Logica propozițională

Logica propozițională (matematică) este un mijloc de exprimare al matematicii, pe care îl întâlnim sub diverse denumiri și în tot felul de teoreme matematice.

La ce folosește logica

Logica este știința care se ocupă de raționament, de adevăr, de demonstrabilitate și de infirmabilitate. În logică ne interesează doar forma enunțului, nu ce anume se afirmă, și nici interpretările psihologice sau alte lucruri asemănătoare.

Dacă avem, de exemplu, enunțul „numărul 2 este par și, în același timp, impar”, putem trage concluzia că întregul enunț nu este adevărat, pentru că numărul 2 nu este impar. De astfel de lucruri se ocupă, în general, logica.

Propoziția

Baza logicii propoziționale este, firește, propoziția (enunțul). Propoziție logică este orice enunț declarativ despre care putem stabili valoarea de adevăr. Exemple de propoziții simple:

• Bill Gates a fost cel mai bogat om din lume.
• Numărul natural cinci este impar.
• HTML este un limbaj de programare.
• Doi plus trei fac șase.

Acestea sunt toate propoziții, fie că sunt adevărate (primele două), fie false (ultimele două). Nu este propoziție, de exemplu, o întrebare sau un enunț despre care nu putem stabili fără ambiguitate valoarea de adevăr. Din nou, exemple:

• Va fi Bill Gates cel mai bogat om din lume și anul viitor?
• Culoarea verde este cea mai frumoasă.

Primul enunț nu poate fi propoziție, pentru că este o întrebare, iar la al doilea nu putem stabili dacă este adevărat sau fals. Un astfel de enunț se numește ipoteză (presupunere).

Logica matematică clasică nu se descurcă prea bine cu enunțuri vagi de tipul „Dan este înalt” sau „Maria Stanca este o cântăreață bună”. Astfel de enunțuri se tratează mai bine, de exemplu, în logica fuzzy, care este adaptată vagului.

Propoziția simplă

În primul capitol am avut exemplul „numărul 2 este par și, în același timp, impar”. O astfel de propoziție se numește compusă, pentru că, de fapt, leagă două propoziții mai scurte: „numărul 2 este par” și „numărul 2 este impar”. Cele două propoziții sunt legate prin conectorul logic „și” sau „și, în același timp”.

Propoziția simplă (atomică) este deci o propoziție pe care nu o mai putem descompune, adică, într-un anumit sens, cea mai simplă afirmație. Exemplele de mai sus erau, de fapt, propoziții simple:

• Bill Gates a fost cel mai bogat om din lume.
• Numărul natural cinci este impar.
• HTML este un limbaj de programare.
• Doi plus trei fac șase.

Propozițiile simple le vom nota în continuare cu litere mici ale alfabetului, de obicei p, q, r, …, și le vom numi variabile propoziționale.

Conectorii logici

Logica matematică lucrează de obicei cu un anumit set de conectori logici. Printre cei de bază sunt patru conectori binari:

• p ∧ q este conjuncția propozițiilor, se citește „propoziția p și (în același timp) propoziția q”
• p ∨ q este disjuncția propozițiilor, se citește „propoziția p sau propoziția q”
• p ⇒ q este implicația, se citește „dacă propoziția p, atunci propoziția q”
• p ⇔ q este echivalența, se citește „propoziția p dacă și numai dacă propoziția q”

Exemple concrete de conectori logici:

• În centrul Brașovului plouă și, în același timp, strălucește soarele. (conjuncție)
• În centrul Brașovului plouă sau strălucește soarele. (disjuncție)
• Firma Nova este cea mai puternică firmă și Radu Ionescu este cel mai grozav om de afaceri. (conjuncție)
• Dacă ieși în ploaie fără umbrelă, atunci te uzi. (implicație)
• Dacă numărul x este divizibil cu patru, atunci este divizibil și cu doi. (implicație)
• Ioana este frumoasă și, în același timp, deșteaptă. (conjuncție)
• Cântăreții au succes dacă și numai dacă au voce frumoasă. (echivalență)
• Dacă nu va ploua, nu ne vom uda. (implicație)
• Dacă Mihai Popa știe să cânte, atunci și broaștele zboară. (implicație)

Mai cunoaștem un conector logic uzual: negația. Negația se notează fie cu un apostrof p′, fie cu simbolul ¬p.

Formula

Cu ajutorul variabilelor propoziționale (al propozițiilor simple) și al conectorilor logici putem construi o propoziție mai complexă, pe care o vom numi formulă. Toate exemplele din lista de mai sus erau, de fapt, formule, pentru că aveam două formule atomice, de exemplu „În centrul Brașovului plouă” și „strălucește soarele”, pe care le-am legat prin conectori logici. În primul caz le-am legat prin conectorul „și, în același timp” și am obținut formula „În centrul Brașovului plouă și, în același timp, strălucește soarele”, în al doilea caz am folosit „sau” și am obținut formula „În centrul Brașovului plouă sau strălucește soarele”.

Definim formal formula astfel:

• Orice variabilă propozițională (propoziție simplă) este formulă (mai exact, spunem că este formulă atomică).
• Dacă A și B sunt formule, atunci și ¬A, (A ∧ B), (A ∨ B), (A ⇒ B), (A ⇔ B) sunt formule.

Definiția are sens: în primul punct spunem că orice propoziție simplă este în același timp formulă. Deci, dacă avem două propoziții simple, de exemplu „În centrul Brașovului plouă” și „strălucește soarele”, avem în același timp și două formule. În acest moment putem aplica al doilea punct și construi o formulă mai complexă, de exemplu astfel:

• În centrul Brașovului plouă și, în același timp, strălucește soarele.
• În centrul Brașovului plouă sau strălucește soarele.
• Dacă în centrul Brașovului strălucește soarele, atunci plouă.
• Soarele strălucește în centrul Brașovului dacă și numai dacă plouă.

Formulele nu trebuie, desigur, să fie neapărat adevărate. Acum am obținut un nou set de formule, deci putem construi formule și mai complexe. Dacă notăm A = „În centrul Brașovului strălucește soarele sau plouă.” (știm deja că este formulă) și B = „se vede curcubeul” (presupunem că tot în centrul Brașovului, ca să nu repetăm mereu), putem crea alte formule. Parantezele din enunțuri arată doar la ce părți se referă conectorul.

• A ∧ B: (În centrul Brașovului strălucește soarele sau plouă) și, în același timp, (se vede curcubeul).
• A ∨ B: (În centrul Brașovului strălucește soarele sau plouă) sau (se vede curcubeul).
• A ⇒ B: (Dacă în centrul Brașovului strălucește soarele sau plouă), atunci (se vede curcubeul).
• A ⇔ B: (În centrul Brașovului strălucește soarele sau plouă) dacă și numai dacă (se vede curcubeul).

Acestea sunt toate formule. Putem, deci, să luăm din nou una dintre aceste formule și să îi adăugăm o altă formulă. Putem crea astfel, de exemplu, enunțul fără sens „Dacă în centrul Brașovului strălucește soarele sau plouă sau se vede curcubeul, atunci strălucește soarele sau plouă dacă și numai dacă se vede curcubeul.”

În continuare vom studia adevărul formulelor.