Satslogik

Satslogik (matematisk logik) är ett uttryckssätt i matematiken som du möter i olika terminologi och i alla möjliga matematiska satser.

Vad logik är bra för

Logik är den vetenskap som handlar om slutledning, sanning, bevisbarhet och motbevisbarhet. I logiken bryr vi oss bara om själva formen på det som sägs, inte om vad som konkret sägs, och inte heller om olika psykologiska tolkningar och liknande.

Om vi till exempel har meningen ”talet 2 är jämnt och samtidigt udda”, kan vi dra slutsatsen att hela meningen är falsk, eftersom talet 2 inte är udda. Sådant är det som logiken i allmänhet sysslar med.

Utsaga

Grunden i satslogiken är förstås utsagan. En utsaga är varje påståendesats där vi kan avgöra sanningsvärdet. Exempel på enkla utsagor:

• Stockholm är Sveriges huvudstad.
• Det naturliga talet fem är ett udda tal.
• HTML är ett programmeringsspråk.
• Två plus tre är sex.

Allt detta är utsagor. Det spelar ingen roll om de är sanna (de två första) eller falska (de två sista). En frågesats är inte en utsaga, och inte heller en mening där vi inte entydigt kan avgöra sanningsvärdet. Här är ett exempel till:

• Kommer Stockholm att vara Sveriges största stad även nästa år?
• Grön är den vackraste färgen.

Den första meningen kan inte vara en utsaga, eftersom den är en frågesats. Hos den andra kan vi inte avgöra om den är en sann eller en falsk utsaga. En sådan mening kallas en hypotes (förmodan).

Klassisk matematisk logik klarar sig inte särskilt bra med vaga meningar som ”Hugo är lång” eller ”Maja är en bra sångerska”. Sådana utsagor hanteras bättre till exempel i fuzzy logik (oskarp logik), som är gjord för vaghet.

Atomär utsaga

I det första avsnittet hade vi utsagan ”talet 2 är jämnt och samtidigt udda”. En sådan utsaga kallar vi sammansatt, eftersom den egentligen binder ihop två kortare utsagor: ”talet 2 är jämnt” och ”talet 2 är udda”. De två utsagorna är sammanbundna med konnektivet ”och”, eller också ”och samtidigt”.

En atomär utsaga är alltså en utsaga som vi inte kan dela upp ytterligare, i någon mening det enklaste konstaterandet. De tidigare exemplen på utsagor var i själva verket atomära utsagor:

• Stockholm är Sveriges huvudstad.
• Det naturliga talet fem är ett udda tal.
• HTML är ett programmeringsspråk.
• Två plus tre är sex.

Atomära utsagor betecknar vi fortsättningsvis med små bokstäver, klassiskt p, q, r, …, och vi kallar dem satsvariabler.

Konnektiv

I matematisk logik använder vi vanligen en viss uppsättning konnektiv (logiska bindeord). Till de grundläggande hör fyra binära konnektiv:

• p ∧ q är konjunktionen av utsagorna, vi läser ”utsagan p och (samtidigt) utsagan q”
• p ∨ q är disjunktionen av utsagorna, vi läser ”utsagan p eller utsagan q”
• p ⇒ q är implikationen, vi läser ”om utsagan p, så utsagan q”
• p ⇔ q är ekvivalensen, vi läser ”utsagan p om och endast om utsagan q”

Konkreta exempel på konnektiv:

• Det regnar och samtidigt skiner solen i centrala Göteborg. (konjunktion)
• Det regnar eller solen skiner i centrala Göteborg. (disjunktion)
• Elsa är duktig på matte och Oscar är duktig på fotboll. (konjunktion)
• Om du tar laxermedel, så måste du snart springa på toaletten. (implikation)
• Om talet x är delbart med fyra, så är det också delbart med två. (implikation)
• Alice är snygg och samtidigt klok. (konjunktion)
• Sångerskor är framgångsrika om och endast om de är snygga. (ekvivalens)
• Om det inte regnar, blir vi inte blöta. (implikation)
• Om Hugo kan sjunga, så äter jag upp min hatt. (implikation)

Vi känner till ytterligare ett vanligt konnektiv: negationen. Negation skrivs med symbolen ¬p.

Formel

Med hjälp av satsvariabler (atomära utsagor) och konnektiv kan vi bygga en mer sammansatt utsaga, som vi kallar en formel. Alla exempel i den förra listan var i själva verket formler, eftersom vi hade två atomära formler, till exempel ”Det regnar i centrala Göteborg” och ”solen skiner”, och band ihop dem med konnektiv. I det första fallet använde vi konnektivet ”och samtidigt” och fick formeln ”Det regnar och samtidigt skiner solen i centrala Göteborg”, i det andra fallet använde vi ”eller” och fick formeln ”Det regnar eller solen skiner i centrala Göteborg”.

Formellt definierar vi en formel så här:

• Varje satsvariabel (atomär utsaga) är en formel (mer exakt är den en atomär formel).
• Om A och B är formler, så är också ¬A, (A ∧ B), (A ∨ B), (A ⇒ B), (A ⇔ B) formler.

Definitionen är rimlig: i den första punkten säger vi att varje atomär utsaga också är en formel. Om vi har två atomära utsagor, till exempel ”Det regnar i centrala Göteborg” och ”solen skiner”, har vi alltså också två formler. Nu kan vi använda den andra punkten och bygga en mer sammansatt formel, till exempel så här:

• Det regnar och samtidigt skiner solen i centrala Göteborg.
• Det regnar eller solen skiner i centrala Göteborg.
• Om solen skiner i centrala Göteborg, så regnar det.
• Solen skiner i centrala Göteborg om och endast om det regnar.

Formler behöver förstås inte vara sanna. Nu har vi fått ytterligare en uppsättning formler, så vi kan bygga ännu mer sammansatta formler. Låt oss kalla A=”Det regnar eller solen skiner i centrala Göteborg.” (vi vet redan att det är en formel) och B=”en regnbåge syns” (anta att det också är i centrala Göteborg, så slipper vi upprepa det hela tiden). Då kan vi skapa fler formler. Parenteserna i meningarna visar bara vilka delar konnektivet gäller.

• A ∧ B: (Det regnar eller solen skiner i centrala Göteborg) och samtidigt (en regnbåge syns).
• A ∨ B: (Det regnar eller solen skiner i centrala Göteborg) eller (en regnbåge syns).
• A ⇒ B: (Om det regnar eller solen skiner i centrala Göteborg), så (syns en regnbåge).
• A ⇔ B: (Det regnar eller solen skiner i centrala Göteborg) om och endast om (en regnbåge syns).

Allt detta är formler. Vi kan alltså ta en av dem och koppla på ännu en formel. På så sätt kan vi bilda till exempel det här monstret: ”Om det regnar eller solen skiner eller en regnbåge syns i centrala Göteborg, så regnar det eller solen skiner om och endast om en regnbåge syns.”

I nästa del undersöker vi sanningsvärdet för formler.