Pascal-háromszög

A Pascal-háromszög számokból áll, és érvényes rá, hogy a két másik szám alatt álló szám egyenlő azok összegével. Szerkesszünk meg egy ilyen Pascal-háromszöget, aztán megmutatjuk, mi mindenre jó.

Hogyan szerkesszük meg a Pascal-háromszöget

A háromszög szélére csupa egyest írunk, a belsejét egyelőre kérdőjelekkel töltjük ki:

$$\begin{array}{cccccccccccccc}& & & & & & & 1& & & & & & \\ & & & & & & 1& & 1& & & & & \\ & & & & & 1& & ?& & 1& & & & \\ & & & & 1& & ?& & ?& & 1& & & \\ & & & 1& & ?& & ?& & ?& & 1& & \end{array}$$

Most kiszámoljuk az első kérdőjelet – összeadjuk a fölötte álló két számot, így 1 + 1 = 2-t kapunk:

$$\begin{array}{cccccccccccccc}& & & & & & & 1& & & & & & \\ & & & & & & \boxed{\text{1}}& & \boxed{\text{1}}& & & & & \\ & & & & & 1& & 2& & 1& & & & \\ & & & & 1& & ?& & ?& & 1& & & \\ & & & 1& & ?& & ?& & ?& & 1& & \end{array}$$

Hasonlóan számoljuk ki a következő sor kérdőjeleit. Először 1 + 2 = 3-at kapunk:

$$\begin{array}{cccccccccccccc}& & & & & & & 1& & & & & & \\ & & & & & & 1& & 1& & & & & \\ & & & & & \boxed{\text{1}}& & \boxed{\text{2}}& & 1& & & & \\ & & & & 1& & 3& & ?& & 1& & & \\ & & & 1& & ?& & ?& & ?& & 1& & \end{array}$$

Aztán 2 + 1 = 3-at kapunk:

$$\begin{array}{cccccccccccccc}& & & & & & & 1& & & & & & \\ & & & & & & 1& & 1& & & & & \\ & & & & & 1& & \boxed{\text{2}}& & \boxed{\text{1}}& & & & \\ & & & & 1& & 3& & 3& & 1& & & \\ & & & 1& & ?& & ?& & ?& & 1& & \end{array}$$

Így haladunk tovább, és minden újabb sorral a Pascal-háromszög egy újabb részét kapjuk:

$$\begin{array}{}& & & & & & & 1& & & & & & \\ & & & & & & 1& & 1& & & & & \\ & & & & & 1& & 2& & 1& & & & \\ & & & & 1& & 3& & 3& & 1& & & \\ & & & 1& & 4& & 6& & 4& & 1& & \\ & & 1& & 5& & 10& & 10& & 5& & 1& \\ & 1& & 6& & 15& & 20& & 15& & 6& & 1\end{array}$$

A Pascal-háromszög természetesen végtelen, mindig készíthetünk újabb és újabb sorokat. Mindig igaz azonban, hogy a szélén egyesek állnak, a háromszög belsejében pedig olyan számok, amelyek a fölöttük álló számok összegeként keletkeztek. Például az utolsó sorban álló 15 a fölötte álló 5 és 10 összegeként keletkezett.

A Pascal-háromszög alapvető tulajdonságai

Az első alapvető tulajdonságot már említettük: a háromszög szélén mindig egyesek állnak:

$$\begin{array}{}& & & & & & & \boxed{\text{1}}& & & & & & \\ & & & & & & \boxed{\text{1}}& & \boxed{\text{1}}& & & & & \\ & & & & & \boxed{\text{1}}& & 2& & \boxed{\text{1}}& & & & \\ & & & & \boxed{\text{1}}& & 3& & 3& & \boxed{\text{1}}& & & \\ & & & \boxed{\text{1}}& & 4& & 6& & 4& & \boxed{\text{1}}& & \\ & & \boxed{\text{1}}& & 5& & 10& & 10& & 5& & \boxed{\text{1}}& \\ & \boxed{\text{1}}& & 6& & 15& & 20& & 15& & 6& & \boxed{\text{1}}& \end{array}$$

A „második átlóban” mindig az összes pozitív egész szám áll:

$$\begin{array}{}& & & & & & & 1& & & & & & \\ & & & & & & 1& & \boxed{\text{1}}& & & & & \\ & & & & & 1& & \boxed{\text{2}}& & 1& & & & \\ & & & & 1& & \boxed{\text{3}}& & 3& & 1& & & \\ & & & 1& & \boxed{\text{4}}& & 6& & 4& & 1& & \\ & & 1& & \boxed{\text{5}}& & 10& & 10& & 5& & 1& \\ & 1& & \boxed{\text{6}}& & 15& & 20& & 15& & 6& & 1\end{array}$$

Észrevetted egyébként, hogy a Pascal-háromszög szimmetrikus? Minden sor ugyanaz, akár balról jobbra, akár jobbról balra olvasod.

