig nem tudjuk eldönteni, hogy igaz vagy hamis állítás. Az ilyen mondatot hipotézisnek (feltevésnek) nevezzük.

A klasszikus matematikai logika nem boldogul jól az olyan homályos mondatokkal, mint „Pista magas” vagy „Mari jó énekesnő”. Az ilyen állításokat jobban lehet kezelni például a fuzzy logikában, amelyet éppen a homályosságra találtak ki.

Atomi állítás

Az első fejezetben szerepelt az „a 2 szám páros, és egyben páratlan is” állítás. Az ilyen állítást összetettnek nevezhetjük, mert valójában két rövidebb állítást köt össze: „a 2 szám páros” és „a 2 szám páratlan”. Ezt a két állítást az „és” vagy másképp az „és egyben” logikai összekötő köti össze.

Az atomi állítás tehát olyan állítás, amelyet már nem tudunk tovább bontani, bizonyos értelemben a legegyszerűbb kijelentés. A korábbi példák valójában atomi állítások voltak:

• Budapest Magyarország fővárosa.
• Az öt páratlan szám.
• A HTML programozási nyelv.
• Kettő meg három az hat.

Az atomi állításokat a továbbiakban az ábécé kisbetűivel jelöljük, klasszikusan p, q, r, …, és ítéletváltozóknak nevezzük őket.

Logikai összekötők

A matematikai logika általában a logikai összekötők egy meghatározott készletével dolgozik. Az alapvetők közé négy kétváltozós összekötő tartozik:

• p ∧ q az állítások konjunkciója, olvasd: „a p állítás és (egyben) a q állítás”
• p ∨ q az állítások diszjunkciója, olvasd: „a p állítás vagy a q állítás”
• p ⇒ q az implikáció, olvasd: „ha a p állítás, akkor a q állítás”
• p ⇔ q az ekvivalencia, olvasd: „a p állítás akkor és csak akkor, ha a q állítás”

Konkrét példák logikai összekötőkre:

• Szeged belvárosában esik az eső, és egyben süt a nap. (konjunkció)
• Szeged belvárosában esik az eső, vagy süt a nap. (diszjunkció)
• A pizza a legfinomabb étel, és a foci a legjobb sport. (konjunkció)
• Ha beveszel egy hashajtót, akkor hamarosan rohansz a vé… (implikáció)
• Ha az x szám osztható néggyel, akkor osztható kettővel is. (implikáció)
• Ági szép és egyben okos is. (konjunkció)
• Az énekesnők akkor és csak akkor sikeresek, ha szépek. (ekvivalencia)
• Ha nem fog esni, nem ázunk meg. (implikáció)
• Ha Pista tud énekelni, akkor én vagyok a kínai császár. (implikáció)

Ismerünk még egy gyakori logikai összekötőt: a negációt. A negációt jelölhetjük vesszővel p′ vagy a ¬p szimbólummal.

Formula

Az ítéletváltozókból (atomi állításokból) és a logikai összekötőkből összetettebb állítást állíthatunk össze, amelyet formulának nevezünk. Az előző mondatlista minden példája valójában formula volt, mert két atomi formulánk volt, például „Szeged belvárosában esik az eső” és „süt a nap”, és ezeket logikai összekötőkkel kapcsoltuk össze. Az első esetben az „és egyben” összekötővel kötöttük össze őket, és megkaptuk a „Szeged belvárosában esik az eső, és egyben süt a nap” formulát, a másodikban a „vagy”-ot használtuk, és megkaptuk a „Szeged belvárosában esik az eső, vagy süt a nap” formulát.

Formálisan a formulát így definiáljuk:

• Minden ítéletváltozó (atomi állítás) formula (pontosabban atomi formula).
• Ha A és B is formula, akkor ¬A, (A ∧ B), (A ∨ B), (A ⇒ B), (A ⇔ B) is formula.

A definíciónak van értelme: az első pontban azt mondjuk, hogy minden atomi állítás egyben formula is. Tehát ha van két atomi állításunk, például „Szeged belvárosában esik az eső” és „süt a nap”, akkor egyben két formulánk is van. Ekkor alkalmazhatjuk a második pontot, és összetettebb formulákat állíthatunk össze, például így:

• Szeged belvárosában esik az eső, és egyben süt a nap.
• Szeged belvárosában esik az eső, vagy süt a nap.
• Ha Szeged belvárosában süt a nap, akkor esik az eső.
• Szeged belvárosában akkor és csak akkor süt a nap, ha esik az eső.

A formulák természetesen nem feltétlenül igazak. Ezzel újabb formulákat kaptunk, így még összetettebb formulákat is összeállíthatunk. Jelöljük A-val azt, hogy „Szeged belvárosában süt a nap, vagy esik az eső.” (már tudjuk, hogy ez formula), B-vel pedig azt, hogy „látszik a szivárvány” (tegyük fel, hogy szintén Szeged belvárosában, hogy ne kelljen mindig megismételni). Ekkor további formulákat hozhatunk létre. A mondatokban a zárójelek csak azt jelzik, hogy az összekötő mely részekre vonatkozik.

• A ∧ B: (Szeged belvárosában süt a nap, vagy esik az eső), és egyben (látszik a szivárvány).
• A ∨ B: (Szeged belvárosában süt a nap, vagy esik az eső), vagy (látszik a szivárvány).
• A ⇒ B: (Ha Szeged belvárosában süt a nap, vagy esik az eső), akkor (látszik a szivárvány).
• A ⇔ B: (Szeged belvárosában süt a nap, vagy esik az eső) akkor és csak akkor, ha (látszik a szivárvány).

Ezek mind formulák. Tehát ismét vehetjük ezek egyikét, és kapcsolhatunk hozzá egy másik formulát. Így létrehozhatjuk például a következő szörnyszülöttet: „Ha Szeged belvárosában süt a nap, vagy esik az eső, vagy látszik a szivárvány, akkor a nap süt, vagy esik az eső akkor és csak akkor, ha látszik a szivárvány.”

A következő részben a formulák igazságértékét vizsgáljuk.