Változó kifejezése

Hogyan fejezzünk ki egy bonyolultabb összefüggésből vagy törtből egy adott változót. Ezt a módszert főleg olyan különféle képleteknél használjuk, amelyekben több változó szerepel. Más képletekkel kombinálva pedig hihetetlen dolgokra lehetünk képesek: a semmiből levezetünk mindent.

Egyszerű elsőfokú kifejezések

Legyen ez a képlet: ax + b = c. Hogyan fejezzük ki ebből a képzeletbeli képletből az x-et? Mindig azzal kezdünk, hogy az összes olyan kifejezést, amelyben szerepel a kifejezendő változó, a bal oldalra tesszük, a többit pedig a jobb oldalra. Elvileg mindegy, melyik oldalon mi áll, de megszokott, hogy a kifejezendő ismeretlen a bal oldalon van. Először tehát átvisszük a b-t a jobb oldalra, vagyis az egyenlethez hozzáadjuk a −b-t:

$$\begin{array}{rcl}ax+b& =& c/-b\\ ax& =& c-b\end{array}$$

A változót tartalmazó kifejezések már az egyik oldalon vannak, de még mindig zavar minket az a. Hogyan szabaduljunk meg tőle elegánsan? Mit kell tennünk az ax kifejezéssel, hogy csak x maradjon? Igen, a kifejezést – és ezzel az egész egyenletet – elosztjuk a-val, vagyis megszorozzuk az $\frac{1}{a}$ számmal. Az a értéke közben nem lehet nulla (nullával nem osztunk). Ha így teszünk, a következőt kapjuk:

$$\begin{array}{rcl}ax& =& c-b\cdot \frac{1}{a}(a\ne 0)\\ x& =& \frac{c-b}{a}\end{array}$$

Kész is. Újabb példa:

$$2ax-3bx=10a$$

Megint az x-et kell kifejeznünk. Az ismeretlent tartalmazó kifejezések már a bal oldalon vannak, így egy kis munkát megspóroltunk. A bonyodalom viszont az, hogy két olyan kifejezés is van, amelyben szerepel az ismeretlen. A helyzetet kiemeléssel oldjuk meg. Az egyenlet bal oldaláról kiemeljük az x-et, és a következőt kapjuk:

$$\begin{array}{rcl}2ax-3bx& =& 10a\\ x(2a-3b)& =& 10a\end{array}$$

Az előző példában az ax kifejezésből csak x-et akartunk kapni, ezért az egész egyenletet megszoroztuk az $\frac{1}{a}$ számmal. Most az egyenletben az x(2a − 3b) kifejezés áll, és megint az x-et akarjuk megtudni. Ugyanezt tesszük: az egész egyenletet elosztjuk a (2a − 3b) kifejezéssel. Ne félj, az egyenletet tényleg elosztjuk egy egész zárójellel, csak az kell, hogy 2a − 3b ≠ 0 teljesüljön.

$$\begin{array}{rcl}x(2a-3b)& =& 10a/\cdot \frac{1}{2a-3b}\\ x& =& \frac{10a}{2a-3b}\end{array}$$

Törtek

Ha törteket tartalmazó kifejezésünk van, ugyanazokat az egyenletátalakításokat használjuk, csak vigyáznunk kell, nehogy véletlenül nullával osszunk vagy szorozzunk. Példa:

$$\frac{a}{x}=\frac{b}{c}$$

Az x-et akarjuk kifejezni. Az egész egyenletet megszorozzuk x-szel – csak hozzá kell tennünk a feltételt, hogy x ≠ 0. Ez egyébként is teljesül, mert az egyenletben ott van az $\frac{a}{x}$ tört, az x pedig a nevezőben áll – és nullával nem oszthatunk. Így a következő egyenletet kapjuk:

$$\begin{array}{rcl}\frac{a}{x}& =& \frac{b}{c}/\cdot x(x\ne 0)\\ a& =& \frac{bx}{c}/\cdot c(c\ne 0)\\ ac& =& bx\cdot \frac{1}{b}(b\ne 0)\\ \frac{ac}{b}& =& x\\ x& =& \frac{ac}{b}\end{array}$$

Az ismeretlen kifejezésekor egyszerűen használd a szokásos ekvivalens egyenletátalakításokat.