Háromszögszámok

A harmadik „átlóban” pedig az 1, 3, 6, 10, 15… számok állnak:

$$\begin{array}{}& & & & & & & 1& & & & & & \\ & & & & & & 1& & 1& & & & & \\ & & & & & 1& & 2& & \boxed{\text{1}}& & & & \\ & & & & 1& & 3& & \boxed{\text{3}}& & 1& & & \\ & & & 1& & 4& & \boxed{\text{6}}& & 4& & 1& & \\ & & 1& & 5& & \boxed{\text{10}}& & 10& & 5& & 1& \\ & 1& & 6& & \boxed{\text{15}}& & 20& & 15& & 6& & 1\end{array}$$

Mi érdekes bennük? Ezeket a számokat háromszögszámoknak nevezzük. Képzeld el, hogy van néhány köröd, és háromszög alakba szeretnéd rakni őket. Hány körre lenne szükséged? Nézd meg az alábbi ábrát:

Látjuk, hogy az 1 oldalú háromszöghöz pontosan egy körre van szükségünk. A kettő hosszú oldalhoz három kör kell, a három hosszúhoz hat kör, a négy hosszúhoz pedig tíz kör. A szükséges körök száma mindig valamilyen háromszögszám, amelyet megtalálunk a Pascal-háromszögben.

Sorösszegek

Mi lenne, ha megpróbálnánk összeadni a Pascal-háromszög minden sorát?

$$\begin{array}{}& & & & & & & 1& & & & & & & =1\\ & & & & & & 1& & 1& & & & & & =2\\ & & & & & 1& & 2& & 1& & & & & =4\\ & & & & 1& & 3& & 3& & 1& & & & =8\\ & & & 1& & 4& & 6& & 4& & 1& & & =16\\ & & 1& & 5& & 10& & 10& & 5& & 1& & =32\\ & 1& & 6& & 15& & 20& & 15& & 6& & 1& =64\end{array}$$

Látjuk, hogy minden sor összege kétszer akkora, mint az előző sor összege. Az összegek tehát a kettő valamilyen hatványával egyenlők. Ha a legfelső sort nulladik sorként jelöljük, felírhatjuk, hogy a Pascal-háromszög n-edik sorának összege 2ⁿ.

Prímszámok

Jelöljük a háromszög legfelső sorát nulladik sorként. Ekkor igaz, hogy ha kiválasztunk egy n-edik sort, ahol n prímszám, akkor e sor összes száma (a szélén álló egyesek kivételével) osztható az n számmal.

Példaként vegyük az n = 5 esetet. Az öt prímszám. Az ötödik sor pedig így néz ki:

$$\begin{array}{}& & & & & & & 1& & & & & & \\ & & & & & & 1& & 1& & & & & \\ & & & & & 1& & 2& & 1& & & & \\ & & & & 1& & 3& & 3& & 1& & & \\ & & & 1& & 4& & 6& & 4& & 1& & \\ & & 1& & \boxed{\text{5}}& & \boxed{\text{10}}& & \boxed{\text{10}}& & \boxed{\text{5}}& & 1& \\ & 1& & 6& & 15& & 20& & 15& & 6& & 1\end{array}$$

A kiemelt számok mindegyike osztható öttel.

Binomiális tétel

Biztosan ismered az (a + b)² vagy az (a + b)³ kiszámításának képletét:

$$\begin{array}{rcl}(a+b{)}^2& =& a^2+2ab+b^2\\ (a+b{)}^3& =& a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3\end{array}$$

Észrevehetjük, hogy az egyes kifejezések együtthatói megfelelnek a Pascal-háromszög számainak. Nézzük meg például az

$$a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3$$

kifejezést. Először az a³ és a b³ kifejezések mellé odaírjuk az egyessel való szorzást, hogy szembetűnőbb legyen:

$$1a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+1b^3$$

Ekkor látjuk, hogy a kifejezéseket szorzó együtthatók megegyeznek a Pascal-háromszög harmadik sorával (ha a legfelső sort nulladiknak számítjuk):

$$\boxed{\text{1}}{a}^3+\boxed{\text{3}}{a}^{2}b+\boxed{\text{3}}a{b}^2+\boxed{\text{1}}{b}^3$$

Ezzel a jelenséggel azonban a binomiális tételről szóló külön cikk foglalkozik.